Дискретная математика

1) Область определения обратного отношения есть область значений данного отношения; область значений обратного отношения есть область определения данного.
2) По определению произведения отношений (в данном случае - это произведение отношения на себя - возведение в квадрат): $xP^2y\equiv\existsz(x+z\ge4\landz+y\ge4)$, из этого и исходите.

И как можно вот такое осилить?
Задано бинарное отношение R на множестве {1,2,3,4}. Проверить его на рефлективность, симметричность, транзитивность.
{<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<4,4>}
Можете подсказать что значит xRx в определении рефлективности?



Редактировалось 1 раз(а). Последний 16.01.2012 16:24.

Здесь рефлективность - ДА, т.к. все значения отношения принадлежат {1,2,3,4}
симметричность - ДА, т.к. (x,y)∈R ∃ (y,x)∈R
транзитивность - НЕТ т.к. (x,y)∈R , (y,z)∈R не существует (x,z)∈R например <1,2>,<2,1>, а <1,1>нету

Верно решение??

Про рефлективность понял, спасибо!

Обратное отношение получается путем смены мест: $у$ на место $х$, а $х$ на место $у$. Примените это к определению отношения $p^{-1}$.
Условие для $p^2$ получается решением системы: "существует такое $z$, что $xPz$ и $zPy$".

Почему у Вас область значений ограничена сверху?
Пример: пара (2,1000) заведомо удовлетворяет условию, т.к. справа стоит отрицательное число. Правда, возможно, что у Вас требуется, чтобы все входящие операции были определены в области натуральных чисел? Тогда понятно. Лучше все же написать: $y\in\{1,2,3\}$. Но в этом случае возникают претензии к области определения: в нее входят числа 3, 4, 5, ...., а вот числа 1 и 2 не входят, т.к. справа при натуральном у разность 12-3у принимает самое малое НАТУРАЛЬНОЕ значение равное 3.

Про $P^2$ Вас могут попросить упростить или "разрешить" условие. Можно заметить, что подходящее значение у в силу второго неравенства при условии, что все операции определены в натуральных числах, должно быть не больше 3. В силу первого неравенства, подходящее z должно быть не больше 3. Теперь, перебрав варианты у=1, у=2, у=3, определите, для каких х пара (х,у) подходит.

Но, возможно, что выполнимость операций в натуральных числах не требуется. Т.е. условие задачи не достаточно ясно. В этом случае, тоже следует чего-то порешать.

Цитата

Bot
Ну и какие получатся пары, разве не очевидно?

Уважаемый г. Bot совершенно верно отметил, что условие для $P^2$ не должно содержать свободно переменную $z$, т.к. нужны пары, а не тройки. Т.е. третья переменная имеет право присутствовать только связанная квантором "существует". А вот про очевидность - вопрос вызывающий сомнение. С учетом того, что сказал топикстартер про область значений возникает вопрос о прочтении задания. А именно: считаем ли мы, что определение отношения дано на языке метатеории, например, теории множеств и включает при этом условие, что это отношение на множестве натуральных чисел. Или определение написано на языке натуральных чисел с отношением порядка, операциями сложения и умножения и частичной операцией вычитания. Я склоняюсь к первому варианту. Но если принять второй вариант, то у = 2012 не попадает в область значений потому, что выражение 12 - 3у для этого числа не определено в рассматриваемой алгебраической системе.

Цитата

если отношение определено на множестве натуральных чисел

Проблема не в том, на каком множестве определено отношение, а в том, на каком языке это определение дано. Мне встречались даже преподаватели, которые не вполне понимали эти нюансы. Просто не слышали, что такое рассмотрение допустимо.
Суть вот в чем: что понимается под символами $<$ , $-$, и т.д. Например, если вычитание понимать в смысле вещественных чисел, то $х=2$ и $у=150$ - оба числа НАТУРАЛЬНЫЕ, - связаны задаваемым отношением на НАТУРАЛЬНЫХ числах. Если же символом вычитания обозначается частичная операция на множестве натуральных чисел, то это уже совсем другая история. Большинство математиков эту задачу воспринимают именно в первом смысле, т.к. алгебраическая система, задаваемая на натуральных числах с частичной операцией, имеет весьма ограниченное значение. Как правило используется либо система формальной арифметики или подмножество более "продвинутой" системы. В базисном языке формальной арифметики символа вычитания обычно нет, и ему дают отдельное определение, но тогда и задача зависит от этого определения.
Достойную лепту в эту путаницу вносит традиция школьных задач, особенно задач "на ограниченную область определения".

Отношение неравенства и вычитание очевидно используются лишь для определения отношения $P$ и ничего более. Ни о каком включении их в сигнатуру, а также рссмотрения вычитания как частичной операции очевидно речи нет. Если отношение записать как в предыдущем примере с помощью не разности а суммы, то эти надуманные проблемы просто сразу исчезают.

_____________________________
Правила русского языка категорически запрещают решать пределы, интегралы, ряды, матрицы, определители ...

Запишите с учётом определения $P$, что требуется определить в каждом случае и всё станет очевидно. И ради бога не употребляйте разности, чтобы не возникали лишние лдля неискушённых заморочки.

1) Область определения - это $\{x\in \mathbb N | (\exists y\in \mathbb N) (x+3y\geqslant 12\}$. Если взять $y=4$, то для любого $x\in \mathbb N$ выполнится неравенство $x+3y=x+12\geqslant 12$. Что это означает? Правильно - это означает, что область определени совпадает со всем $\mathbb N$.

2) Область значений - это ... напишите по аналогии

3) $P^{-1} = ...$ - это Вы написали правильно (или угадали?)

4) $xP^{2}y\Leftrightarrow (\exists z\in \mathbb N) (x+3z\geqslant 12 & z+3y\geqslant 12$. Если взять $z=12$, то для любых ... Что это означает? Правильно - это означает, что ...

_____________________________
Правила русского языка категорически запрещают решать пределы, интегралы, ряды, матрицы, определители ...



Редактировалось 1 раз(а). Последний 18.01.2012 21:34.