Цитата
unknown писал:
мне интересно знать, как запишется этот атлас состоящий из 2-х карт?
Вот атлас для окружности (даже несколько, на выбор), а как построить из него атлас для M(2) или M(1), уже было написано.
1-й атлас (проекции из "полюсов" на ось абсцисс).Пусть T - единичная окружность: T={(x,y): x^2+y^2=1}.
Атлас будет состоять из двух карт: "верхней" и "нижней".
"Верхняя" карта (U,f).
U=T\(0,1), т. е. все точки окружности, кроме "северного полюса". Для каждой точки (x,y), принадлежащей U, проведём луч из "северного полюса" N(0,1) в точку M(x,y). Пусть u=f(x,y) - абсцисса пересечения с осью Ox. Используя подобные треугольники или уравнение прямой NM, получаем u=x/(1-y). Чтобы построить обратное отображение, из системы
u=x/(1-y), x^2+y^2=1
находим x и y:
x=2u/(1+u^2), y=(u^2-1)/(1+u^2).
Итак, f отображает U на R по формуле f(x,y)=x/(1-y), а обратное отображение действует по формуле
f^{-1}(u)=(2u/(1+u^2),(u^2-1)/(1+u^2)).
Очевидно, f есть гомеоморфизм U на R.
Аналогично строится "нижняя" карта (V,g).
V=T\(0,-1), т. е. все точки окружности, кроме "южного полюса". g(x,y) - абсцисса пересечения с осью абсцисс луча, идущего из (0,-1) в (x,y). Формулы:
g(x,y)=x/(1+y), g^{-1}(v)=(2v/(1+v^2),(1-v^2)/(1+v^2)).
Атлас состоит из карт (U,f) и (V,g). Найдём формулы перехода от u к v и наоборот, т. е. композиции g\circ f^{-1} и f\circ g^{-1}. (Здесь \circ - значок композиции.) Легко видеть, что
(g\circ f^{-1})(u)=1/u, где u<>0,
(f\circ g^{-1})(v)=1/v, где v<>0.
Гладкость этих функций определяет гладкость атласа.
В нашем случае функции аналитические, поэтому атлас аналитический.
Строить атласы для окружности легко и приятно, поэтому вот ещё несколько.
2-й атлас (в качестве локальных координат берутся углы).Атлас состоит из двух карт (U,f) и (V,g) - правой и левой.
U=T\(-1,0);
f(x,y)=arccos(x), если y>=0;
f(x,y)=-arccos(x), если y<=0.
f^{-1}(u)=(cos(u), sin(u)).
V=T\(1,0);
g(x,y)=arccos(x), если y>=0;
g(x,y)=2pi-arccos(x), если y<=0.
g^{-1}(v)=(cos(v), sin(v)).
Формулы перехода:
(g\circ f^{-1})(u)=u, если 0<u<pi;
(g\circ f^{-1})(u)=2pi+u, если -pi<u<0.
(f\circ g^{-1})(v)=v, если 0<v<pi;
(f\circ g^{-1})(v)=v-2pi, если -pi<v<0.
3-й атлас (проекции из "полюсов" на горизонтальные касательные к окружности.Строится аналогично первому атласу. Здесь получится
f(x,y)=2x/(1-y), g(x,y)=2x/(1+y).
4-й атлас (ортогональные проекции на оси координат).Состоит из четырёх карт: верхней, левой, нижней и правой. Например, верхняя карта - ортогональная проекция верхней полуокружности на ось абсцисс:
f(x,y)=x, где -1<x<1, y>0, x^2+y^2=1.
