Реальная угроза. Погром в сентябре.

Покопал я тут матлогику. Ну, так запутанно, так запутанно, но кое-что понятно :))
Естественно, возникли вопросы. И потому решил я и матлогику на ноги поставить:), коль скоро опровержение аксиом Пеано соизволили не заметить. Пока готовлю арсенал, и в качестве зарядки, или введения, есть вопрос - что же изучает математика?
На одном форуме мне в ответ выдали ссылки на целую подборку научно-популярных статей, в которых опять же не было дано четкого, определённого, и логически неопровержимого ответа. Хотя я и сам не мог найти четкого и определённого ответа в математической литературе. Так есть ли по-научному строгий ответ на этот вопрос?
Ответ не должен быть в форме научно-популярной статьи, по моим прикидкам строго научное определение вполне уместится на одной странице формата А4. Или математика, а паче того - матлогика не способны дать ответ на этот вопрос?



Когда что-нибудь придумаю, напишу.

Математика - это наука о множествах и отображениях.
А что такое множество или, тем более, отображение лучше узнать у каких-нибудь психологов.

На http://www.philosophy.ru/library/logic/index1.html (в разделе "ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ НАУКИ, МАТЕМАТИКИ, ЛОГИКИ"). Постарайтесь читать внимательно.
Если и они не зародят у Вас понимание (или, хотя-бы, ощущения понимания), то Вы - скорее всего, безнадежны и выше уровня проповедника средней руки, каковых в Рунете достаточно много подвизается около математики, Вам не поднятся. А нужны ли Вы себе в таком качестве?

Итак, три определения, правда без обоснования, простые утверждения (или предположения, обоснования-то нет). И какое из них самое правильное?

Ну, к примеру,- "наука о числах и фигурах". Причем тогда самолеты, механика, ракеты, ведь наука не об их движении и действии, а о числах? Да и что такое число? Если наука о числах, то и надо изучать числа - их, например, цвет, вкус, запах, поведение чисел в полете во сне и наяву:)) и т.д.
Не придуривайся, - скажут мне. Правильно, значит, все таки наука не о числах, а то ведь если заговорим о женских фигурах, то не до математики будет:))

О множествах и отображениях.
Числа побоку? А куда формулы девать? Что делать с интегральным исчислением и математической логикой? Это уже не разделы математики? И что тогда за отображения изучаются в этой покоцанной математике? Это надо новую философию сочинять:))

Абстрактная наука, создающая модели окружающего нас мира.
Знаешь, дилетант, такого знаменитого монаха Мальтуса? Его доморощенная теория сто раз опровергнутая практикой до сих пор принимается в экономической "навуке" как достоверный научный факт. Есть даже такая дисциплина в "аканамической навуке" - математическое моделирование экономических процессов. Люди строят теории, и даже получают Нобелевские премии, да вот одна неприятность с этими моделями - и неприменимы на практике, и не работают на практике. Покопал я там тоже немного, и в каждой истинно правильной математической модели (или теории) их основатели добавляют маленький пункт - модель верна при неизменных условиях. Но реальность такова, что неизменных условий в общественных процессах не существует. Закон перехода количества в качество (смотреть диалектическую логику) ломает все самые правильные модели. И потому пророчество Мальтуса о том, что через сто лет человечество вымрет от голода, просто не могло сбыться. Повышение производительности труда и урожайности сельхозкультур сделало его математическую модель досужим вымыслом. Тем не менее, матемаики-экономисты до сих пор строят свои несбыточные модели экономического развития. Вот такая перманентная проруха на старушку-математику существует. Создавать модели можно какие угодно и сколько угодно, да вот смысл-то есть?

sceptic, - если вы действительно сами прочитали рекомендованный вами массив литературы в поиске ответа на один вопрос, то не затруднит ли вас привести его? А то ваша отсылка на целую библотеку рождает подозрение, что ответа вы там так и не нашли, или не прочитали. А может и нет его там (ведь ваша рекомендация внимательного чтения, предполагает, что уж вы-то читали внимательно)?

dm, это только один из вопросов до сих пор так не решенный математикой. А если добавить, что до сих пор нет определения числа, множества, точки, линии, и т.д., то представляете, сколько ещё отцов-основателей, маньяков-фермазоидов (те, кто трахается с теоремой Ферма:)), опровергателей теории относительности, и прочих, как сказал sceptic, - проповедников, будут утверждать, что они самые настоящие отцы основатели? (На самом деле, настоящий отец-основатель один, не буду показывать пальцем, сами знаете:)) Так что есть, есть, необходимость определить понятия.

И наконец, жду ещё до конца недели и выдаю свое определение, придерживаясь, насколько возможно, рамок формальной логики.



Когда что-нибудь придумаю, напишу.

Числа - это элементы множества натуральных или действительных чисел.

Определение формулы:
Пусть дано некоторое множество функций F={f_1(x_1...x_n_1) ,f_2(x_1...x_n_2), ...} . Определим понятие формулы над множеством F индуктивно:
1) сами функции f_i являются формулами над ;
2) пусть каждый из объектов A_1...A_n - либо переменная, либо формула над F, тогда объект f_i(A_1...A_n_i) тоже будет формулой над F .

Интеграл - это предел некой последовательности.Последовательность это отображение множества натуральных чисел в множество действительных.

"Логический вывод новых утверждений из данных"
А только ли математика под ваше определение подходит?
И где связь с числами и геометрическими фигурами?

По моему вы дали определение исчисления высказываний, можно пивести пример физики.

Цитата

дилетант писал(а) :
По моему вы дали определение исчисления высказываний, можно пивести пример физики.

Так вот я и утверждаю, что это и есть вся математика (по крайней мере если говорить о чистой математике).

Что же касается физики, то давайте не путать физику и математические модели физических явлений. Последние также чаще всего изучаются физиками, но все-таки относятся к математике.

Рассмотрим для примера следующую школьную задачу. На высоте 1м над землей держат металлический шар весом 1 кг. Затем его отпускают (без начального ускорения). Вопрос - какую скорость будет иметь шар при столкновении с землей?

Можете Вы решить эту задачу? Я утверждаю, что нет, потому что Вам на самом деле неизвестно слишком много параметров, относящихся к данному реальному физическому эксперименту. Поэтому делают дополнительные предположения типа: шар считать материальной точкой, сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения считать равным g (а также не учитывать притяжение Солнца и Луны, движение Земли по орбите и все прочее). Это называется - ввести математическую модель рассматриваемого явления. Она точно соответствует тому, что я определил: введены абстрактные понятия и точно заданы все их свойства. Вся система теперь описывается простым дифференциальным уравнением, которое нужно решить. Естественно, это решение может не точно описывать то, что мы будем наблюдать в реальном эксперименте. Это называется соответствие между математической моделью и физическим явлением. Вот это уже к чистой математике отношения не имеет, а имеет к физике.

А сама по себе физика как наука о реально наблюдаемых вещах ни с какими абстрактными неопределяемыми объектами не работает, а с которыми работает - не наделяет их точно определенными свойствами (да еще и по своему усмотрению), так что к моему определению не относится.

Цитата

Отец-основатель писал(а) :

...точка - это отображение наименьшего количества (и качества, если уж придерживаться диалектической логики). Ключевое слово в этом определении - отображение, ведь точки в природе не существует, она только лишь воображаемый объект, который на бумаге, или наглядно, графически, мы обозначаем наименьшим кружком, имея в виду, что он отображает наименьшее количество. Но это я забежал вперед, поскольку до определения точки должно быть определение числа.

Полностью согласен с определением точки. У меня были похожие мысли, что-то вроде "минимальная часть пространства". А вот отображение (или воображение) я упускал, но ведь это как раз и относится к человеку, субъекту познания.

Попробую дать определение числа. Число - это знаковое выражение количества предметов.

Цитата

Отец-основатель писал(а) :
PAV, про неопределимые понятия я не только слышал, но ломал голову над ними некоторое время. И всё таки, неопределимость говорит только о том, что логика, выбранная в качестве инструмента, неверна. Вы хотите сказать, что их нельзя определить? Я вам скажу, что не только можно, но они уже определены мной. Коль скоро вы упомянули про точку, то точка - это отображение наименьшего количества (и качества, если уж придерживаться диалектической логики). Ключевое слово в этом определении - отображение, ведь точки в природе не существует, она только лишь воображаемый объект, который на бумаге, или наглядно, графически, мы обозначаем наименьшим кружком, имея в виду, что он отображает наименьшее количество. Но это я забежал вперед, поскольку до определения точки должно быть определение числа.

1. По поводу неверности логики. Сформулируйте, пожалуйста, четкий критерий верности и неверности, чтобы мне не пришлось спрашивать Вас каждый раз по поводу разных вещей. По умолчанию я считаю, что неверным можно назвать то, что приводит к неверным выводам. Поэтому, будьте любезны, укажите хотя бы один пример неверного вывода в математике, вызванного наличием неопределяемых понятий. Без этого Ваше утверждение голословно.

2. Ваше "определение" точки неполно. Во-первых, оно содержит неопределяемое понятие "количество". Я готов принять его, если Вы сообщите мне, какие свойства ему приписываете. Что вообще можно делать с этим количеством, можно ли его складывать и умножать, коммутативно ли оно, чем измеряется, есть ли ноль и т.д. Во-вторых, понятие "отображение" в математике само по себе не существует - нужно указать, откуда мы отображаем и куда. Пример: пара вещественных чисел (a,b) - это, по-вашему, точка, или нет? А тройка?
А десять вещественных чисел? А бесконечная последовательность вещественных чисел?

3. Ваше определение бессодержательно, так как из него нельзя сделать никаких выводов. Приведите мне пример какого-либо утверждения, которое Вы, владея своим определением точки, можете сделать, а я, по старинке считая точку неопределяемым понятием, не могу. Что оно мне дает, Ваше определение, чего я раньше не имел?

4. Наоборот, Ваше определение мне мешает, так как устраняет из математики много содержательных вещей. Вы мыслите на школьном уровне. Знаете, есть такая штука - проективная геометрия. Это некоторый специальный объект, содержащий точки и прямые, удовлетворяющие всем необходимым аксиомам. Особенность его в том, что понятие "точки" и "прямой" в нем симметрично, т.е. их можно менять местами. Это означает, что доказав любое утверждение, мы можем в не поменять местами слова "точка" и "прямая" и получим также справедливое утверждение. Таким образом, число утверждений сразу практически удваивается без лишней мороки! Я могу это сделать, а Вы - нет, потому что Ваше "определение" не позволяет назвать прямую - точкой (определение прямой Вы не дали, поэтому не могу сказать, сможете ли Вы хотя бы назвать точку - прямой; впрочем, понятие прямой без понятия точки не имеет смысла). Более того, в этой геометрии существуют специальные "несобственные" (бесконечно удаленные) точки, которые нельзя изобразить даже наименьшим кружком. Являются ли они точками в Вашем понимании, какому "количеству" тогда соответствуют?

Существуют и другие содержательные примеры, когда мы можем точкой назвать объекты, никак не являющиеся неделимыми (насколько я понял, Вы именно это имели в виду своим определением).

Резюме: то, что Вы предлагаете, не дает математике ничего нового, не выявляет и не устраняет никаких ошибок, но наоборот - устраняет из нее значительные разделы.


В дальнейшем, пожалуйста, предлагая свои определения понятий, добавляйте к ним хотя бы несколько примеров содержательных выводов, которые без этих определений невозможны. В противном случае ценность этих определений для общества никак не обоснована.