Интересная задача по теории вероятности

Автор темы nicksmirnov (Nickolay2) 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
ОбъявлениеИсследовательские гранты фонда «БАЗИС» 202118.02.2021 17:56
ОбъявлениеTinkoff Business Analyst / Product Owner19.02.2021 19:06
15.06.2005 20:43
Интересная задача по теории вероятности
Доброе время суток.

Вроде бы форум и по математике тоже???
Тут как-то, случайно мне попалась задача, интересная потому что сразу решить ее не смог и варианты решений тоже не нашел. Правда серьезно с математикой я закончил давно и возможно уже просто ничего не помню.
Суть задачи:


Предположим мы вытаскиваем из бездонного мешка шарики различного цвета, предположим, что цветов может быть только 6. Встречаются все 6 цветов с равной вероятностью. И предположим мы вытащили, по одному, 10 шариков. Для наглядности обзовем цвета цифрами, тогда последовательность будет такой: "3 3 5 6 2 4 3 1 1 1". Необходимо определить с какой вероятностью мы вытащим в следующий раз шарик с цветом номер 2(в идеале надо определить вероятность выпадания для шаров каждого цвета).


Проблема в том, на мой взгляд, что необходимо учитывать не просто кол-во выпаданий в данной выборке каждого из цветов, но и то когда данный цвет выпал. Ведь очевидно, что вероятность выпадания в следующий раз шара с цветом 1 должна быть несколько меньше чем шара с цветом 3, хотя в выборке они встречаются одинаковое кол-во раз.
Решение как-то крутится вокруг да около, но найти подходящий вариант я пока не смог.
Может кто подскажет?

Заранее всем спасибо.
15.06.2005 21:40
Лучший критерий истины есть...
Да вот когда мне было лет 17, на даче мы с отцом разговорились и он мне стал утверждать, что если монета выпала на орла, то вероятность, что она ещё раз выпадет на орла уменьшается. Якобы он это в своё время по теории вероятностей проходил и роль здесь играет некая "плотность вероятности". Щас вспоминаю и прямо жутко.

Ну я сколько не взывал к здравому смыслу, но переубедить отца не смог, а посему решили проверить на практике. Поспорили рублей на сто или около того.

Тест был такой. Монету кидали 101 раз. Если монета падала на ту же сторону, что и в предыдущий бросок, то очко шло мне, а если на противоположную, то очко шло отцу. Ну и естественно мне изначально давалось 10 очков - что то вроде форы.

История кончилась более чем плачевно - я проиграл. С тех пор теорию вероятностей и не люблю.

С уважением, Лейба
17.06.2005 22:04
неинтересно и неэлементарно
Вероятность 0.1 для каждого из шаров
17.06.2005 22:09
Э... Цветов-то вроде 6 а не 10...
Э... Цветов-то вроде 6 а не 10...
18.06.2005 01:13
значит 1\6
Согласен.
тогда ответ 1\6
18.06.2005 13:09
Другая задача: 100 шариков и генератор.
Цитата

Nickolay2 писал:

Предположим мы вытаскиваем из бездонного мешка шарики различного цвета, предположим, что цветов может быть только 6. Встречаются все 6 цветов с равной вероятностью.

Если фраза "бездонный мешок" означает, что несколько первых вытаскиваний не меняют распределения шариков, то ответ 1/6 сидит в постановке задачи.

Но можно рассмотреть и такую задачку:
В мешке помещается 100 шариков и генератор случайных шариков. Когда из мешка вытаскивают шарик, генератор создаёт шарик случайного цвета (поэтому в мешке всегда остаётся 100 шариков). Найти вероятность X(k) того, что следующий шарик будет белый, если до этого подряд вытащили k белых шариков.

По условию, X(0)=1/6. Подозреваю, что последовательность X(k) строго убывает и имеет предел при k\to\infty.

18.06.2005 17:15
Вы путаете...
..., это
1) не совсем задача и
2) совсем не по теории вероятностей. Точнее, настолько по теории вероятностей, насколько задача "2+2=?" по мат.анализу...

19.06.2005 17:34
Смею заметить, вы, конечно же не правы
Доброе время суток всем.
Большое спасибо за ответы. Однако я думаю надо пояснить.

