Задача о треугольнике

Автор темы tamango 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРазделу «Задачки и головоломки» исполнилось два года21.08.2021 01:51
ОбъявлениеПреподаватель из Тайваня выкладывает на Pornhub лекции по математике и их смотрят тысячи людей27.09.2021 00:12
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2022/202314.10.2021 12:28
19.11.2012 21:54
Или как то так
Цитата
yog-urt
А разве все не сводится к уравнению
$ (2ac)^2=(2c^2)^2+(c^2+a^2-b^2)^2 $ неразрешимость которого в целых доказывается достаточно просто?
Для получения этого уравнения – записать исходное уравнение (сумма двух корней), домножить его на разность этих же корней и сложить с исходным.
Задача не вызвала интерес: высота равна стороне, также можно ставить вопрос и о половине стороны и т. д. Существенно больший интерес вызвал пример Antona25. На целочисленной сетке построен треугольник с целочисленными сторонами!!! А если сторона не лежит на линии сетки? И вообще, как перечислить такие треугольники? А тетраэдры? А… Ну, об этом еще рано.
Запишем Пифагоровы тройки как:
$x_1=q_1^2+2p_1q_1$
$y_1=2p_1^2+2p_1q_1$
$z_1=q_1^2+2p_1^2+2p_1q_1$
Если записать по-честному все необходимые соотношения, то получится система из семи уравнений:
$p_1p_2,q_1,q_2$ произвольные целые числа.
$x_1=q_1^2+2p_1q_1$
$y_1=2p_1^2+2p_1q_1$
$z_1=q_1^2+2p_1^2+2p_1q_1$
$x_2=q_2^2+2p_2q_2$
$y_2=2p_2^2+2p_2q_2$
$z_2=q_2^2+2p_2^2+2p_2q_2$
$x_1+x_2=y_1=y_2$
Возможны и другие варианты, но суть та же.
P.S. Парочку лишних уравнений для $z_1$ и $z_2$ можно убрать...



Редактировалось 1 раз(а). Последний 19.11.2012 22:11.
19.11.2012 22:16
Опять какую-то чепуху написал
Забыл, что там-то не синусы стоят, а котангенсы.
19.11.2012 22:53
Это не портит доказательства
Цитата
museum
Забыл, что там-то не синусы стоят, а котангенсы.
Ничего страшного, "я тоже путаю вилки и не всегда могу разобраться, какой нужно пользоваться" (королева Англии Ю. Гагарину).
Ваш ход доказательства ОЧЕНЬ интересен и поучителен.
19.11.2012 23:26
Не сильно понял
Цитата
Yog-Urt
Задача не вызвала интерес: высота равна стороне, также можно ставить вопрос и о половине стороны и т. д. Существенно больший интерес вызвал пример Antona25. На целочисленной сетке построен треугольник с целочисленными сторонами!!! А если сторона не лежит на линии сетки? И вообще, как перечислить такие треугольники? А тетраэдры?
Любой треугольник с целыми сторонами и хотя бы одной целой высотой доставляет пример аналогичный примеру Antona25. Верно и обратное. Любая пара Пифагоровых троек позволяет построить такой треугольник, только строится треугольник не столь примитивно, как по тройкам типа Antona25, зато после построения треугольника мы получим три пары троек Пифагора, каждая из которых имеет по общему члену. Опять же, если Вас интересует получение треугольника такого типа со сторонами не на осях, то поверните оси на хороший угол (с рациональными синусами и косинусами) и подберите масштаб (или сделайте гомотетию). Тетраэдр - другая история.
А задачка вызвала интерес не потому, что мне довелось наговорить глупостей, а потому, что решение не представляется таким уж простым. Хотелось бы взглянуть на детали.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 20.11.2012 01:11.
20.11.2012 19:25
...
Цитата
yog-urt
А разве все не сводится к уравнению
$ (2ac)^2=(2c^2)^2+(c^2+a^2-b^2)^2 $ неразрешимость которого в целых доказывается достаточно просто?
Для получения этого уравнения – записать исходное уравнение (сумма двух корней), домножить его на разность этих же корней и сложить с исходным.
Задача не вызвала интерес: высота равна стороне, также можно ставить вопрос и о половине стороны и т. д. Существенно больший интерес вызвал пример Antona25. На целочисленной сетке построен треугольник с целочисленными сторонами!!! А если сторона не лежит на линии сетки? И вообще, как перечислить такие треугольники? А тетраэдры? А… Ну, об этом еще рано.
Ну не знаю, мне задача показалась очень интересной. Можно, конечно, ставить вопрос о кратности длин основания и высоты, но случай равенства всегда обособлен и выглядит интересней (по крайней мере на вид). Что же касается вопроса перечисления всех целочисленных треугольников с целочисленной высотой, то это дело не хитрое. Как абсолютно справедливо отметил глубокоуважаемый Museum, такие треугольники можно задавать парами троек Пифагора. В общем случае все такие треугольники будут иметь вид $(k(x_1y_2+x_2y_1);kx_1z_2;kx_2z_1;kx_1x_2)$ (обозначения: 1-я компонента - длина основания, 2-я и 3-я - длины двух других сторон треугольника, 4-я - длина высоты к основанию (которая конечно получается из первых трех компонент)), где $x_1^2+y_1^2=z_1^2$ и $x_2^2+y_2^2=z_2^2$ - произвольные тройки Пифагора (известен общий вид всех таких троек!), $k=\frac{m}{n}$, где $m$ - произвольное натуральное число и $n$ - произвольный делитель числа $НОД(x_1y_2+x_2y_1;x_1z_2;x_2z_1;x_1x_2)$. Очевидно, в точности такой же вид будут иметь все треугольники с рациональными длинами всех сторон и всех высот с той лишь разницей, что $k$ будет произвольным положительным рациональным числом. С описанием всех тетраэдров все немного сложнее, но по крайней мере очевидно, что тетраэдр с целыми длинами всех ребер и хотя бы одной высоты существует (пример легко строится).
Возвращаясь к задаче, Вы получили очень красивый вид уравнения! Я, к сожалению, сразу отказался работать с длинами сторон и ввел новые переменные. Т.е., из формул для площади треугольника (Герона и через основание и высоту) у меня вышло уравнение:
$4c^4=(c+a+b)(c+a-b)(c+b-a)(a+b-c)$ (оно равносильно Вашему, но имеет куда менее удобный и красивый вид). В этом уравнении я не стал ничего раскрывать и перегруппировывать, а сразу ввел замены:
$x=c+a-b$, $y=c+b-a$ и $z=a+b-c$ и получил новое уравнение с которым не справился. Не поделитесь ли Вы глубокоуважаемый Yog-urt, каким образом удалось доказать неразрешимость Вашего уравнения?
21.11.2012 00:49
Путевые заметки или предварительные наброски
Цитата
museum
Любая пара Пифагоровых троек позволяет построить такой треугольник, ...
...мы получим три пары троек Пифагора, каждая из которых имеет по общему члену. Опять же, если Вас интересует получение треугольника такого типа со сторонами не на осях, то поверните оси на хороший угол (с рациональными синусами и косинусами) и подберите масштаб (или сделайте гомотетию). Тетраэдр - другая история.
А задачка вызвала интерес не потому, что мне довелось наговорить глупостей, а потому, что решение не представляется таким уж простым. Хотелось бы взглянуть на детали.
Цитата
anton25
Как абсолютно справедливо отметил глубокоуважаемый Museum, такие треугольники можно задавать парами троек Пифагора. В общем случае все такие треугольники будут иметь вид $(k(x_1y_2+x_2y_1);kx_1z_2;kx_2z_1;kx_1x_2)$ (обозначения: 1-я компонента - длина основания, 2-я и 3-я - длины двух других сторон треугольника, 4-я - длина высоты к основанию (которая конечно получается из первых трех компонент)), где $x_1^2+y_1^2=z_1^2$ и $x_2^2+y_2^2=z_2^2$ - произвольные тройки Пифагора (известен общий вид всех таких троек!), $k=\frac{m}{n}$, где $m$ - произвольное натуральное число и $n$ - произвольный делитель числа $НОД(x_1y_2+x_2y_1;x_1z_2;x_2z_1;x_1x_2)$. Очевидно, в точности такой же вид будут иметь все треугольники с рациональными длинами всех сторон и всех высот с той лишь разницей, что $k$ будет произвольным положительным рациональным числом. С описанием всех тетраэдров все немного сложнее, но по крайней мере очевидно, что тетраэдр с целыми длинами всех ребер и хотя бы одной высоты существует (пример легко строится).
Возвращаясь к задаче,....Yog-urt, каким образом удалось доказать неразрешимость Вашего уравнения?
Действительно, идея построения целочисленных треугольников на целочисленной сетке (с основанием на линии) понятна. В связи с примером Antona25 показалось, что для общего положения треугольника должно выполниться слишком много условий. Нужно подумать над рациональным поворотом, потом осмыслю. Спасибо за подсказки. Сейчас вообще не способен осмыслить что-нибудь серьезное. Утром отъезд на 3 дня без доступа к компьютеру, еще разбираться с маршрутом.
По поводу доказательства - ход мысли был следующий. Уравнение, аналогичное записанному для $a$, составлялось для $b$ (оба в несократимом виде). Эти уравнения переписывались через параметры пифагоровых троек. Учитывая, что произведение пар чисел, определяющих пифагоровы тройки, постоянно (равно $c/2), $ число c представлялось в виде: $c=2x_1x_2y_1y_2, $ где $ (x_1x_2,y_1y_2), (x_1y_1,x_2y_2) $– две пары чисел, соответствующих уравнению для двух сторон с длинами $a, b $ соответственно. (Это общее представление двух пар чисел, произведение каждой из которых равно $c/2). $
Ясно, что для любых чисел $x_1, y_1, x_2, y_2 $можно построить треугольник с высотой $c=2x_1x_2y_1y_2 $ и целочисленными длинами отрезков, на которые делит высота сторону треугольника, и, естественно, с целочисленной длиной стороны. Единственное существенное условие задачи, которое определяет возможность или невозможность построения необходимого в задаче треугольника, состоит в том, что сумма этих отрезков равна c. Это условие может быть преобразовано к виду: $ (x_1^2-y_2^2)(x_2^2+y_1^2)= 2x_1x_2y_1y_2 $ (правильность проверяется раскрытием скобок)…
Прерываюсь до выходных, а то могу написать что-нибудь непотребное (в математическом смысле).
21.11.2012 12:08
Параметры Пифагоровой тройки
Если Вы имеете ввиду тройку в Вашем уравнении, то следует учесть, что эта тройка не является минимальной, но и без того анализ представляется жутковатым.
22.11.2012 00:15
Да, затупил я конкретно ((((
По поводу задачи уважаемого Yog-urt-а об описании всех треугольников. Перечитал еще раз и понял какую ерунду нес. Речь то шла не просто о целочисленных треугольниках с целочисленной высотой, а о целочисленных треугольниках на координатной плоскости у которых координаты всех вершин являются целыми числами, а длина высоты, вообще говоря, не обязана быть целым числом (непонятно, почему меня унесло, ведь велось обсуждение линий и даже звучал термин "целочисленная сеть (решетка)"). В любом случае, решение задачи указано уважаемым Museum-ом:
Цитата
Museum
... Любая пара Пифагоровых троек позволяет построить такой треугольник ... если Вас интересует получение треугольника такого типа со сторонами не на осях, то поверните оси на хороший угол (с рациональными синусами и косинусами) и подберите масштаб (или сделайте гомотетию).
и можно лишь конкретизировать это решение и указать общий вид всех целочисленных треугольников с целочисленными координатами (через координаты вершин):
$A\left(x_0;y_0\right)$,
$B\left(x_0+k(x_1x_3y_2\mpx_1x_2y_3);y_0+k(x_1x_2x_3\pmx_1y_2y_3)\right)$,
$C\left(x_0+k(x_1x_3y_2+x_2x_3y_1);y_0\pmk(x_1y_2y_3+x_2y_1y_3)\right)$,
где $x_1^2+y_1^2=z_1^2$, $x_2^2+y_2^2=z_2^2$ и $x_3^2+y_3^2=z_3^2$ - три произвольных и независимых пифагоровых тройки, $k=\frac{m}{n}$ (где $n=НОД(|x_1x_3y_2\mpx_1x_2y_3|,|x_1x_2x_3\pmx_1y_2y_3|,\,x_1x_3y_2+x_2x_3y_1,\,x_1y_2y_3+x_2y_1y_3)$, $m$ - произвольное целое число) и $x_0$, $y_0$ - произвольные целые числа. В сущности, как оказывается, один треугольник описывается тремя тройками Пифагора, двумя целыми числами и одним рациональным числом (рац. число немного зависит от пифагоровых троек)

P.S. Хочется верить, что в общем случае и тетраэдры удастся описать с помощью конечного набора произвольных пифагоровых троек и трюков с поворотами, гомотетиями и переносами и с помощью этого записать координаты всех вершин. Жаль времени нет.
22.11.2012 15:44
Представляет интерес
Уважаемые господа,
открыв на сайте http://koriola.narod.ru/ файл "PIFAGOR", вы найдете
"Алгебраическое решение уравнения теоремы Пифагора",
в котором изложена простая методика расчета Пифагоровых троек для
любого заданного числа. Обращаю ваше внимание на то, что для простых
чисел существует только одна тройка. Для составных -несколько.
Количество их зависит от количества сомножителей, входящих в число,
для которого определяются дополняющие его пары чисел.
Здесь предложены иные варианты задачи о треугольнике, они представляют
интерес, но не забывайте об исходном условии задачи.
Успехов всем.
22.11.2012 16:04
Патентованный идиот опять патентует "открытие" на Украине.
Цитата
tamango
Уважаемые господа,
открыв на сайте http://koriola.narod.ru/ файл "PIFAGOR", вы найдете
"Алгебраическое решение уравнения теоремы Пифагора",
в котором изложена простая методика расчета Пифагоровых троек для
любого заданного числа. Обращаю ваше внимание на то, что для простых
чисел существует только одна тройка. Для составных -несколько.
Количество их зависит от количества сомножителей, входящих в число,
для которого определяются дополняющие его пары чисел.
Здесь предложены иные варианты задачи о треугольнике, они представляют
интерес, но не забывайте об исходном условии задачи.
Успехов всем.
Этот идиот и не слышал, что формулы, генерирующие все пифагоровы тройки, получены несколько веков тому назад и их давно рассматривают на школьном уроке по алгебре в 8-м классе.
Уверен,что данный патентованный идиот уже сидит в очереди в патентном бюро с заявкой на изобретение "формул для Пифагоровых троек".
22.11.2012 21:32
Право же, господа,
я не знаю, какое отношение сообщение г. Tamango, процитированное г. Brukvalubom, имеет к теме рассматриваемой здесь задачи (разве, что тут встречаются Пифагоровы тройки), но задачка-то интересная. И это обстоятельство не зависит от менее интересного сообщения о Ферма-сайте.
22.11.2012 23:23
хм
Цитата
tamango
Если задаться целыми значениями гипотенуз и общего катета (высоты), то
полученные не целочисленные значения двух других катетов в сумме не
будут целым числом. Поэтому решение возможно при условии, если размеры всех
катетов и гипотенуз выражаются целыми числами.

докажите, что не будут целым числом.

Цитата
museum
1. Пусть высота h разбивает наибольшую сторону с на отрезки х и у.
Тогда х+у целое, х-у - рациональное.

докажите, что x-y - рациональное.
23.11.2012 00:29
Очевидно
Дмитрий! Это же доказывается совсем просто, так что не стоит отвлекать уважаемого museuma на такие пустяки.
В самом деле, пусть в треугольнике все три стороны $a,\,b,\,c$ целые и целая высота $h$ падает на сторону $c$ . Тогда имеем соотношение $\sqrt{a^2-h^2}+\sqrt{b^2-h^2}=c$ . Переносим второй корень направо и обе части возводим в квадрат. После простейших преобразований получаем $\sqrt{b^2-h^2}=\frac{c^2+b^2-a^2}{2c}$ , откуда и следует, что высота делит сторону $c$ на 2 целых отрезка.
23.11.2012 10:09
хм
Атлична атлична. Только давайте отрезки не целыми будут, а все-таки рациональными)
23.11.2012 10:42
Всё-таки целые
Цитата
zklb (Дмитрий)
Атлична атлична. Только давайте отрезки не целыми будут, а все-таки рациональными)
Дмитрий, я думал Вы знаете, что корень из натурального числа есть число натуральное либо иррациональное.
23.11.2012 10:58
хм
Точна) Вот теперь вообще все понятно стало)))
25.11.2012 15:23
Условие делимости
Уважаемый ketonum,
в дроби $\frac{c^2+b^2-a^2}{2c},$ если числа $a,b$ не делятся
на число $с$, дробь рациональная, но результат деления не целое число.
Если Вы открывали файл PIFAGOR на указанном мною сайте, то Вы могли видеть
простой метод нахождения целочисленных значений всех сторон и высоты треугольника:
задаетесь значением высоты как параметром и находите целочисленные значения сторон
двух прямоугольных треугольников. Сложив их общим катетом (высотой), Вы получите
новый треугольник, в котором все стороны имеют целочисленное значение, и при этом
высота (перпендикуляр) делит сторону, на которую она опущена, на целочисленные отрезки.
Очень просто!
25.11.2012 16:14
О целочисленных треугольниках на целочисленной сетке
О решении задачи. Просматривая материал о построении целочисленных треугольников на целочисленной сетке (в связи с подсказкой Museuma и Antona25) я неожиданно наткнулся на обсуждение и решение (простое и красивое) этой задачи здесь). Та форма уравнения, которая была у Antona25, фактически уже давала простое доказательство (да и механизм доказательства стандартный), но я, по-видимому, его сбил с этого пути.
Мое доказательство основано на неразрешимости в натуральных числах системы уравнений,
$ 2yu=(x^2-v^2), xv=y^2+u^2. $
(где $ y $ – четно, $ x,v $ и $ y,u $ попарно несократимы), решение которой необходимо и достаточно для построения искомого треугольника
Эквивалентная система уравнений: $ s^2-t^2=y^2+u^2, yu=2st $ ($ s,t $ –несократимы).
Но все варианты предполагают большое число утомительных преобразований и ведут по окружному пути.
Привел эти уравнения в следующих целях:
1) система неразрешима (если кому-нибудь придется иметь с ней дело);
2) если кто-нибудь знаком с этими уравнениями или «сразу» видит их неразрешимость (что весьма возможно), прошу подсказать .
О целочисленных треугольниках на целочисленной сетке. Вопрос мне представляется интересным: 1)перечисление вообще + таблица минимальных (по площади, периметру, радиусу описанной окружности,…на линии сетки, в общем положении…), 2) перечисление треугольников с доп. свойством целочисленности высот (очевидно, что если одна, то площадь и все высоты) - аналогично… Хотя это все несложно, но результаты «несдвигаемые». У меня задачи несколько другой ориентации.
По поводу выкладывания задач без ссылок (как своих собственных) я уже отмечал, что это, по крайней мере, неэтично: неуважительно как по отношению к автору, так и к тем, кому они предназначаются. Почему бы Tamango не сказать: есть интересная задача, решение там-то, хотелось бы обсудить. У Xenia1996, никак не реагирующей на обоснованные и поясненные рекомендации, иначе, чем врожденным нахальством, это трудно объяснить – «ни здрасьте, ни до свидания, ни спасибо, ни пожалуйста». Тестируйтесь, мол, на школьных задачах, а я посмотрю, на что вы способны.
Здесь можно долго рассуждать, но… сокрытие источника использованного материала всегда связано с нечестностью (в лучшем случае с рассеянностью).
Этот вопрос больше поднимать не буду, каждый решает сам. Dixi et animam levavi.
26.11.2012 05:24
...
Цитата
yog-urt
... я неожиданно наткнулся на обсуждение и решение (простое и красивое) этой задачи здесь...
Почему бы Tamango не сказать: есть интересная задача, решение там-то, хотелось бы обсудить...
Я был почти уверен, что авторство принадлежит уважаемому Tamango (хотя вполне есть вероятность того, что Tamango действительно придумал эту задачу и не знал, что она уже кем-то рассматривалась. История знает много примеров), ну да ладно, важно, что именно он принес ее на форум, за что я лично ему благодарен.
Огромное спасибо, уважаемый Yog-urt, за ссылку. Очень интересно было посмотреть на рассуждения (да и к + понять, что мы не одиноки во вселенной smile). К несчастью, приведенное доказательство (в ссылке) - ошибочно. Я применял этот ход и натыкался на ту же самую ошибку, но мне очень повезло, т.к. я все свои утверждения по возможности стараюсь проверять на ЭВМ (хотя бы небольшим перебором) дабы экономить свое время. Ключевой пробел в предложенном доказательстве - это утверждение: "Если один из корней является целым числом, то и второй корень тоже будет целым ...". Если присмотреться к доказательству сего утверждения, а также к последующему продолжению доказательства основного утверждения, то и там и там фигурирует число 5, однако, все что требуется от этого числа (для доказательств) - это его простота. Тогда было бы справедливо и утверждение: Для любых натуральных $m$ и $n$ и для любого простого числа $p$, уравнение $px^4-(m^2+n^2)x^2+m^2n^2=0$ не имеет решений в целых числах. Но появляется контрпример:
$7x^4-(1^2+6^2)x^2+1^26^2=0$, $x_{1,2}=\pm2$ и $x_{3,4}=\pm\frac{3\sqrt{7}}{7}$, который сразу делает необоснованными оба утверждения (неразрешимость ур-я в целых числах и рациональность всех корней, если хотя бы один - рациональный).

P.S. Насчет великолепных задач о перечислениях, предложенных уважаемым Yog-urt-ом, то крайне интересной оказалась задача с тетраэдрами. Т.е. описание всех тетраэдров с целыми значениями длин всех ребер и координат всех вершин. Так что если удастся покончить с этим "адским псевдотреугольником", то, если появится у кого-то желание, вполне можно вести обсуждение новой нестандартной задачи. Прочие предложенные задачи на перечисление также очень интересны и эффектны (несмотря на простоту некоторых из них) и что немаловажно могут находить различные применения, например, в простейшем случае при составлении задачников по аналитической геометрии, не вызывающих негатива и паники у студентов своими страшно иррациональными ответами.



Редактировалось 4 раз(а). Последний 26.11.2012 07:07.
26.11.2012 10:42
О ссылках
Уважаемый yog-urt,
я дал ссылку на свое алгебраическое решение уравнения теоремы Пифагора.
Оно простое, легко проверяемое любыми расчетами, Можно его
обсуждать, но если Вы его смотрели, то могли убедиться, что обсуждать
там нечего. Используя это доказательство, можно для любого заданного значения
длины высоты (катета), не равного простому числу, найти две пары целых чисел:
значений гипотенуз и вторых катетов. Получим два прямоугольных треугольника с
целочисленными значениями сторон, в которых катет одного треугольника равен катету
другого треугольника. Сложив их по этому катету (высоте), получим новый треугольник.
Высота нового треугольника делит сторону нового треугольника на целочисленные
отрезки. Длина этой стороны равна сумме двух других катетов найденных прямоугольных
треугольников, она имеет целочисленное значение.
Вопрос: может ли длина этой стороны, к которой высота перпендикулярна,
быть равной длине этой высоты?
Ответ: я не знаю.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти