30.01.2012 02:21 Дата регистрации:
1 год назад Посты: 11 | Простая задача на решётки Решаю задачу: Пусть V - вект.пр-во, $T \subset V$ - полная решётка, $S \subset T$ - подгруппа. Известно, что $[T:S]$ конечно. Будет ли S полной решёткой в V? У меня есть следующие идеи. Полная решётка T может быть задана своими базисными векторами, причём количество этих базисных векторов в силу полноты равно размерности пространства V. Получается такая матрица, составленная из строк - базисных векторов. Чтобы это был базис, детерминант её должен быть не равен нулю, а других ограничений нет. Т.е. $T \in GL(n), n=dim V.$ Таким образом, известно, что $GL(n) : S$ конечно. Я не могу придумать неизоморфных $GL(n)$ таких подгрупп S. Т.е. S - тоже полная решётка. Критика?
|
30.01.2012 21:49 Дата регистрации:
3 года назад Посты: 1 800 | Уточните Термин "решетка" далеко не однозначен. Будьте добры, уточните, что Вы имеете ввиду под словами: "решетка", "полная решетка", "детерминант ее".
|
30.01.2012 22:09 Дата регистрации:
1 год назад Посты: 11 | Возможно, уточнил Я имел в виду следующее определение решётки. Пусть $V$ - вект.пр-во, $S \subset V$ - подгруппа группы $V$. При этом $S$ - дискретная подгруппа, т.е., на формальном языке, $\exists \varepsilon > 0 : U_{\varepsilon} \cap S = {0},$ где $U_{\varepsilon}$ - открытый шар радиуса $\varepsilon$ с центром в любой точке $V,$ не совпадающей с S_i. Полной решёткой я называю такую решётку $S$, что радиус-векторы, проведённые к её точкам, образуют базис в V. Детерминант, о котором я говорил - это детерминант матрицы, построенной по радиус-векторам к отдельным точкам решётки $S$. Понятно, что для полной решётки такой детерминант ненулевой, и наоборот. Редактировалось 3 раз(а). Последний 30.01.2012 22:11.
|
31.01.2012 13:56 Дата регистрации:
3 года назад Посты: 1 800 | Много вопросов Ну, допустим. Но тогда много вопросов вызовет вот это: Цитата
Таким образом, известно, что $GL(n):S$ конечно. Я не могу придумать неизоморфных $GL(n)$) таких подгрупп S. Т.е. S - тоже полная решётка.
1. Является ли S группой или полугруппой? Если эта абелева группа имеет ровно $n$ независимых образующих, то она свободна и ничего удивительного в их изоморфности не возникает. 2. Если речь идет о полугруппе, то другой разговор. Например, если размерность равна 1, то группа (она же и полугруппа) целых чисел и полугруппа натуральных чисел не изоморфны. Вообще, аддитивные векторные подполугруппы штука весьма не простая. Например, если эта полугруппа не является конечнопорожденной, то мне неизвестны хорошие достаточные условия, чтобы существовал хотя бы один гомоморфизм ее в аддитивную полугруппу натуральных чисел. 3. Почему Вы Вашу группу обозначили используя стандартное обозначение для линейной группы? Что означает запись: $GL(n):S$? Редактировалось 1 раз(а). Последний 31.01.2012 13:59.
|
31.01.2012 17:57 Дата регистрации:
1 год назад Посты: 11 | не T:S, а [T:S] 1. Что такое полугруппа, я не знаю. Про простоту или полупростоту S в условии ничего не сказано. Сказано, что S - подгруппа. Значит, естественно, S - группа. Также я не понял, почему $S$ абелева. Казалось бы, чтобы выполнялось условие конечности $[T:S]$ ( $T \in GL(n)$), S должно иметь не n независимых элементов, как абелева подгруппа, а n^2. 3. Я имел в виду следующее: $T \in GL(n)$, $[T:S]$ конечно. $[T:S]$ - число классов сопряжённости. (Выше скобки квадратные забыл.) Редактировалось 1 раз(а). Последний 31.01.2012 17:58.
|
31.01.2012 21:16 Дата регистрации:
3 года назад Посты: 1 800 | Как-то криво я читал Слово подгруппа, видимо, я воспринял как полугруппа. Возможно причина в том, что у Вас использовано слово РЕШЕТКА, что настроило на иной круг проблем. Выходит, что $S\subsetT\subsetGL(n)$ действительно являются линейными группами. Но все еще смущают такие вот перлы, мало согласующиеся с Вашим последним постом: Цитата
Пусть $V$ - вект.пр-во, $S⊂V$ - подгруппа группы $V$.
Что же это за группа-то такая, это векторное пространство $V$? Или вот это: Цитата
Полной решёткой я называю такую решётку S, что радиус-векторы, проведённые к её точкам, образуют базис в V.
? Я никогда не слыхивал, чтобы решеткой называли подгруппу группы матриц (линейной группы), а вот подгруппу аддитивной группы (разумеется, она абелева) векторного пространства так называют все, кому не лень. Частенько при этом налагают условие дискретности (инфимум расстояний между точками не равен нулю). Слово "полная" применительно к решетке может настроить на волну совсем уже иную, но и то меня устраивает. Знак "порядок" или "размерность" тоже подойдет. Только Вы внимательно вникните в формулировку и уж тогда сообщите, что надо?
|
31.01.2012 22:15 Дата регистрации:
3 года назад Посты: 1 800 | На самом деле Речь идет о следующей постановке: $S\subsetT\subsetV$, при этом $S,\;T$ - дискретные подгруппы векторного пространства $V$, иначе называемые решетками. В этих условиях $S,\;T$ являются свободными абелевыми группами ранга не выше $n$. Группу ранга $n$ вполне естественно назвать полной решеткой. Требуется доказать, что фактор-группа $T/S$ является конечной тогда и только тогда, когда ранг $S$ равен рангу $Т$. В частности, если $Т[/math полная решетка, а [math]T/S$ является конечной, то $S$ - полная. Задачка не слишком сложная, если считать известным, что подгруппа свободной коммутативной группы является так же свободной и ее ранг не выше ранга всей группы.
|
