Задачи: Определить является ли унитарным линейное преобразование...

Автор темы abstraight 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
Форумы Список тем Новая тема
18.08.2005 18:13
abstraight
Задачи: Определить является ли унитарным линейное преобразование...
Тут пара элементарных, на мой взгляд, задач, которые в общем я решить не могу из-за своего полнейшего дилетанства в математике, в частности в линейной алгебре. Таким образом, ребята, кто в этом понимает помогите пожалуйста решить.

1. Определить является ли унитарным линейное преобразование двумерного унитарного пространства, если: f(e1)=e1+ie2; f(e2)=ie1+e2;

2. Преобразование f переводит векторы a1, a2 в векторы b1, b2 соответственно. Проверить является ли преобразование f ортогональным (координаты векторов заданы в каноническом базисе):
a1=(3,4), a2=(1,3), b1=(0,5), b2=(3,1);

3. Ортогональное преобразование f в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства задано матрицей A. Найти канонический базис и матрицу преобразования в этом базисе:

...........(2 1 2)
A= (1/2) * (1 2 -2).(из-за проблем с форматированием точками я заменил пробелы)
...........(-2 2 1)
Ответить Цитировать
20.08.2005 01:52
jura05
решения
Объясняю:
1. Надо проверить, что полученные вектора ортогональны и имеют длину единица. |f(e_1)|^2 = |1|^2 + |i|^2 = 2, значит, преобразование уже не унитарно.
2. Надо проверить, что сохранились все скалярные произведения (скалярное произведение векторов v1=(x_1,y_1) и v2=(x_2,y_2) определяется как x_1*x_2 + y_1*y_2 и обозначается <v1,v2>).
<(3,4),(1,3)> = 3*1 + 4*3 = 15,
<(0,5),(3,1)> = 0*3 + 5*1 = 5, значит, преобразование уже не ортогонально.
3. Такие задачи слишком сложны, надо знать что такое собственные значения и определитель матрицы, а также уметь находить обратную матрицу. Но данна задача решается легко: дело в том, что матрица A не ортогональна, так как вектор e_1 она переводит в вектор (1,1/2,-1), длина которого больше 1.
Ответить Цитировать
« Следующая тема   Предыдущая тема »
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти