Задача о треугольнике

Цитата
tamango
Вопрос: может ли длина этой стороны, к которой высота перпендикулярна,
быть равной длине этой высоты?
Ответ: я не знаю.

Задачи, подобные этой, могут иметь несколько вариантов решения.
Интересно сколько вариантов решения у этой задачи?
И есть ли решение, обусловленное алгебраическими свойствами квадратичной формы$(v^2_1-u^2_1+v^2_2-u^2_2)^2$
В которую входят формы $(v^2_1-u^2_1)$ и $(v^2_2-u^2_2)$пифагоровых троек.

Цитата
anton25
К несчастью, приведенное доказательство (в ссылке) - ошибочно. … Ключевой пробел в предложенном доказательстве - это утверждение: "Если один из корней является целым числом, то и второй корень тоже будет целым ..."
...если удастся покончить с этим "адским псевдотреугольником, то...".

Как сказал бы А.Бородач «ни хрена себе, ребята, … я не знал…»
Спасибо, Антон (Anton25) за внимательное и профессиональное отношение к вопросу. Это свидетельствует о высоком уровне экспертизы материалов на нашем форуме.
Не хочется вываливать горы бесконечных неотточенных «доказательств» по данной теме. Пока держу паузу.
Если на том форуме ошибка еще не обозначена, то сообщу туда со ссылкой на пост Antona25.

Цитата
tamango
Даю ссылку на алгебраическое решение уравнения Пифагора,
http://koriola.narod.ru/PIFAGOR.doc,
но как его здесь активировать, я не знаю. Подскажите, пожалуйста.
Тем, кто захочет шутить по этому поводу, скажу, что в своей области
деятельности, а она очень широкая, я забыл больше, чем они
что-либо, возможно, знают.
....

Этот патентованный идиот влез сюда со этой задачей только затем, чтобы под видом ее обсуждения рекламировать свою бессмысленную пачкотню.
А забыть он ничего не мог, поскольку идиоты, особенно патентованные, ничего и не знают, вот им и забывать нечего.

Цитата
yog-urt
Привожу несложное доказательство (ход которого в общих чертах был описан ранее).
Пусть $ a, b, c $ – длины сторон треугольника (натуральные несократимые числа), причем $ a\ge b $ и $ c $ равно длине опущенной на данную сторону высоте.
Условие существования треугольника определяется решением уравнения:
$ (2ac)^2=(2c^2)^2+(c^2+a^2-b^2)^2. $

Уважаемый yog-urt, хотелось бы подробней по поводу уравнения $ (2ac)^2=(2c^2)^2+(c^2+a^2-b^2)^2. $
Откуда оно взялось, из каких соображений?
И если можно рисуночек, с обозначениями что есть что.
Для прикрепления рисунка можно воспользоваться множеством интернет ресурсов, например "savepic"
С уважением.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 02.12.2012 00:11.

Брошюра посвящена краткому описанию достижений великих математиков и в разделе Пьера Ферма описана подобная задача, которая записывается так:
Доказать невозможность существования треугольника с целочисленными сторонами площадь которого равна целому квадрату.
В нашем случае, площадь треугольника равна половине квадрата со стороной $h$.
Решена Ферма методом бесконечного спуска и описана в письме к Каркави (председатель кружка парижских математиков, после Мерсенна)
Автор брошюры утверждает, что этот метод относится к тому, что сейчас называют "алгебраической геометрией"
Задачка-то получается очень древняя ...

Спасибо, Anton25 за обсуждение и поддержку. Самое интересное, что я протащил доказательство до конца. Оно идеологически простое, но очень громоздкое (утомительно набирать и разбираться) и мои попытки упростить (чтобы покороче описать) неудачны. Оно работает для более общего случая кратности длины основания треугольника к длине высоты ($2^{n-1}, n=0,1,...$). Интересны также попытки доказательства методом "спуска", которые не проходят, но там появляются другие варианты обобщения.
По конкретным позициям:
- О попарной сократимости. Общее рассуждение такое. Из сущетвования треугольника следует уравнение (без допущений о несократимости пар) как необходимое и достаточное условие. Затем рассматриваем это уравнение как необходимое условие. При этом его можно сокращать. Если оно не имеет решения, то и исходное не имеет и, следовательно, треугольника не существует. Более того, при нахождении решения такой треугольник можно построить обратными преобразованиями. Или что-то теряется?
- Случай, когда сомножитель 2 попадает в уравнение с суммой, безусловно, должен учитываться. Один из этих сомножителей будет четным.
- Получение уравнения (вашего) и вывод из него условий типа (6),(7) очень интересен. Возможно, там будет красивое доказательство.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 03.12.2012 10:47.

Цитата
ishhan
http://savepic.ru/3429862.png
Пусть дан квадрат $ABCD$ с целочисленной стороной ($АB=h$) .
Существует ли точка $L$ лежащая на стороне $BC$ такая, что $АL$ и $LD$ целые числа.
Вроде всё то же самое, искомый треугольник $ALD$.
Можно ли придумать доказательство наделённое геометрическим смыслом о невозможности существования целочисленного треугольника $ALD$ ?

Именно эта задача, только на рисунке случай остроугольного треугольника. В рассматриваемой задаче точка L может быть на прямой BC вне квадрата.
Геометрический смысл работает до тех пор, пока не используются свойства "натуральности" чисел. Возможно, и в более общем случае, но тогда нужно включать соответствующие хитрости.

Я приведу здесь основную часть своего доказательства несуществования треугольника с заданными свойствами, в которой оно доводится практически до очевидных утверждений.
Цели: 1) апробировать ход доказательства и выявить недоразумения уже сейчас, чтобы исключить их на следующем этапе; 2) предварительно ознакомить с, возможно, интересными результатами; 3) не затягивать вопрос, поскольку времени на доведение и оформление громоздких выкладок найти не просто.
Заранее благодарен за замечания. Итак…
Условие существования треугольника определяется решением двух уравнений:
$ (1) $ $ \sqrt{a^2-c^2} \pm \sqrt {b^2-c^2}=c. $
Умножая правую и левую части этих уравнений на разность (сумму) этих же корней, получим соответственно
$ (a^2-c^2)-(b^2-c^2)=c \sqrt {a^2-c^2} \mp \sqrt {b^2-c^2} $
или
$(2) $ $ \sqrt {a^2-c^2} \mp \sqrt {b^2-c^2}=(a^2-b^2)/c. $
Сложив (1) и (2), разделив после этого полученное уравнение на 2 и затем возведя в квадрат, получим:
$ a^2-c^2 = [(c^2 + a^2-b^2)/2c]^2 $ и
$ (3) $ $ a^2=c^2+[(c^2 + a^2-b^2)/2c]^2, $
т. е.
$ (4) $ $ a^2 =c^2+z_1^2. $
Аналогично при вычитании (2) из (1) можно получить уравнение (эквивалентное уравнению (3)) для стороны треугольника длины $ b $ в виде:
$ (5) $ $ b^2 =c^2+z_2^2,$
при этом условие равенства длины стороны-основания длине высоты имеет вид:
$(6) $ $ z_1 \pm z_2=с. $
В принципе уравнения (4)-(6) можно было сразу записать в качестве исходных, однако из соотношений (3) устанавливается, что число $ c $ четно, что позволяет задать параметры пифагоровых троек для соотношений (4), (5) в виде:
$ c=2m_1n_1, z_1=m_1^2-n_1^2, $
$ c=2m_2n_2, z_2=m_2^2-n_2^2, $
При этом в соответствии с (6)
$ (7) $ $ (m_1^2-n_1^2) \pm (m_2^2-n_2^2) =2m_1n_1. $
Общее представление двух пар чисел $ (m_1,n_1) $ и $ (m_2,n_2) $, произведение каждой из которых равно $c/2, $ имеет вид
$ m_1=xy, n_1=uv, m_2=xu, n_2=yv. $
Подставляя эти значения в (7), получим
$ ((xy)^2- (uv)^2) \pm ((xu)^2-(yv)^2)=2xyuv, $
Из последних соотношений при разложении их левых частей на множители получим два уравнения:
$ (8) $ $ (x^2-v^2)(y^2+u^2)=2xyuv. $
$ (9) $ $ (x^2+v^2)(y^2-u^2)=2xyuv. $
Как установлено, для существования треугольника с требуемыми свойствами необходимо и достаточно существование решения данных уравнений в натуральных числах $ x, y, u, v. $
Поскольку эти уравнения эквивалентны с точностью до обозначения переменных, то вопрос об их разрешимости рассмотрим лишь для уравнения (8).
При этом можно считать, что числа $ x, v $ и $ y, u $ в (4) попарно несократимы, иначе их можно сократить и получить такое же уравнение в несократимом виде.
При этом условии, как легко видеть, сомножители в левой части уравнения (8) также несократимы.
С учетом рассмотренного имеем следующие свойства чисел в уравнении (8):
а) все делители числа $ (x^2-v^2) $ являются делителями числа $ 2yu, $ все делители числа $ yu $ являются делителями числа $ (x^2-v^2); $
б) все делители числа $ (y^2+u^2) $ являются делителями числа $ 2yu, $ все делители числа $ yu$ являются делителями числа $ 2xv; $
в) только одно из чисел $ (x^2-v^2), (y^2+u^2) $ является четным.
Эти утверждения позволяют представить уравнение (8) в виде 2-х вариантов системы двух уравнений:
1-й случай
$ (10) $ $ (x^2-v^2)= 2yu, (y^2+u^2)=xv $
2-й случай
$ (11) $ $ (x^2-v^2)= yu, (y^2+u^2)=2xv $
Рассмотрим 1-й случай.
С учетом того, что $ x, v $– нечетные числа и введя обозначения:
$ (x+v)/2=s, (x-v)/2=t, x=s+t, v=s-t, $
получим эквивалентную (10) систему уравнений
$ (12) $ $ 2st=yu; s^2-t^2=y^2+u^2 , $
причем $ s, t $– несократимы.
Либо $y, $ либо $u$ четно. Поскольку система уравнений (12) симметрична относительно переменных $ y, u, $ то положим для определенности $ y=2g, $ тогда из (12) получим:
$ (14) $ $ st=gu, s^2-t^2=(2g)^2+u^2$
$ (s, t $ и $ g, u $ - попарно несократимы).
Отвлечение (начало) Попробуем метод спуска.
С одной стороны, $ (s^2-t^2)^2+(2st)^2=(s^2+t^2)^2 $ и с учетом (14)
$ (О1) $ $ ((2g)^2+u^2)^2+(2gu) ^2= (s^2+t^2)^2. $
С другой стороны, выполняется тождество
$ (О2) $ $ (g^2-u^2)^2+(2gu) ^2= (g^2+u^2)^2. $
Как видно, (О1), (О2) задают уравнения «похожие» на рассматриваемые в постановке задачи и определяют целочисленный треугольник со сторонами, равными (по длине) числам в правой части этих уравнений, и длиной высоты $ 2gu. $ К сожалению, длина его стороны-основания равна$ ((2g)^2+u^2)+ (g^2-u^2)=5g^2, $ т. е. отличается от высоты. Иначе (при совпадении) из существования исходного треугольника вытекало бы существование меньшего треугольника, и отсюда несуществование треугольника с заданными свойствами вообще. Но тут не повезло. Попытки обобщить постановку задачи, чтобы этот метод заработал, не увенчались успехом. Отвлечение (конец).

Распределим делители чисел $ s, t $ на две группы (у каждого числа) следующим образом:
$ (15) $ $ s=s_gs_u, t=t_gt_u; g=s_gt_g, u=s_ut_u, $
причем все числа $ s_g, s_u, t_g, t_u $ попарно несократимы (чтобы в этом убедиться достаточно предположить противное и придти к противоречию с предыдущими условиями несократимости).
Во втором уравнении системы (14) перегруппируем слагаемые, приведя к виду
$ s^2 -u^2=(2g)^2+t^2, $
после чего с учетом представления чисел (15) придем к соотношениям:
$ s_g^2s_u^2- s_u^2t_u^2=4 s_g^2t_g^2+ t_g^2t_u^2$
$ (16) $ $ s_u^2(s_g^2-t_u^2)= t_g^2(4 s_g^2+ t_u^2). $
В зависимости от сократимости или несократимости чисел $ (s_g^2-t_u^2), (4 s_g^2+ t_u^2) $ имеем два случая.
1.1. Пусть$ (s_g^2-t_u^2) $ и $ (4 s_g^2+ t_u^2) $ сократимы на некоторое число $ p. $ Тогда
$ (s_g^2-t_u^2) =k_1p, (4 s_g^2+ t_u^2) =k_2p, $ откуда
$ 5s_g^2= (k_1+ k_2)p, $ откуда $ p=5, $ так как в противном случае $ s_g^2 $ и $ t_u^2 $ сократимы. С учетом этого из (16)
$ (17) $ $ 5s_u^2= (4 s_g^2+ t_u^2), 5t_g^2 =(s_g^2-t_u^2). $
Путем линейных преобразований уравнений (17) легко получить:
$ (18) $ $ s_u^2+t_g^2=s_g^2, s_u^2-4t_g^2= t_u^2. $

Далее схематично, но логика и само доказательство просматриваются до конца. Детали уточню при наличии времени. .
Составив для уравнений (18) пифагоровы тройки, получим относительно их параметров уравнения, аналогичные исходным (12), но с заведомо меньшими значениями неизвестных. Т. е. в данном срабатывает метод спуска: или существует решение в другом случае, или решения не существует. Ищем в других случаях.
1.2. Пусть $ (s_g^2-t_u^2) $ и $ (4 s_g^2+ t_u^2) $ несократимы. Тогда
$ s_u^2=(4 s_g^2+ t_u^2), t_g^2=(s_g^2-t_u^2). $
Утверждение 1. Система уравнений
$ (16) $ $ 4q^2+w^2=d^2, q^2-w^2=e^2. $
неразрешима в натуральных числах.
(Доказывается просто, даже расписывать пифагоровы тройки нет необходимости).
Таким образом, случай 1 исчерпан – треугольника с заданными свойствами не существует.
Рассмотрим 2-й случай.
$ (17) $ $ (x^2-v^2)= yu, (y^2+u^2)=2xv $
Далее приблизительно аналогично случаю 1, но придем к системе уравнений, неразрешимость которой устанавливается на основе утверждения 2.
Утверждение 2. Система уравнений
$ (18) $ $ q^2-2w^2=d^2, 2q^2+w^2=e^2. $
неразрешима в натуральных числах.
(Доказывается легко).
Просто ужас, попался на «слабо». Конечно, случаи 1.1 и 2 придется расписать детально – осталось немного, но просьба проверить написанное. Красивое (!!!) доказательство не получается.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 06.12.2012 03:27.

Цитата

Умножая правую и левую части этих уравнений на разность (сумму) этих же корней, получим соответственно
(1) $\sqrt{a^2-c^2}\pm\sqrt{b^2-c^2}=c$.

Здесь я увидел только ОДНО уравнение, правда вид этого уравнения зависит от вида треугольника: либо между корнями плюс (для остроугольного треугольника), либо минус (для тупоугольного). Использование одновременно двух соотношений невозможно.
Далее: домножая и складывая неизбежно прихожу к одному уравнению:
$a^2-b^2=\left(\sqrt{a^2-c^2}\mp\sqrt{b^2-c^2}\right)\cdotc$
Получаем (2) $\sqrt{a^2-c^2}\mp\sqrt{b^2-c^2}=\frac{a^2-b^2}{c}$.
Теперь

Цитата

Складывая (1) и (2), после деления полученных 2-х уравнений на 2 и возведения в квадрат имеем:

Здесь не точно указана последовательность действий: сначала делим оба уравнения на 2 или сначала их складываем? И в какой момент возводим в квадрат? Положим, что делить сразу на два мы не можем, если хотим сохранить уверенность, что все идет в целых числах, т.к. мы еще не доказали, что с - четно. Но похоже, что и Вы сначала возводите в квадрат и (1) и (2), потом складываете, потом делите на 2.
Вот, что мы получаем:
$a^2+b^2-2c^2=\frac{(a^2-b^2)^2+c^4}{2c^2}$
Вот какое красивое уравнение получаем в итоге:
$a^4+b^4+5c^4-2a^2c^2-2b^2c^2-2a^2b^2=0$
Но почему с - четное?
Другой вариант: сначала складываем - потом в квадрат сучим.
Получаем: $a^2-c^2=\frac{(a^2-b^2+c^2)^2}{4c^2}$, что то же самое.
Однако, равенства (4), (5) и (6) в любом случае выполнены, в лтличие от равенства (3), которое по размерности не катит (у Вас до него в начальных условиях с размерностью порядок, значит Вы не обозначали числом 1 размерную величину). В следующий раз будем предполагать, что с - четно. Хотя бы в этом случае да решим задачку!

Извиняюсь за отсутствие (свободное время - большая роскошь). Насчет моих сомнений по поводу "При этом можно считать, что числа x,v и y,u в (4) попарно несократимы", то я неправильно понял уважаемого Yog-urt-а. Вероятно, имелась ввиду взаимная простота x и v, и отдельно взаимная простота u и y и не предполагалась взаимная простота, например, x и y (это и не требовалось для дальнейшего хода), я был не прав. Написанное проверил до соотношений (18) включительно и не увидел ни одного логического пробела (в сути). Очень интересный ход.

P.S. Думаю, можно разгрузить немного уважаемого Yog-urt-а и снять вопрос о четности $c$, которая сразу следует из уже упоминавшегося в теме равенства:
$4c^4=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$
(получить его можно записав двумя способами площадь - по Герону и через равные основание и высоту)



Редактировалось 2 раз(а). Последний 06.12.2012 03:20.