Не могу вычислить среднее расстояние от точки до эллипсоида в заданном секторе

Автор темы alexzander 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРекомендации по использованию теха в нашем форуме13.04.2014 19:45
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеPhD in Math at Vanderbilt University, USA14.08.2013 22:41
24.06.2012 03:11
Не могу вычислить среднее расстояние от точки до эллипсоида в заданном секторе
Здравствуйте!
Для начала я хотел бы попросить вашей помощи в простом случае, для которого однако мне не удалось вывести формулу для рассчета.
Есть эллипсоид с центром в начале координат, который я задал в сферических координатах:

$ \{{e0}*{Cos}[{teta}]*{Sin}[{phi}],{e1}*{Sin}[{teta}]*{Sin}[{phi}],{e2}*{Cos} [{phi}]\} $

Необходимо рассчитать среднее расстояние от центра координат до эллипсоида в заданных отрезках углов (teta и phi).
Как я хотел решить эту задачу - фактически, мы имеем четырехгранную пирамиду с вершиной в начале координат и криволинейным основанием, представляющим собой сектор поверхности эллипсоида.
Соответсвенно, среднее расстояние можно расчитать, разделив объем пирамиды на площадь ее основания.
Функция расстояния от начала координат до то эллипсоида:

$ \sqrt{({e0}*{Cos}[{teta}]*{Sin}[{phi}]){}^{\wedge}2+({e1}*{Sin}[{teta}]*{Sin}[{phi}]){}^{\wedge}2+({e2}*{Cos} [{phi}]){}^{\wedge}2} $

Площадь поверхности, ограниченную секторами углов, насколько я понимаю, можно рассчитать как квадратный корень из суммы единицы и квадратов производных от эллипсоида (по углам teta и phi соответсвенно):

$ \int _{{teta1}}^{{teta2}}\int _{{phi1}}^{{phi2}}\sqrt{1+\frac{\left(-2 {e0}^2 {Cos}[{teta}] {Sin}[{phi}]^2 {Sin}[{teta}]+2 {e1}^2 {Cos}[{teta}] {Sin}[{phi}]^2 {Sin}[{teta}]\right)^2}{4 \left({e2}^2 {Cos}[{phi}]^2+{e0}^2 {Cos}[{teta}]^2 {Sin}[{phi}]^2+{e1}^2 {Sin}[{phi}]^2 {Sin}[{teta}]^2\right)}+\frac{\left(-2 {e2}^2 {Cos}[{phi}] {Sin}[{phi}]+2 {e0}^2 {Cos}[{phi}] {Cos}[{teta}]^2 {Sin}[{phi}]+2 {e1}^2 {Cos}[{phi}] {Sin}[{phi}] {Sin}[{teta}]^2\right)^2}{4 \left({e2}^2 {Cos}[{phi}]^2+{e0}^2 {Cos}[{teta}]^2 {Sin}[{phi}]^2+{e1}^2 {Sin}[{phi}]^2 {Sin}[{teta}]^2\right)}}d{phi}d{teta} $

Проблема в том, что мне не удалось аналитически посчитать этот интеграл. Просил знакомых считать с помощью различного ПО (Mathcad и Wolfram Mathematica), но в лучшем случае оно лишь упрощало подинтегральное выражение.
В итоге я хотел получить формулу, которую можно было бы запрограммировать - на вход подавались бы ограничения отрезков углов teta1, teta2, phi1, phi2 (они же являются пределами интегрирования), а на выходе я бы получал среднее расстояние.
Буду рад любым идеям, предложениям и рассчетам - ибо мучаюсь долго и безуспешно.



Редактировалось 5 раз(а). Последний 24.06.2012 03:21.
25.06.2012 02:00
Ответ через интегралы и численное решение в Maple
У Вас неверно записан элемент площади поверхности в сферических координатах. Правильный ответ к Вашей задаче, представленный как отношение двух двойных интегралов:

$\frac{ \int_{\theta1}^{\theta2}\int_{\phi1}^{\phi2} \! \left( {a}^{2} \left( \sin \left( \theta \right) \right) ^{2} \left( \cos \left( \phi \right) \right) ^{2}+{b}^{2} \left( \sin \left( \theta \right) \right) ^{2} \left( \sin \left( \phi \right) \right) ^{2}+{c}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2} \right) ^{3/2}\sin \left( \theta \right) d\theta\,d\phi}{ \int_{\theta1}^{\theta2}\int_{\phi1}^{\phi2} \! \left( {a}^{2} \left( \sin \left( \theta \right) \right) ^{2} \left( \cos \left( \phi \right) \right) ^{2}+{b}^{2} \left( \sin \left( \theta \right) \right) ^{2} \left( \sin \left( \phi \right) \right) ^{2}+{c}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2} \right) \sin \left( \theta \right) d\theta\,d\phi } $

Эти интегралы не выражаются через элементарные функции, а только через спецфункции (эллиптические интегралы 1 и 2 рода). Получаются чрезвычайно громоздкие выражения. Поэтому с практической точки зрения разумнее для выбранных значений параметров сразу считать эти интегралы численно.

Численное решение в Maple с 20 значащими цифрами (код и результат):

x:=a*sin(theta)*cos(phi):
y:=b*sin(theta)*sin(phi):
z:=c*cos(theta):
A:=Int((x^2+y^2+z^2)^(3/2)*sin(theta), [theta=theta1..theta2, phi=phi1..phi2]):
B:=Int((x^2+y^2+z^2)*sin(theta), [theta=theta1..theta2, phi=phi1..phi2]):
evalf[20](subs(a=5, b=4, c=3, theta1=0, theta2=Pi/2, phi1=0, phi2=Pi/2, A/B));

4.1772880409377985210



Редактировалось 1 раз(а). Последний 25.06.2012 02:06.
25.06.2012 21:00
Спасибо за ответ, возможно вы подскажите численные методы?
Цитата
kitonum
У Вас неверно записан элемент площади поверхности в сферических координатах. Правильный ответ к Вашей задаче, представленный как отношение двух двойных интегралов:

Спасибо большое за Ваш ответ!

К сожалению, я не могу применить численное решение, т.к. в программе мне надо расчитать множество подобных интегралов постоянно - с разными пределами интегрирования по разным эллипсоидам, с вершиной пирамиды, меняющей свое положение с течением времени - поэтому мне необходимо получить аналитическое решение, сколь бы громоздким оно не было.
Однако, возможно Вы бы могли мне подсказать какие численные методы я могу применить, чтобы получить формулу, которая бы давала результат с заданной точностью (до определенного знака) или не очень большой погрешностью?
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти