Характеристические подгруппы

Рассмотрим прямое произведение циклических групп: $С=Z_3\timesZ_2$.
Положим $В=\{(0,1);\;(3,0);\;(3,1);\;(0,0)\}$, $А=\{(3,0);\;(0,0)\}$.

В терминах предыдущего моего поста: группа В не имеет нетривиальных характеристических подгрупп, она изоморфна $Z_2\timesZ_2$. Для доказательства характеристичности группы В в С придумайте групповое уравнение (с операцией сложения) такое, что В - множество его решений в группе С. Разумеется, уравнение может содержать единственную константу - 0.

Язык теории групп включает в себя три символа (их называют еще нелогическими константами или сигнатурными символами): $0$ (символ нейтрального элемента, иногда называемого единицей, иногда нулем - обычно в абелевых группах), $-$ - одноместный функциональный символ взятия обратного элемента (в случае, если используется аддитивная запись, применяемая обычно для абелевых групп), $+$ - это бинарный (двуместный) функциональный символ при аддитивной системе записи для основной операции - сложения (иногда называемой умножением). В язык входят также логические символы: множество символов переменных, символ равенства, логические (пропозициональные) связки: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, отрицание и кванторы существования и общности. В высоких языках имеются и другие символы.
В языке теории групп элементарные формулы и называются уравнениями.
Например: $х+у+х-а=0$ - теоретико-групповое уравнение с четырьмя переменными. Для аддитивной записи часто используют натуральные числа для сокращения: $5а$ есть условное сокращение для записи $а+а+а+а+а$.
Если Вы начинали изучать матлогику, то, наверное, знаете, что формулы, в том числе элементарные, т.е. уравнения, называются определениями, а определяют они множества упорядоченных наборов.
Например уравнение $х+2у=0$ определяет множество упорядоченных пар $(х,у)$, которые удовлетворяют этому уравнению. Если в формуле одна свободная переменная, то она определяет подмножество группы. Например, уравнение $3х=0$ определяет множество элементов периода 3.
Множество, для которого имеется формула, его определяющая, называется определимым.
Очевидно, что любое определимое подмножество является характеристическим (устойчиво при автоморфизмах). Если оно есть подгруппа, то подгруппа эта - характеристическая.
Для Вашей задачи: В - множество всех элементов периода 2 (докажите), т.е. определяется уравнением $2х=0$. Группа А состоит из всех таких элементов, которые удовлетворяют уравнению $2х=0$ и при этом делятся на 3, т.е. удовлетворяют формуле: $2x=0\land\existsy(x=3y)$
Замечание: здесь я использовал вольность речи, считая, что ноль имеет любой период: и 2 и 3 и т.д. Это позволило мне считать уравнение $3х=0$ определяющим множество элементов периода 3, а уравнение $2х=0$ определяющим множество элементов периода 2.

Конечно, я имел ввиду группу $Z_6\timesZ_2$, но все равно - ошибся. Пара (0,3) не единственная делящаяся на три среди 2-периодических. Пара (1,3) тоже подходит.
Поэтому нужно брать такую группу:
Рассмотрим прямое произведение циклических групп: $С=Z_4\timesZ_2$.
Положим $В=\{(0,1);\;(2,0);\;(2,1);\;(0,0)\}$, $А=\{(0,0);\;(2,0)\}$.
Здесь А состоит из 2-периодических, делящихся на 2.
Т.е. удовлетворяют формуле: $2x=0\land\existsy(x=2y)$



Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.01.2012 12:29.

всем спасибо :))