покрытие равностороннего треугольника прямоугольником

дан равносторонний треугольник с единичными сторонами. необходимо найти длины сторон (или хотя бы их соотношение) такого прямоугольника, который покрывает треугольник таким образом, что сумма площадей их непересекающихся частей минимальна. расположение прямоугольника относительно треугольника не важно.
я пока сам долбаюсь с этим. очень хочется, чтобы таким прямоугольником был квадрат. но хотелось бы послушать чужие соображения.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 27.01.2012 12:48.

Нашёл у себя ошибку. Прямоугольник не квадрат и правильный ответ $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Цитата
zklb (Дмитрий)
я так и думал) а можно чертеж?

Чертёж

Цитата
zklb (Дмитрий)
вынужден извиниться - неверно применил слово "покрытие". оно не предполагает того, что треугольник полностью покрывается прямоугольником. есть как выступающие части треугольника так и прямоугольника. необходимо, чтобы их суммарная площадь была минимальной.

При такой постановке вопроса всё намного интереснее и намного труднее!

Немного уточню поставленный вопрос в теоретико-множественных терминах. Речь идёт о площади симметрической разности. Итак, нужно найти минимум меры Лебега (т.е. площади) симметрической разности двух множеств на евклидовой плоскости $А$ и $В$ .

В данном примере $А$ - равносторонний треугольник (включая границу и внутренность), а множество $В$ берём из класса всевозможных прямоугольников. Задача кажется трудной и никаких общих подходов к ней я не знаю. Однако, кажется достаточно вероятной гипотеза: если оба множества $А$ и $В$ обладают линейной симметрией, как в рассматриваемом примере, то существует расположение этих множеств с общей осью симметрии, для которого достигается минимум меры их симметрической разности . Я не знаю как доказать или опровергнуть эту гипотезу, может быть кто-нибудь из корифеев этого форума возьмётся или даст ссылку, если это известный факт. Конечно, задача может иметь много решений (можно рассмотреть пример двух квадратов, меньший лежит внутри большего).

Итак, если считать гипотезу верной, то исходная задача легко решается. Рассматриваем равносторонний треугольник с единичной стороной и произвольный прямоугольник такой, что обе фигуры имеют единую ось симметрии. Задача без особых проблем сводится к минимизации функции двух переменных. Её решение на рисунке . Стороны прямоугольника в отимальном решении делят боковые стороны равностороннего треугольника на 3 равные части.