Найти кривую y(x) в области гладких функций

Если допускать $F(x,y(x),y'(x))$ неограничено снизу, то минимум не достигается. Считаем, что имеется условие ограничения конкретным числом.
Указанная задача сводится к задаче, в которой $F(x,y(x),y'(x))>0$ и точки $x_i$ располагаются по возрастанию и первая из них совпадает с $а$, а последняя с $b$.
Тогда решаем цепочку задач с закрепленными крнцами и склеиваем результаты в кусочно гладкую функцию. Она и является решением, хотя и не обязательно гладким. Но оно является супремумом гладких подходящих фукций.