Гомоморфизмы

Автор темы iogan18tm 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеПостдок позиция по математике в Гетеборге (Швеция)10.09.2021 19:11
ОбъявлениеРабота автором топиков и проектов на математическом треке Hyperskill24.09.2021 21:18
19.05.2003 18:42
iogan18tm
Гомоморфизмы
Тут такой вопрос:
все мы знаем об изоморфности множеств Z и N. Как построить гомоморфизм Z->N и N->Z ?
19.05.2003 18:47
Кранов
Z->N
Z-> N:

n -> 2n-1, n >0;
n-> -2n, n <=0.
19.05.2003 18:52
Простите!
А в каком смысле изоморфны? Равномощны?
19.05.2003 19:43
Не ясно
> Как построить гомоморфизм Z->N и N->Z ?
Понятние "гомоморфизм" подразумевает некоторую
общую алгебраическую структуру на множествах.
Если для Z это обычно кольцо, то что имелось в виду для N?
Моноид по умножению? :-)
19.05.2003 22:13
iogan18tm
Попробую пояснить.
2 Alopex:
Да, эти множества изоморфны. Я про это уже говорил, поскольку множества то другого отношения эквивалентности быть не может.

2All: Откуда возникла мысль. Дело в том, что N - полугруппа по сложению. Z - группа сложению. Стало быть, Z также и полугруппа по сложению. Вопрос в том, Z \eq N or not в смысле полугрупп? Для этого по определнию, необходимо, чтобы одновременно было следующее :

\exists Z_1 \in Z : \exists гомоморфизм \phi : Z_1 \rightarrow N
\exists N_1 \in N : \exists гомоморфизм \psi : N_1 \rightarrow Z
И если первое - очевидно. То второе - мне пока недоступно.
Z_1, N_1 - подполугруппы.
19.05.2003 22:48
Теперь понятнее
> 2 Alopex:
> Да, эти множества изоморфны. Я про это уже говорил, поскольку
> множества то другого отношения эквивалентности быть не может.

Х-м :( Простите, но я не понял этой фразы совсем.

> 2All: Откуда возникла мысль. Дело в том, что N - полугруппа
> по сложению. Z - группа сложению. Стало быть, Z также и
> полугруппа по сложению. Вопрос в том, Z \eq N or not в смысле
> полугрупп? Для этого по определнию, необходимо, чтобы
> одновременно было следующее :
>
> \exists Z_1 \in Z : \exists гомоморфизм \phi : Z_1
> \rightarrow N
> \exists N_1 \in N : \exists гомоморфизм \psi : N_1
> \rightarrow Z
> И если первое - очевидно. То второе - мне пока недоступно.
> Z_1, N_1 - подполугруппы.

Вообще-то это совсем не похоже на определение изоморфизма. Изоморфим двух множеств - это биекция, сохраняющая операцию (операции или отношения, в зависимости от ситуации).
У Вас же сформулировано нечто, больше напоминающее к.-л. теорему об изоморфизме. Причем (хоть я никогда полугруппами не интересовался), по-моему, даже если заменить в Ваших словах "гомоморфизм" на "мономорфизм", такой аналог теоремы Кантора-Бернштейна не будет верным. Множества, конечно, окажутся равномощными, но где гарантия, что между ними можно будет установить именно изоморфизм, а не биекцию вообще? Что-то Вы путаете...
19.05.2003 22:52
Еще непонятнее
>Вопрос в том, Z \eq N or not в смысле полугрупп? Для этого по >определнию, необходимо, чтобы одновременно было следующее :

>\exists Z_1 \in Z : \exists гомоморфизм \phi : Z_1 \rightarrow N
>\exists N_1 \in N : \exists гомоморфизм \psi : N_1 \rightarrow Z

То, что здесь написано, несколько странно:
a) имелось ввиду \subset вместо \in?
b) вообще же определние изоморфизма другое:
биекция, сохраняющая операции. Написанного понять не могу,
видимо ввиду своего неалгебраичного происхождения :-)

>То второе - мне пока недоступно.
N_1=N, \psi(x)=x чем не подходит?

Предлагается выяснить, изоморфны ли полугруппы Z и N?
Тогда ответ отрицательный: полугруппа изоморфная группе
сама по себе группа, чего в случае N мы не наблюдаем :-)
Но поскольку этот ответ и так очевиден, то, похоже, имелось в виду
нечто другое.
19.05.2003 22:55
:-)
Посмотрев на названия параллельных топиков долго смеялся..

> Множества, конечно,
> окажутся равномощными, но где гарантия, что между ними можно
> будет установить именно изоморфизм, а не биекцию вообще?

Задача проверки неэквивалентности этих определений интересная
сама по себе :-)
19.05.2003 23:11
Basilisk
А что такое мономорфизм?
У меня тут встретилось слово такое, в книге найти не могу.
Правильно ли я понимаю, что мономорфизм это инъективный гомоморфизм?
А еще, что такое антиизоморфизм (тел) и, до кучи, нормальное расширение поля.
Заранее Вам благодарен.
19.05.2003 23:47
А вот что
> Правильно ли я понимаю, что мономорфизм это инъективный
> гомоморфизм?
Ага, соответственно эпиморфизм -- сюръективный гомоморфизм.

> А еще, что такое антиизоморфизм (тел)
Антиизоморфизм удовлетворяет условию f(ab)=f(b)f(a)
вместо обычного f(ab)=f(a)f(b)

> и, до кучи, нормальное расширение поля.
Вроде бы F есть нормальное расширение K,
если F есть поле разложения для некоторого множества полиномов
над K. (?)

Так ли это нам объяснят коллеги с кафедры алгебры :-)
19.05.2003 23:54
Еще вариант
Может удобнее покажется вот такой вариант:

F нормальное расширение K, если для всякого
неприводимого полинома над K наличие хотя бы одного
корня в F влечет принадлежность всех его корней к F.

Оба варианта, конечно, эквивалентны :-)
20.05.2003 09:55
Basilisk
Спасибо!
По поводу антиизорфизма я подозревал это, но вот нормальное разложение ?! Теперь знаю, спасибо.
21.05.2003 13:39
Да уж :))
> Посмотрев на названия параллельных топиков долго смеялся..

:))) Действительно весело.

> > Множества, конечно,
> > окажутся равномощными, но где гарантия, что между ними можно
> > будет установить именно изоморфизм, а не биекцию вообще?
>
> Задача проверки неэквивалентности этих определений интересная
> сама по себе :-)

Это тоже верно. Жаль у меня сейчас не сил даже толком задуматься над ней (все хочу придумать контрпример для групп, но в голову ничего не лезет :(( ). У Вас нет ли под рукой такого? :))
21.05.2003 17:16
Например
Под рукой может и нет, но придумать можно :-)

Наша задача: придумать пару неизоморфных групп G и H,
такую что G изоморфно вложимо H и наоборот.

Будем обозначать Z_n аддитивную группу вычетов mod n.
Ясно, что Z_{2^k} изморфно вложимо в Z_{2^{k+1}}.
Этим и воспользуемся: пусть
G=Z_2 * Z_4 * Z_8 * ...
H=Z_4 * Z_8 * Z_16 * ...
(бесконечные прямые произведения).
Изоморфное вложение G в H устроено так:
(a_1,a_2,... ) \mapsto (2a_1, 2a_2,...),
а обратное вложение вообще тривиально
(a_1,a_2,...) \mapsto (0,a_1,a_2,...)

Осталось показать, что G и H не изоморфны. Но это ясно --
в G существует элемент порядка 2, из которого нельзя извлечь
квадратный корень: (1,0,0,...), а в H такого элемента нет.

Сойдет?
22.05.2003 16:25
Сойдет!
> Сойдет?

Сойдет :) Здорово! Я тоже думал, что примерчик будет такого рода, но невольно искал чего-то попроще. Впрочем, "исканием" - это сложно назвать :) - когда голова занята и устала, сложно ее заставить думать над другой задачей. :)

09.06.2003 15:03
iogan18tm
Добрался
2 Alopex: изоморфизм множеств, имхо, определяется равной мощностью (это написано в начале моего поста). Множества - набор обьектов, без определенной на них операции.

Вот собственно вопрос в том, какой должен быть изоморфизм N->Z_1
Z_1 \in Z , такой что сохраняет отношение полугруппы. (*)

Насчет приведенного (мной) определения согласен - это определение делимости полугрупп. Утверждается, что если выполнены оба (Z->N,N->Z), то Z \cong N (прошу прощения за такую запись). Но интересует вопрос (*). Поскольку интересует - что надо вынести из (Z,+) чтобы она стала изоморфной N. (кроме, естественно объектов).
09.06.2003 17:28
Скажите понятнее
Цитата

Вот собственно вопрос в том, какой должен быть изоморфизм N->Z_1
Z_1 \in Z , такой что сохраняет отношение полугруппы. (*)
Ради бога, ну раз пользуетесь TeXовскими обозначениями, то делайте это правильно. Откуда тут \in? Опять имелось в виду \subset? Просто этими опечатками Вы затрудняете пониманее вопроса, который и так сформулирован расплывчато.

У полугруппы нет никакаго отношения (кроме "естественного" отношения равенства), умножение -- это операция. Зачем говорить про изоморфизм, что он "сохраняет отношение полугруппы", это либо тавтология, либо я чего-то не понял.

Повторю то, что уже сказал: чем не подходит Z_1=Z и тождественное отображение в качестве изоморфизма?

Цитата

Насчет приведенного (мной) определения согласен - это определение делимости полугрупп. Утверждается, что если выполнены оба (Z->N,N->Z), то Z \cong N (прошу прощения за такую запись).
Что значит "утверждается"? :-) Это определение Вашего обозначения "\cong" или что?

Цитата

Но интересует вопрос (*). Поскольку интересует - что надо вынести из (Z,+) чтобы она стала изоморфной N. (кроме, естественно объектов).
Какой-то странный термин "вынести", ладно в CS бы он еще подошел, но здесь... :-) И как можно вынести что-то "кроме, естественно, объектов"?
09.06.2003 20:58
- Извините, - робко спросил Alopex.
Цитата

2 Alopex: изоморфизм множеств, имхо, определяется равной мощностью (это написано в начале моего поста).

- Извините, - робко спросил Alopex, - в начале эээ-ммм-эээ котОрого? А то я чувствую себя полным эээ не в своей тарелке.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти