Доказать, что мощность Борелевской сигма алгебры континуум

Идея простая: изначально имеем континуум множеств (открытые), потом начинаем образовывать счетные объединения, потом счетные пересечения, каждый раз получается континуум множеств. И так далее: пересекаем, объединяем, пересекаем, ... по всем счетным ординалам, а их не более континуума. Получим все борелевские.

Итак, делаем следующее:
A_1 = все открытые
A_2 = добавляем всевозможные счетные объединения, всевозможные счетные пересечения и все дополнения множеств из A_1
и так далее....
A_x = добавляем все счетные объединения пересечения дополнения множеств из \cup A_y, y<x.

Я не утверждаю, что на конечном шаге ты получишь все борелевские (кстати канторовское получится очень скоро). Но когда пройдешь все счетные ординалы, получатся все борелевские.

Можешь прочесть что-нибудь по теории множеств (точно есть в Куратовском, "Топология")

книга (старая, правда):

А. Лебег, "Интегрирование и отыскание примитивных функций",
1934.

Там есть дополнение Лузина "О построении множеств, не измеримых В",
со стр. 310. Возможно, его можно найти и в других источниках.

Там в точности доказывается, что мощность борелевских множеств континуум. Это используется для того, чтобы построить универсальное множество, т.е. такое множество на плоскости, что всевозможные сечения его горизонтальными прямыми суть всевозможные борелевские множества. Если мы такое множество пересечем диагональлью и спроектируем на ось иксов, то дополнение до этого множества (а значит и оно само) не является борелевским (так же, как получается известный парадокс о множествах, не являющихся элементами самого себя). Так строится пример не-борелевского множества.

Интересно, а более простые примеры кто-нибудь знает? Но только так, чтобы там не использовалась аксиома выбора, как при построении множества, не измеримого по Лебегу.

По-моему, недавно вышедшая книга Верещагина, Шеня по теории множеств содержит это доказательство в конце книги.
Книга есть в инете бесплатно в формате pdf или ps