сумма ряда 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -1 +...

Цитата
music.sucks999
Согласен с вами.
Что если подставить в формулу геометрической прогрессии p= -1?

http://s46.radikal.ru/i112/1110/28/420774636052.png

4. Категорически запрещается публиковать условия в виде ссылок на внешние файлы с картинками или формулами
Не забывайте, что формулы надо набирать с использованием TeX-а

Коэффициент антинаучности равен коэффициенту невежества, умноженному на коэффициент амбиции.

Цитата
music.sucks999


сумма от i до n (1/p)^i = (p/(p-1))*(1 - 1/(p^(n+1))

а если сделать так,
$\sum_{i=0}^n p^{-i}=\frac{p}{p-1}(1-\frac{1}{p^{n+1}})$
\sum_{i=0}^n p^{-i}=\frac{p}{p-1}(1-\frac{1}{p^{n+1}})
то и совсем красиво получится.
формула правильная, подставить $p=-1$ можно,
но только как это относится к обсуждаемому бесконечному ряду?

если сначала $p=-1$ а потом перейти к пределу, как Вы хотите, то предел не существует. Если сначала перейти к пределу, а потом положить $p=-1$, то это в точности суммирование по Абелю, и Вы, коллега, здесь не при чем.

Коэффициент антинаучности равен коэффициенту невежества, умноженному на коэффициент амбиции.

Если ряд (a + b) сходится значит ли это что обязательно ряд а сходится и ряд b сходится?

Я бы написал еще 3 страницы про сходимость рядов 1+1+1+..... и -1-1-1-1-......

Вы продолжаете путать сходимость и суммируемость. Методов суммуруемости легион, они должны давать один и тот же результат для всех сходящихся рядов, но для расходящихся рядов разные, очень хорошие методы суммирования могут дать различный результат. Например, если хотите, я укажу очень симпатичный метод суммирования, который для рассматриваемого Вами ряда даст значение не половина, а другое.
И посему нет никаких априорных оснований применять один метод суммирования в ущерб другим.

Что касается Вашего вопроса: эти свойства не аксиомы, это свойства, которые нужно доказывать для каждого конкретного способа суммирования. И вполне возможно, что взятый наобум метод суммирования не обладает какими-то из этих свойств.

Если же метод всеми указанными свойствами обладает, и позволяет для некоторых рядов находить суррогат суммы согласованно с некоторыми другими рядами, то все же существенное свойство классической (абсолютной) сходимости безнадежно теряется: метод суммирования не выдерживает перестановки членов ряда.

Если Вас вопрос суммируемости серьезно интересует, то нет источника лучше книги Харди 'расходящиеся ряды.' Там все объяснено и все иллюзии эффективно развеиваются.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 01.11.2011 18:15.

Рассмотрим бесконечный и безначальный знакочередующийся ряд:
$............-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-...............$

Если положить, что 1 - это смещение идеального маятника из левой крайней точки в правую, а -1, наоборот из правой крайней точки в левую, то данный ряд будет выражать физическую модель маятника, который безначально вечно совершал свободные колебания в прошлом и будет вечно колебаться в будущем. С физической точки зрения это значит, что данный маятник никогда ни с чем не взаимодействовал и не будет взаимодействовать, поэтому его невозможно обнаружить и, можно сказать, что его не существует. Математически, несуществование маятника выражается в приравнивании исходного ряда нулю:

$............-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-...............=0$

Теперь мысленно вычленим в произвольном месте этого ряда -1:

$............-1+1-1+1-1+1(-1)+1-1+1-1+1-...............=0$

и перенесем её в правую часть, вычтя из обеих сторон равенства:

$............-1+1-1+1-1+1+1-1+1-1+1-...............=1$

Мысленно разобьем левую часть равенства в том месте где стояла -1:

$............-1+1-1+1-1+1|1-1+1-1+1-1+...............$,

Теперь обратим внимание на то, что получили 2 одинаковые по составу части, каждая из которых является зеркальным отображением другой и которые в сумме дают 1. Бессмысленно говорить о том, что стоит в "конце" каждой части, поскольку каждая из них бесконечна и не имеет этого самого конца. Поэтому, просто приравняем эти части друг другу, поскольку они начинаются одинаково и одинаково не заканчиваются.
Т.к. их сумма равна 1, а сами части тождественны друг другу, то очевидно, что каждая из частей равна 0.5:

$............-1+1-1+1-1+1=1-1+1-1+1-...............=0.5$

При этом одна из представленных частей тождественна ряду Гранди, а результат суммирования эквивалентен результату суммированию по Чезаро, при выводе мы не выходили за рамки простых арифметических операций.