Нахождение аналитического решения заданного дифференциального уравнения.

Добрый вечер!
Мне требуется решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка, прошу помощи.
Уравнение:
ẋ=-2(x+t^2-t) (начальное условие х(0)=1/4)

есть пример выполнения похожего уравнения:
ẋ=-9x-(t^2-1)/(t+1) (х(0)=0)
x=UV
x’=U’V+UV’
U’V+UV’+9UV=-(t^2-1)/(t+1)

V’+9V=0
V’=-9V
dV/dt=-9V
ʃdV/dt=ʃ-9dt
lnV=-9t
V=e^(-9t)
U’e^(-9t) = -(t^2-1)/(t+1)
U’=(-(t^2-1)/(t+1))* e^(9t)
dU/dt=-(t^2-1)/(t+1) * e^(9t)=-((t-1)*(t+1)/(t+1) ) * e^(9t) t≠-1
dU/dt=-(t-1) * e^(9t)
dU=-dt(t-1) * e^(9t)

ʃdU=ʃ -e^(9t) *t*dt +ʃ e^(9tdt)
U=-(t e^(9t) )/9 + e^(9t) /81 + e^(9t) /9+C
X=UV= e^(-9t) *(-(t*e^(9t) )/9 + e^(9t) /81 + e^(9t)/9+C)
X=-(t* e^(-9t)*e^(9t) )/9+( e^(-9t) *e^(9t) )/81+( e^(-9t) *e^(9t) )/9+ e^(-9t) *C
X=-t/9+1/81+1/9+ e^(-9t) *C
При t=0, X=0 » 0=0+1/81+1/9+C
C=-10/81
X=-t/9+1/81+1/9+ e^(9t) *(-10/81)= -t/9+10/81-10/81* e^(-9t)

Проверка:
x’=-1/9-10/81 *(-9)* e^(-9t) =1/9+10/9* e^(-9t)
-1/9+10/9* e^(-9t) -9t/9+1*9/81+9/9+9* e^(-9t) (-10/81)=-1/9+10/9* e^(-9t) –t+1/9+1+ e^(-9t) (-10/9)=1-t=-(t-1)*(t+1)/(t+1)=-(t^2-1)/(t+1)
Вывод: Проверка выполнена ,следовательно, пример аналитически решён правильно.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 15.01.2012 18:48.

решая таким же методом при проверке не выходит что нужно.
Был бы способен, не нуждался бы в помощи!

ẋ=-2(x+t^2-t) x(0)=1/4
x=u*v
x'=u'v+uv'
x'=-2x-2t^2+2t
x'+2x=-2t^2+2t
u'v + uv '+ 2uv= -2t^2 + 2t
u(v' + 2v) + u'v = -2t^2 +2t
(v'+2v)=0
v'=-2v
dv/dt=-2v
ʃdv/dt=ʃ-2dt
LnV=-2t
V=e^(-2t)
u'e^(-2t)=-2t^2+2t
u'=(-2t^2+2t)*e^2t
du/dt=2t(-t+1)*e^(-2t) t≠1
du/dt=2tdt(t-1)*e^(-2t)

ʃdu=......
u=..........+C

В таком виде принёс на проверку, препод подписал мне следующее...
ʃe^(-2t)*t^2=t^2(-1/2e^(-2t)-ʃ(-1/2)*e^(-2t)*2tdt
u=t^2 du=2tdt t=4
dv=e^(-2t)dt=-1/2e^(-2t) e^(-2tdt)=dv

Помогите разобраться, что к чему и так ли тут с остальным.

возможен такой исход при нахождении u:
du/dt=2t(t-1)*e^(-2t)
du=2tdt(t-1)*e^(-2t)
ʃdu=ʃe^(-2t)+ʃe^-(2t)dt
u=(-(2te^(-2t))/2)+(e^(-2t))/4+C
?

u=e^(-2t)*x^2+C ?

тогда далее:
u=e^(-2t)*x^2+C
x=u*v=(e^(-2t)*x^2+C)*e^(-2t)
x=e^(-4t)*x^2+e^(-2t)C
при t=0, x=1/4 =>
1/4=1+(1/4^2)+C
C=1/4-1-1/16
C=-13/16
X=e^(-4t)*x^2+e^(-2t)(-13/16)



Редактировалось 2 раз(а). Последний 15.01.2012 22:27.

ой, извиняюсь это не х^2, a t^2
и тогда:
u=e^(-2t)*t^2+C
x=u*v=(e^(-2t)*t^2+C)*e^(-2t)
x=e^(-4t)*t^2+e^(-2t)C
при t=0, x=1/4 =>
1/4=C
X=e^(-4t)*t^2+e^(-2t)(1/4)