Пары близнецов

Хотелось бы знать, может ли иметь право на существование приведенный ниже проверочный тест пар близнецов?

[ (n + 1)^n – (n-1)^n – 0,5(n^2 + 5n + 2)] mod (n^2 – 1) = 0,
где n – среднее арифметическое близнецов, кратное 6.

Справедливости ради отмечу, что тест "пропускает" числа Кармайкла, имеющие в паре простое число.

Извиняюсь, за то, что упустил, что n должно быть кратно 6 (ошибку исправил).
Из-за этой ошибки появилось число 64401.
Насчет числа 64601 - по моим прикидкам оно простое. Про другие - не могу сказать, может быть они "исчезнут" при новой проверке с учетом моей поправки?

Опять извиняюсь, теперь за фонты (но как они настраиваются пока не знаю).
Что касается контр-примеров, то из приведенных Вами ранее, по-видимому, осталось число 2700?
Не могли бы Вы подсказать еще, хотя бы пару подобных контр-примеров?

%-)



С уважением,
Борис

Я увлекся простыми числами не так давно и пока не знаю ничего ни о проблемах, ни о том, решены ли они.

Я проверил первые 100 000 000 кратных 6 (т. е. до 600М). Контрпримеров не нашел.

Если Ваша гипотеза верна, то это очень интересно. Вам большой респект.

Кстати, насколько я знаю, проблема простых чисел-близнецов не решена.

Дорогой Alih!
Ваше сообщение вызвало такое чувство, будто я получил 600М $. Очень хочется надеятся, что сумма будет больше :))

Кстати, насколько я знаю, проблема простых чисел-близнецов не решена.
[/quote]

Если имеется в виду доказательство бесконечности пар близнецов, то до недавних пор я сам скептически относился к их бесконечности. Сейчас, я - "колеблющийся".

В общих чертах Вы все правильно поняли.
В данном случае я применил свойства Малой теоремы Ферма.
Слово "развлечение" я бы заменил на "увлечение".
Насчет матриц в степенях, я Вам ответить не могу, т. к. пока до изучения матриц не дошел.

Хотел бы попросить Вас еще проверить второй тест со знаком "плюс" до тех же величин и сообщить контр-примеры.

Дело в том, что данный тест и составлен на основании проверки условий соблюдения Малой теоремы Ферма двух парных чисел друг по отношению к другу:
[(n-1)^n]mod(n+1)=1
[(n+1)^(n-2)]mod(n-1)=1
Таким условиям могут соответствовать (если я все правильно понял из прочитанного в Интернете) только простые числа и псевдопростые числа (к которым относятся и числа Кармайкла).
Таким образом, можно утверждать, что данный тест отыскивает только пары чисел (n+/-1):
либо "простое-простое",
либо "простое-псевдопростое",
либо "псевдопростое-псевдопростое".
Весь вопрос в том, СУЩЕСТВУЮТ или НЕТ в природе пары "псевдопростое-псевдопростое» (именно, в парах (n+/-1)? И можно ли это доказать? Как мне кажется (здесь я могу ошибаться), пары таких «взаимопсевдопростых» чисел могли бы создать только числа Кармайкла, причем не имеющие общих делителей.

Если бы было доказано, что «нет», то тест можно было бы взять на вооружение и вот по каким причинам:
Любой, из существующих ныне, вероятностных тестов (Рабина-Миллера, Лемана и др.) предполагает, во-первых, проведение большого числа раундов на каждом, отдельно взятом, числе, а во-вторых, НЕ ДАЕТ ГАРАНТИЙ, что число простое.
Предложенным же тестом можно, во-первых, достаточно быстро и точно определить пары, в которых существует, хотя бы, одно простое число. С другой стороны, тест не в состоянии сам определить, какое из двух чисел – составное. Зато, и это - во-вторых, с этим достаточно успешно справляются существующие тесты и, в случае, если они сумеют определить, что одно из чисел составное (и мы знаем, что ответ – стопроцентный), то другое будет ГАРАНТИРОВАННО простое (естественно, при условии доказательства указанного выше предположения).

Вот тут:
http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=PRP
написано, что среди 25e9 (e значит *10^) первых чисел доля псевдопростых относительно теста 2^(p-1)=1 примерно 1e-6. Допустим, что у нас есть 25e9 независимых случайных величин и мы тыкаем в две из них в надежде найти пару псевдопростых.
(подсчет грубый, потому что мы реально проверяем через 6).
Какая вероятность успеха? Примерно 1e-12. Вывод: если мы переберем 25 миллиардов чисел, то вероятность найти контрпример будет пара процентов. Все это, конечно, лишь грубая оценка в предположении независимости вероятности псевдопростоты.