док-ть, что функция убывает на отрезке

Проверьте пожалуйста!
Нужно док-ть, что функция
$f(x)=\frac{\sin x}{x}$
убывает на отрезке:
$\left [ 0, \frac{\pi}{2} \right ]$
Я взяла производную, и подставила точку между нулем и $ \frac{\pi}{2}$, т.е$ \frac{\pi}{4}$ и получила отрицательное значение, можно ли заключить исходя из этого , что функцуя убывает на данном отрезке?

Спасибо!

Можете поподробней намекнуть?
Спасибо.

проверила - производная функции на отрезке не обнуляется...

Цитата
lisenka
...проверила - производная функции на отрезке не обнуляется...

К тому, что Вы уже сделали, Вам достаточно проверить, что Ваша производная - функция, непрерывная на отрезке $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ . Не очевидна только непрерывность в нуле, но она легко доказывается применением правила Лопиталя и первого замечательного предела.

P.S. На самом деле, всё-таки в одной точке отрезка $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ производная равна $0$ (догадайтесь в какой!). Но на ответ это не повлияет.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 30.01.2012 13:48.

Неравенство не обязано быть строгим. Функция будет монотонно убывающей и при нестрогом неравенстве для производной, если она не обращается в нуль на целом (хотя бы и маленьком) интервале. Если же на некотором интервале производная равна нулю, то на этом интервале функция монотонно не возрастает, т.к. постоянна. Более того, не будет беды, если в какой-нибудь точке производная не существует, если функция при этом всюду непрерывна. Впрочем, у Вас функция на всем отрезке (с концами) имеет производную и за исключением одной точки везде отрицательна. Это и нужно доказать.