Задача о треугольнике

Естественно, так как одно и то же число может входить в бесконечное множество Пифагоровых троек.
А вот, может ли две высоты... Думаю - нет, но не точно. Три - точно нет.

....
Упс! Поторопился- в бесконечное множество не может, может в "определенное количество", зависящее от самОго числа...
(Естественно, речь идет о числах - катетах)...



Редактировалось 1 раз(а). Последний 14.11.2012 19:53.

alexo2,
Вы на верном пути, но попытайтесь доказать это математически.

Уважаемый ishhan,
построив косоугольный треугольник и проведя высоту, Вы получите
два прямоугольных треугольника с общим катетом - высотой.
Найдите Пифагоровы тройки для обоих треугольников, а затем
проведите соответствующий анализ. Желаю успехов! У Вас все получится.

Если задаться целыми значениями гипотенуз и общего катета (высоты), то
полученные не целочисленные значения двух других катетов в сумме не
будут целым числом. Поэтому решение возможно при условии, если размеры всех
катетов и гипотенуз выражаются целыми числами.

Цитата
museum
1. Пусть высота h разбивает наибольшую сторону с на отрезки х и у.
Тогда х+у целое, х-у - рациональное. Следовательно, взяв в качестве единицы длины число 2d, где d - знаменатель числа х-у получим все длины: х, у, а, b, c, h целыми (здесь я неаккуратно использовал старые обозначения длин, хотя масштаб и изменился).
2. Теперь применяем стандартную технику бесконечного спуска для доказательства несуществования пифагоровых троек x, h, a и y, h, b с условием, что все их члены не нулевые.

Может быть я что-то не так понял, но в первом пункте говорится что треугольник существует (треугольник с целыми значениями трех сторон и трех высот несомненно существует и легко находится), а во втором предлагается доказать, что его нет. О чем все таки речь? И, возвращаясь к исходной задаче, где отражается условие равенства длин высоты и основания?

Цитата
alexo2
... не может, так как одно и то же число не может быть бОльшим слагаемым в двух разных тройках Пифагора...

Что подразумевается под "большее слагаемое"? Если в прямом смысле, то такие тройки без труда находятся. Вот, скажем, пример двух примитивных (нельзя сократить на множитель) пифагоровых троек с общим слагаемым:
$420^2+29^2=421^2$
$420^2+341^2=541^2$

зачем развлекать патентованного идиота?
Идиот должен принимать уколы от идиотизма.

Тут у меня чепуха:

Цитата
Museum
2. Теперь применяем стандартную технику бесконечного спуска для доказательства несуществования пифагоровых троек x, h, a и y, h, b с условием, что все их члены не нулевые.

В треугольнике стороны попарно соизмеримы (могут быть представлены рациональными длинами) с хотя бы одной высотой тогда и только тогда, когда все углы имеют рациональные синусы и косинусы, что бывает в том и только том случае, когда таковы два угла треугольника. Это, кстати, дает ответ на вопрос о существовании треугольника с целыми сторонами и высотами. Пусть теперь в таком треугольнике одна из высот равна стороне, на которую она опущена, скажем , на сторону АВ = h. Сторона АВ разбивается на отрезки х и h-x так, что выпонено равенство: $\sinB=1-\sinA$. Полагая $х=\sinA$ - рациональное число, будем иметь: $\sqrt{1-x^2}$ и $\sqrt{2х-x^2}$ - рациональные числа. Следовательно, для некоторого рационального числа а имеется равенство $a^2(1-x^2)=2x-x^2$. Получаем квадратное уравнение относительно $х$
$(a^2-1)x^2+2x-a^2=0$. Его дискриминант должен быть точным квадратом, т.е. $4+4a^4-4a^2$ - точный квадрат. Значит, точным квадратом должно быть число $a^4-a^2+1=r^2$ .Рассматривая это как уравнение относительно $a^2$ получим, что точным квадратом должно быть число $4r^2-3$. Из этого получаем, что число 3 является разностью квадратов: $(р+q)^2-p^2=3$. Рациональные корни относительно $q$ этого многочлена являются целыми делителями числа 3. В нашем случае - положительным и меньше 3, т.е. $q=1$, $р=1$, $4r^2=2$, а этого не бывает.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 19.11.2012 18:06.

Цитата
tamango
$29+341=370\ne420$
Сторона, на которую опущена высота, и сама высота имеют целочисленное
значение, но они между собой не равны.

Я писал контрпример к утверждению уважаемого Alexo2 о несуществовании двух пифагоровых троек с общим большим слагаемым и не привязывал эти тройки к исходной задаче.
Что касается предложенного решения:

Цитата
museum
В треугольнике стороны попарно соизмеримы (могут быть представлены рациональными длинами) с хотя бы одной высотой тогда и только тогда, когда все углы имеют рациональные синусы и косинусы, что бывает в том и только том случае, когда таковы два угла треугольника. Это, кстати, дает ответ на вопрос о существовании треугольника с целыми сторонами и высотами. Пусть теперь в таком треугольнике одна из высот равна стороне, на которую она опущена, скажем , на сторону АВ = h. Сторона АВ разбивается на отрезки х и h-x так, что выпонено равенство: $\sinB=1-\sinA$. Полагая $х=\sinA$ - рациональное число, будем иметь: $\sqrt{1-x^2}$ и $\sqrt{2х-x^2}$ - рациональные числа. Следовательно, для некоторого рационального числа а имеется равенство $a^2(1-x^2)=2x-x^2$. Получаем квадратное уравнение относительно $х$
$(a^2-1)x^2+2x-a^2=0$. Его дискриминант должен быть точным квадратом, т.е. $4+4a^4-4a^2$ - точный квадрат. Значит, точным квадратом должно быть число $a^4-a^2+1=r^2$ .Рассматривая это как уравнение относительно $a^2$ получим, что точным квадратом должно быть число $4r^2-3$. Из этого получаем, что число 3 является разностью квадратов: $(р+q)^2-p^2=3$. Рациональные корни относительно $q$ этого многочлена являются целыми делителями числа 3. В нашем случае - положительным и меньше 3, т.е. $q=1$, $р=1$, $4r^2=2$, а этого не бывает.

то возникает ряд вопросов:
1) Откуда следует это соотношение $\sinB=1-\sinA$? Например, если отказаться от требования рациональности длин трех сторон, то у равнобедренного треугольника с длиной основания и высоты, равной $4$ будет $\sinA+\sinB=\frac{2}{\sqrt{5}}\ne1$. В случае же нашего "псевдотреугольника" с натуральными значениями длин сторон, из этого условия, очевидно, будет следовать его несуществование, т.е. мы заранее положили, что его не существует.
2) Насколько я понял, $a$, $r$, $p$ и $q$ у Вас рациональные числа. Почему тогда $q$ должно быть целым числом? Почему у уравнения $(p+q)^2-p^2=3$ отброшены все положительные рациональные решения (коих бесконечное множество) кроме целочисленных?

Вообще, крайне любопытная задача попалась. У меня, например, она мгновенно свелась к неразрешимости в целых положительных числах уравнения:
$(x+y)^4=4(x+y+z)xyz$
но на этом все и остановилось. Доказать неразрешимость мне не удалось и более того, ко мне начинают тихонько подкрадываться сомнения: а вдруг он существует? Уж больно красиво валятся попытки доказать несуществование.

P.S. Cледует отметить, что комп такого треугольника "хорошим" перебором не нашел? так что вероятность несуществования немного выше)))

Цитата
yog-urt
....
Задача не вызвала интерес: высота равна стороне, также можно ставить вопрос и о половине стороны и т. д. Существенно больший интерес вызвал пример Antona25. На целочисленной сетке построен треугольник с целочисленными сторонами!!! А если сторона не лежит на линии сетки? И вообще, как перечислить такие треугольники? А тетраэдры? А… Ну, об этом еще рано.

А разве кто-то ожидал интересных задач от патентованного идиота?