Давайте на более простом и всем понятном примере. Бросаем монету. Испытания независимы и в каждый момент времени вероятность выпадения орла или решка 1/2. Но т.к. мы делаем несколько испытаний подряд, например десять и все десять раз выпал орел, то ежу понятно, что вероятность того, что в следуюший раз выпадет орел весьма мала, а конкретно q^10, т.е. 0.5^10 = 0.000977. Т.е. как мы видим вероятность того, что десять раз подряд выпадет орел очень и очень мала. Т.е. вероятность при последовательных испытаниях все же зависит от результатов предыдуших. Надеюсь с этим вы спорить не будете.
Так вот, если вернутся к нашей задаче, меня интересует распределение вероятности для каждого цвета шара, при следующем броске.
Надеюсь больше никто не будет писать, что вероятность выпадения шара с каким-либо цветом = 1/6.

С наилучшими пожеланиями
19.06.2005 17:46
Хм... Тогда может подскажете в какой области искать ответ???
Критику вижу, а вот конструктивных советов не наблюдается.
Тогда может подскажете в какой области искать ответ???

Все равно, большое спасибо.
19.06.2005 18:15
Почему?
Вы же в условии задачи говорите
Цитата

в каждый момент времени вероятность выпадения орла или решка 1/2

0.5^10 - это вероятность того, что десять раз подряд выпадет орел.
Или вероятность выпадения конкретной последовательность орлов и решек, например, из 9 орлов и решки. Вероятность её выпадения такая же, 0.5^10. По той же логике, получается что вероятность того что 10 решка выпадет такая же как и у орла - 0.5^10. Что-то не так в этой логике.
19.06.2005 20:06
Как я вижу,...
..., Вы утверждаете, что последовательность 0100011011101101 более вероятна(пардон, более ОЖИДАЕМА), чем 0000000000000000? Если да, то Вам по другому адресу, а именно "математическая логика и теоряя алгоритмов". В этой области мне, к сожалению неизвестны четкие границы интересов направлений и точная формулировка Вашего вопроса, так что, возможно, подойдет теория информации. Также я слышал, что некоторые люди, занимающиеся этим, именуют направление математической\теоретической информатикой, а одни из самых первых фундаментальных результатов были получены Колмогоровым.
Хотя, быть может, Вы имеете в виду всего лишь то, что получится, если вероятности задавать не классическим, а более наворченным образом(не по Бернулли). Честно, говоря, мне не верится, что это даст что-либо с практической или теоретической точки зрения, но если Вам это интересно - удачи.
20.06.2005 11:04
Это уже интереснее
Так, хоть один собеседни нормальный попался, не пытается сразу втоптать в грязь, то что слегка отличается от того, что говорят за институтской партой. :)))

Немного поправлю, я пытаюсь утверждать, что после последовательности 0000 куда вероятнее, что выпадет 1, а не опять 0. Эксперимент показывает, что это именно так.
Мало того, я утвержаю, если в нынешнем испытании выпал 0, то вероятность, что в следующем испытании выпадет 1 болше чем вероятность выпадения опять 0. Ну и наоборот с 1 тоже самое, конечно. Простое моделирование показывает, что я прав.
Распределение вероятности нормальное, т.е. 1/2 для 1 и 1/2 для 0.

Но не смотря на все это вероятность, что орел с решком будут чередоваться, больше чем орел или решко будут выпадать подряд хотя бы два раза.

Проверте, не пожалеете, сгенерируйте нормальное распределение и посмотрите. Да хотябы в том же Excel.
20.06.2005 11:16
Какой конкретно эксперимент?
Какой конкретно эксперимент?
Можно посмотреть на результаты этого экперимента?
20.06.2005 11:40
форумом ошиблист вы. тут дают правильные ответы
Цитата

Надеюсь больше никто не будет писать, что вероятность выпадения шара с каким-либо цветом = 1/6.
Уважаемый, ответ на ваш вопрос 1/6, если вас не устраивают правильные ответы, то вы ошиблись форумом.
20.06.2005 11:42
Привожу пример построения эксперимента
Давайте рассмотрим такой эксперимент.

Пусть у нас есть только чилсо 0 и 1 оба имеют вероятность выпадения 1/2. Т.е. равномерное распределение. Так вот я утвержаю вероятность того, что после 0 будет выпадать 1 и наоборот после 1 буде выпадать 0, больше чем вероятность того, что будет подряд две 1 или два 0.
Для эксперимента берем Excel, генерируем дискретную последовательность с равномерным распределением. А дальше дело техники, либо ручками, либо макросом подсчитываем кол-во переходов между 1 и 0, и между 0 и 1. Все.
Если вы чуть более продвинуты, можете написать програмку на любом доступном языке, правда за равномерность распределения случайных чисел в генераторе используемого вами языка ручаться не могу.

Если требуется дополнительная иформация, сообщу. Пишите
20.06.2005 11:59
попытаться понять
Если вы сгенерируете миллион бит. И найде там все места где идет подряд девять единиц, то вы увидите, что примерно в половине случаев десятым битом будет ноль, а в половине 1.
20.06.2005 12:08
Ну и?
Язык - Java.
Последовательность длиной 10 000 000. Число переходов 4997960, примерно на половине чисел. И что нам это должно говорить?

Количество комбинаций 00, 01, 10, 11, соответственно, - 2504625 2498980 2498980 2497415. Никаких отклонений не видно.
20.06.2005 13:38
Монете плевать
Цитата

Испытания независимы и в каждый момент времени вероятность выпадения орла или решка 1/2. Но т.к. мы делаем несколько испытаний подряд, например десять и все десять раз выпал орел, то ежу понятно, что вероятность того, что в следуюший раз выпадет орел весьма мала, а конкретно q^10, т.е. 0.5^10 = 0.000977.

Ну просто образец строгого логического рассуждения. smile smile
Пойдёт в мою коллекцию.

Уважаемый Nikolay2, в книгах для детей на ваш случай просто пишут "У монеты нет памяти". Поистине, проще и доступнее объяснения вашей неправоты не придумаешь.

А с вашим "и ежу понятно" некоторые уже давно играют в казино. Успешно или нет - не знаю. sigh Система простая. Ждёте когда 10 раз шарик упадёт на красное, а потом ставите все свои деньги на чёрное.

С уважением, Лейба

20.06.2005 14:16
Ха-ха.
Цитата

Nickolay2 писал(а) :
Давайте на более простом и всем понятном примере. Бросаем монету. Испытания независимы и в каждый момент времени вероятность выпадения орла или решка 1/2. Но т.к. мы делаем несколько испытаний подряд, например десять и все десять раз выпал орел, то ежу понятно, что вероятность того, что в следуюший раз выпадет орел весьма мала, а конкретно q^10, т.е. 0.5^10 = 0.000977.

Ну это уже анекдот:
Вероятность того, что в самолете есть бомба очень мала ~ 10^(-7). Поэтому вероятность двух бомб в самолёте ~10^(-14). Мораль: отправляясь в полёт, бери с собой бомбу, ещё лучше - две.

Цитата

Надеюсь больше никто не будет писать, что вероятность выпадения шара с каким-либо цветом = 1/6.
Не надейтесь - будем.

ЗЫ. 0.5^10 - это вероятность выпадения орла 10 раз подряд, а вероятность выпадения орла (даже после его тысячного выпадения подряд) равна 1/2. Если это непонятно ежу, то это проблемы ежа, а не математиков.



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
20.06.2005 15:02
Извиняюсь, вероятно не так выразился
Так, замечательно. Наверно, мне стоит слегка извинится за не совсем корректно поставленный вопрос.
И так. Как бы вам объяснить мои рассуждения. Все что вы сказали абсолютно верно. Я неточно выразился. Попробуем так.
Например, берем 5 бросков. Первым у нас выпала 1, а меня интересует, как скоро прервется выпадение 1 и выпадет 0. Т.е. вероятность того, что в течении 5-ти испытаний подряд выпадет 1 равна 1/2^5 = 0.03. Правильно? При этом вероятность того, что в течении этих пяти испытаний(не считая первого, т.е в течении четырех последующих) выпадет 0 равна 1-1/2^4 = 0.937. Правильно? При этом если мы рассматриваем только 3 броска, то соответственно вероятность, что выпадет три 1 равна 1/2^3 = 0,125, а вероятность того, что в течении этих трех испытаний(не считая первого) выпадет 0 равна 1-1/2^2 = 0.75
Т.е. вероятность того, что в процессе испытаний будут и дальше выпадать 1 постепенно падает, а вероятность того, что рано или поздно выпадет 0 с каждым испытанием растет. Разве это неверно???
Опять таки исходя из тех же соображений, шесть 1 подряд встречается реже чем пять 1 подряд. Согласны? Вот.

Продолжаем дискуссию…
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти