Задача о треугольнике

Автор темы tamango 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
ОбъявлениеHuawei - Research scientist (math)22.06.2021 11:25
ОбъявлениеПреподаватель из Тайваня выкладывает на Pornhub лекции по математике и их смотрят тысячи людей27.09.2021 00:12
26.11.2012 14:13
Множество решений
Цитата
tamango
Вопрос: может ли длина этой стороны, к которой высота перпендикулярна,
быть равной длине этой высоты?
Ответ: я не знаю.
Задачи, подобные этой, могут иметь несколько вариантов решения.
Интересно сколько вариантов решения у этой задачи?
И есть ли решение, обусловленное алгебраическими свойствами квадратичной формы$(v^2_1-u^2_1+v^2_2-u^2_2)^2$
В которую входят формы $(v^2_1-u^2_1)$ и $(v^2_2-u^2_2)$пифагоровых троек.
26.11.2012 15:30
«Верной дорогой идете, «товарищи» (И. Сусанин)
Цитата
tamango
Верный путь alexo2, Вы на верном пути,…
Цитата
tamango
Теплее, теплее... Уважаемый ishhan,
Найдите Пифагоровы тройки для обоих треугольников, а затем
проведите соответствующий анализ. Желаю успехов! У Вас все получится.
Цитата
tamango
Ответ: я не знаю.
27.11.2012 02:03
"Адский псевдотреугольник" или ужас без конца
Цитата
anton25
К несчастью, приведенное доказательство (в ссылке) - ошибочно. … Ключевой пробел в предложенном доказательстве - это утверждение: "Если один из корней является целым числом, то и второй корень тоже будет целым ..."
...если удастся покончить с этим "адским псевдотреугольником, то...".
Как сказал бы А.Бородач «ни хрена себе, ребята, … я не знал…»
Спасибо, Антон (Anton25) за внимательное и профессиональное отношение к вопросу. Это свидетельствует о высоком уровне экспертизы материалов на нашем форуме.
Не хочется вываливать горы бесконечных неотточенных «доказательств» по данной теме. Пока держу паузу.
Если на том форуме ошибка еще не обозначена, то сообщу туда со ссылкой на пост Antona25.
27.11.2012 14:29
Даю ссылку
Даю ссылку на алгебраическое решение уравнения Пифагора,
http://koriola.narod.ru/PIFAGOR.doc,
но как его здесь активировать, я не знаю. Подскажите, пожалуйста.
Тем, кто захочет шутить по этому поводу, скажу, что в своей области
деятельности, а она очень широкая, я забыл больше, чем они
что-либо, возможно, знают.
P.S.
1. Возможно, кто-нибудь и до меня предлагал аналогичную задачу,
но я составил ее самостоятельно, на приоритет я не претендую.
Но я, действительно, пока не нашел ее решения, хотя определенная
наработка есть.
2. Если взять за исходное значение высоты равным $231 (3,7,11)$,
то можно получить $9$ Пифагоровых троек, т.е. прямоугольных
треугольников, с высотой (катетом) $231.$



Редактировалось 3 раз(а). Последний 27.11.2012 14:53.
27.11.2012 19:54
Из жизни идиотов.
Цитата
tamango
Даю ссылку на алгебраическое решение уравнения Пифагора,
http://koriola.narod.ru/PIFAGOR.doc,
но как его здесь активировать, я не знаю. Подскажите, пожалуйста.
Тем, кто захочет шутить по этому поводу, скажу, что в своей области
деятельности, а она очень широкая, я забыл больше, чем они
что-либо, возможно, знают.
....
Этот патентованный идиот влез сюда со этой задачей только затем, чтобы под видом ее обсуждения рекламировать свою бессмысленную пачкотню.
А забыть он ничего не мог, поскольку идиоты, особенно патентованные, ничего и не знают, вот им и забывать нечего.biggrin
01.12.2012 03:07
Доказательство несуществования
Привожу несложное доказательство (ход которого в общих чертах был описан ранее).
Примечание. В "доказательстве" имеются ошибки (добавлено при редактировании)
Пусть $ a, b, c $ – длины сторон треугольника (натуральные несократимые числа), причем $ a\ge b $ и $ c $ равно длине опущенной на данную сторону высоте.
Условие существования треугольника определяется решением уравнения:
$ (2ac)^2=(2c^2)^2+(c^2+a^2-b^2)^2. $
С учетом симметрии запишем это и аналогичное уравнение для второй стороны треугольника в следующем виде
$ (1) $ $ a^2=c^2+ z_1^2, b^2=c^2+ z_2^2 $.
(Здесь принято во внимание, что $c$ – четно, поскольку $a, b$– нечетны).
Условие равенства стороны-основания высоте задается условием:
$ (2) $ $z_1^2 \pm z_2^2 =c$.
Для уравнений (1) параметры пифагоровых троек определяются соотношениями:
$ c=2m_1n_1, z_1=m_1^2-n_1^2, $
$ c=2m_2n_2, z_2=m_2^2-n_2^2, $
откуда в соответствии с (2)
$ (3) $ $ (m_1^2-n_1^2) \pm (m_2^2-n_2^2) =2m_1n_1. $
Общее представление двух пар чисел $ (m_1,n_1) $ и $ (m_2,n_2) $, произведение каждой из которых равно $c/2, $имеет вид
$ m_1=xy, n_1=uv, m_2=xu, n_2=yv. $
Подставляя эти значения в (3), получим $ ((xy)^2- (uv)^2) \pm ((xu)^2-(yv)^2)=2xyuv, $
Из последнего уравнения имеем два случая:
1. $ (4) $ $ (x^2-v^2)(y^2+u^2)=2xyuv. $
2. $ (5) $ $ (x^2+v^2)(y^2-u^2)=2xyuv. $
причем можно обеспечить условия: $ x, v $ и $ y,u, $– попарно несократимы, $ x, v $- нечетны.
Рассмотрим эти случаи отдельно.
В силу отмеченной несократимости входящих в (4) переменных из (4) следует:
1. В случае 1:
$ (6) $ $ (x^2-v^2)=2yu, $
$ (7) $ $ y^2+u^2= xv. $
Поскольку либо $ y, $ либо $ u$ четно и уравнения (6), (7) симметричны относительно $ y, u, $ то для определенности положим $ y=2g. $ Тогда
$ gu=[(x-v)/2][(x+v)/2], xv=4g^2+u^2. $
В соответствии с (6), (7) возможны варианты:
a) $ (x-v)/2=g, (x+v)/2=u, $ откуда
$ xv=(x-v)^2+[(x+v)/2]^2 $ – в натуральных числах решения не имеет.
b) $ (x-v)/2=u, (x+v)/2=g; $
$ xv=(x+v)^2+[(x-v)/2]^2 $ – в натуральных числах решения не имеет.
2. В случае 2:
$ (8) $ $ x^2+v^2=2yu, $
$ (9) $ $ y^2-u^2= xv. $
Из (8), (9):
$ x=y-u, v=y+u, 2yu=x^2+v^2;$
$ 2yu=(y-u)^2+(y+u)^2,$
$ (y-u)^2+y^2+u^2=0 $ – в натуральных числах решения не имеет.
Все варианты исчерпаны – треугольник с указанными свойствами не существует.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 02.12.2012 13:01.
02.12.2012 00:08
не очень-то понятно
Цитата
yog-urt
Привожу несложное доказательство (ход которого в общих чертах был описан ранее).
Пусть $ a, b, c $ – длины сторон треугольника (натуральные несократимые числа), причем $ a\ge b $ и $ c $ равно длине опущенной на данную сторону высоте.
Условие существования треугольника определяется решением уравнения:
$ (2ac)^2=(2c^2)^2+(c^2+a^2-b^2)^2. $
Уважаемый yog-urt, хотелось бы подробней по поводу уравнения $ (2ac)^2=(2c^2)^2+(c^2+a^2-b^2)^2. $
Откуда оно взялось, из каких соображений?
И если можно рисуночек, с обозначениями что есть что.
Для прикрепления рисунка можно воспользоваться множеством интернет ресурсов, например "savepic"
С уважением.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 02.12.2012 00:11.
02.12.2012 04:13
"Доказательство" оказалось не доказательством
«Доказательство» не проходит, прошу извинить. Есть тривиальные ошибки (глупости), к которым пришел (даже вернулся) в результате попыток «упрощения». Сразу не сообщил - был в пути (уже Россия). В предыдущее сообщение внес соответствующую информацию.
Исходное уравнение, естественно, верное и получение системы двух уравнений (6) и (7) мне представляется интересным. Это я опишу более детально, чтобы обсудить и удостовериться в правильности подхода.
Немного отойду от дороги – и на связь.
02.12.2012 10:52
Библиотечка Квант выпуск 9
Брошюра посвящена краткому описанию достижений великих математиков и в разделе Пьера Ферма описана подобная задача, которая записывается так:
Доказать невозможность существования треугольника с целочисленными сторонами площадь которого равна целому квадрату.
В нашем случае, площадь треугольника равна половине квадрата со стороной $h$.
Решена Ферма методом бесконечного спуска и описана в письме к Каркави (председатель кружка парижских математиков, после Мерсенна)
Автор брошюры утверждает, что этот метод относится к тому, что сейчас называют "алгебраической геометрией"
Задачка-то получается очень древняя ...
03.12.2012 04:09
...
Цитата
yog-urt
«Доказательство» не проходит, прошу извинить. Есть тривиальные ошибки (глупости), к которым пришел (даже вернулся) в результате попыток «упрощения». Сразу не сообщил - был в пути (уже Россия). В предыдущее сообщение внес соответствующую информацию.
Исходное уравнение, естественно, верное и получение системы двух уравнений (6) и (7) мне представляется интересным. Это я опишу более детально, чтобы обсудить и удостовериться в правильности подхода.
Немного отойду от дороги – и на связь.
Доказательство очень интересное (несмотря на ошибки). Насчет соотношений (6) и (7), то, при условии $x,\,y,\,u,\,v$ - попарно взаимно простые, они действительно справедливы (хотя наверное есть и альтернатива когда $2$ попадает в (7)), однако само это условие равносильно попарной взаимной простоте чисел $a,\,b,\,c$, а это уже дополнительное ограничение на треугольник (например, числа $6,\,15,\,10$). Любопытно, что из соотношения (4) (оно - верное!) получается тот же критерий существования треугольника, что и у меня, но гораздо быстрее (у меня был долгий к нему путь без соотношений для троек Пифагора): неразрешимость в натуральных числах уравнения $p^4+q^4+3p^2q^2=r^2$ (Если интересно, то могу показать как оно у меня получено, но думаю это не важно, т.к. здесь быстрее). Можно попробовать попытать это уравнение. В любом случае, спасибо, уважаемый Yog-urt, за участие и за интересный вариант стратегии решения и возможно именно она в конечном счете разрешит задачу. Все попытки и варианты решений важны и правильные и неправильные.
Цитата
ishhan
Брошюра посвящена краткому описанию достижений великих математиков и в разделе Пьера Ферма описана подобная задача, которая записывается так:
Доказать невозможность существования треугольника с целочисленными сторонами площадь которого равна целому квадрату.
В нашем случае, площадь треугольника равна половине квадрата со стороной h.
Решена Ферма методом бесконечного спуска и описана в письме к Каркави (председатель кружка парижских математиков, после Мерсенна)
Автор брошюры утверждает, что этот метод относится к тому, что сейчас называют "алгебраической геометрией"
Задачка-то получается очень древняя ...
Боюсь там не совсем наш случай, ведь там в рассмотрении прямоугольный треугольник, стороны которого связаны известным соотношением, а у нас оно, вообще говоря, не обязательно и потом существует бесконечно много целочисленных треугольников у которых площадь равна $q\cdotn^2$, где $q$ - рациональное число и для каждого $q$ задачу можно назвать близкой к той которую решил Ферма, однако ответы могут оказаться противоположными. Тем не менее, большое спасибо за книгу, уважаемый Ishhan, в ней много интересного и полезного (обязательно ее прочту в свободное время).
03.12.2012 04:41
Придется вымучивать...
Спасибо, Anton25 за обсуждение и поддержку. Самое интересное, что я протащил доказательство до конца. Оно идеологически простое, но очень громоздкое (утомительно набирать и разбираться) и мои попытки упростить (чтобы покороче описать) неудачны. Оно работает для более общего случая кратности длины основания треугольника к длине высоты ($2^{n-1}, n=0,1,...$). Интересны также попытки доказательства методом "спуска", которые не проходят, но там появляются другие варианты обобщения.
По конкретным позициям:
- О попарной сократимости. Общее рассуждение такое. Из сущетвования треугольника следует уравнение (без допущений о несократимости пар) как необходимое и достаточное условие. Затем рассматриваем это уравнение как необходимое условие. При этом его можно сокращать. Если оно не имеет решения, то и исходное не имеет и, следовательно, треугольника не существует. Более того, при нахождении решения такой треугольник можно построить обратными преобразованиями. Или что-то теряется?
- Случай, когда сомножитель 2 попадает в уравнение с суммой, безусловно, должен учитываться. Один из этих сомножителей будет четным.
- Получение уравнения (вашего) и вывод из него условий типа (6),(7) очень интересен. Возможно, там будет красивое доказательство.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 03.12.2012 10:47.
03.12.2012 11:30
А если слегка поменять условие.
http://savepic.ru/3429862.png
Пусть дан квадрат $ABCD$ с целочисленной стороной ($АB=h$) .
Существует ли точка $L$ лежащая на стороне $BC$ такая, что $АL$ и $LD$ целые числа.
Вроде всё то же самое, искомый треугольник $ALD$.
Можно ли придумать доказательство наделённое геометрическим смыслом о невозможности существования целочисленного треугольника $ALD$ ?



Редактировалось 1 раз(а). Последний 03.12.2012 11:30.
03.12.2012 11:43
Она самая, as is
Цитата
ishhan
http://savepic.ru/3429862.png
Пусть дан квадрат $ABCD$ с целочисленной стороной ($АB=h$) .
Существует ли точка $L$ лежащая на стороне $BC$ такая, что $АL$ и $LD$ целые числа.
Вроде всё то же самое, искомый треугольник $ALD$.
Можно ли придумать доказательство наделённое геометрическим смыслом о невозможности существования целочисленного треугольника $ALD$ ?
Именно эта задача, только на рисунке случай остроугольного треугольника. В рассматриваемой задаче точка L может быть на прямой BC вне квадрата.
Геометрический смысл работает до тех пор, пока не используются свойства "натуральности" чисел. Возможно, и в более общем случае, но тогда нужно включать соответствующие хитрости.
03.12.2012 14:00
Как знать:)
Цитата
tamango
Дан косоугольный треугольник, величины сторон которого имеют целочисленные размеры.
Смотря что имелось в виду по поводу "косого угла":
И в случае:
$косой=острый$
Для нечетных $h$ решений нетsmile
P.S.Может быть правильно так:
Eсли площадь треугольника $ALD$ целое число, то для нечётных $h$ решений нет.
Или без разницы?



Редактировалось 2 раз(а). Последний 03.12.2012 14:21.
05.12.2012 03:10
"А время гонит лошадей" (А. Пушкин)
Я приведу здесь основную часть своего доказательства несуществования треугольника с заданными свойствами, в которой оно доводится практически до очевидных утверждений.
Цели: 1) апробировать ход доказательства и выявить недоразумения уже сейчас, чтобы исключить их на следующем этапе; 2) предварительно ознакомить с, возможно, интересными результатами; 3) не затягивать вопрос, поскольку времени на доведение и оформление громоздких выкладок найти не просто.
Заранее благодарен за замечания. Итак…
Условие существования треугольника определяется решением двух уравнений:
$ (1) $ $ \sqrt{a^2-c^2} \pm \sqrt {b^2-c^2}=c. $
Умножая правую и левую части этих уравнений на разность (сумму) этих же корней, получим соответственно
$ (a^2-c^2)-(b^2-c^2)=c \sqrt {a^2-c^2} \mp \sqrt {b^2-c^2} $
или
$(2) $ $ \sqrt {a^2-c^2} \mp \sqrt {b^2-c^2}=(a^2-b^2)/c. $
Сложив (1) и (2), разделив после этого полученное уравнение на 2 и затем возведя в квадрат, получим:
$ a^2-c^2 = [(c^2 + a^2-b^2)/2c]^2 $ и
$ (3) $ $ a^2=c^2+[(c^2 + a^2-b^2)/2c]^2, $
т. е.
$ (4) $ $ a^2 =c^2+z_1^2. $
Аналогично при вычитании (2) из (1) можно получить уравнение (эквивалентное уравнению (3)) для стороны треугольника длины $ b $ в виде:
$ (5) $ $ b^2 =c^2+z_2^2,$
при этом условие равенства длины стороны-основания длине высоты имеет вид:
$(6) $ $ z_1 \pm z_2=с. $
В принципе уравнения (4)-(6) можно было сразу записать в качестве исходных, однако из соотношений (3) устанавливается, что число $ c $ четно, что позволяет задать параметры пифагоровых троек для соотношений (4), (5) в виде:
$ c=2m_1n_1, z_1=m_1^2-n_1^2, $
$ c=2m_2n_2, z_2=m_2^2-n_2^2, $
При этом в соответствии с (6)
$ (7) $ $ (m_1^2-n_1^2) \pm (m_2^2-n_2^2) =2m_1n_1. $
Общее представление двух пар чисел $ (m_1,n_1) $ и $ (m_2,n_2) $, произведение каждой из которых равно $c/2, $ имеет вид
$ m_1=xy, n_1=uv, m_2=xu, n_2=yv. $
Подставляя эти значения в (7), получим
$ ((xy)^2- (uv)^2) \pm ((xu)^2-(yv)^2)=2xyuv, $
Из последних соотношений при разложении их левых частей на множители получим два уравнения:
$ (8) $ $ (x^2-v^2)(y^2+u^2)=2xyuv. $
$ (9) $ $ (x^2+v^2)(y^2-u^2)=2xyuv. $
Как установлено, для существования треугольника с требуемыми свойствами необходимо и достаточно существование решения данных уравнений в натуральных числах $ x, y, u, v. $
Поскольку эти уравнения эквивалентны с точностью до обозначения переменных, то вопрос об их разрешимости рассмотрим лишь для уравнения (8).
При этом можно считать, что числа $ x, v $ и $ y, u $ в (4) попарно несократимы, иначе их можно сократить и получить такое же уравнение в несократимом виде.
При этом условии, как легко видеть, сомножители в левой части уравнения (8) также несократимы.
С учетом рассмотренного имеем следующие свойства чисел в уравнении (8):
а) все делители числа $ (x^2-v^2) $ являются делителями числа $ 2yu, $ все делители числа $ yu $ являются делителями числа $ (x^2-v^2); $
б) все делители числа $ (y^2+u^2) $ являются делителями числа $ 2yu, $ все делители числа $ yu$ являются делителями числа $ 2xv; $
в) только одно из чисел $ (x^2-v^2), (y^2+u^2) $ является четным.
Эти утверждения позволяют представить уравнение (8) в виде 2-х вариантов системы двух уравнений:
1-й случай
$ (10) $ $ (x^2-v^2)= 2yu, (y^2+u^2)=xv $
2-й случай
$ (11) $ $ (x^2-v^2)= yu, (y^2+u^2)=2xv $
Рассмотрим 1-й случай.
С учетом того, что $ x, v $– нечетные числа и введя обозначения:
$ (x+v)/2=s, (x-v)/2=t, x=s+t, v=s-t, $
получим эквивалентную (10) систему уравнений
$ (12) $ $ 2st=yu; s^2-t^2=y^2+u^2 , $
причем $ s, t $– несократимы.
Либо $y, $ либо $u$ четно. Поскольку система уравнений (12) симметрична относительно переменных $ y, u, $ то положим для определенности $ y=2g, $ тогда из (12) получим:
$ (14) $ $ st=gu, s^2-t^2=(2g)^2+u^2$
$ (s, t $ и $ g, u $ - попарно несократимы).
Отвлечение (начало) Попробуем метод спуска.
С одной стороны, $ (s^2-t^2)^2+(2st)^2=(s^2+t^2)^2 $ и с учетом (14)
$ (О1) $ $ ((2g)^2+u^2)^2+(2gu) ^2= (s^2+t^2)^2. $
С другой стороны, выполняется тождество
$ (О2) $ $ (g^2-u^2)^2+(2gu) ^2= (g^2+u^2)^2. $
Как видно, (О1), (О2) задают уравнения «похожие» на рассматриваемые в постановке задачи и определяют целочисленный треугольник со сторонами, равными (по длине) числам в правой части этих уравнений, и длиной высоты $ 2gu. $ К сожалению, длина его стороны-основания равна$ ((2g)^2+u^2)+ (g^2-u^2)=5g^2, $ т. е. отличается от высоты. Иначе (при совпадении) из существования исходного треугольника вытекало бы существование меньшего треугольника, и отсюда несуществование треугольника с заданными свойствами вообще. Но тут не повезло. Попытки обобщить постановку задачи, чтобы этот метод заработал, не увенчались успехом. Отвлечение (конец).

Распределим делители чисел $ s, t $ на две группы (у каждого числа) следующим образом:
$ (15) $ $ s=s_gs_u, t=t_gt_u; g=s_gt_g, u=s_ut_u, $
причем все числа $ s_g, s_u, t_g, t_u $ попарно несократимы (чтобы в этом убедиться достаточно предположить противное и придти к противоречию с предыдущими условиями несократимости).
Во втором уравнении системы (14) перегруппируем слагаемые, приведя к виду
$ s^2 -u^2=(2g)^2+t^2, $
после чего с учетом представления чисел (15) придем к соотношениям:
$ s_g^2s_u^2- s_u^2t_u^2=4 s_g^2t_g^2+ t_g^2t_u^2$
$ (16) $ $ s_u^2(s_g^2-t_u^2)= t_g^2(4 s_g^2+ t_u^2). $
В зависимости от сократимости или несократимости чисел $ (s_g^2-t_u^2), (4 s_g^2+ t_u^2) $ имеем два случая.
1.1. Пусть$ (s_g^2-t_u^2) $ и $ (4 s_g^2+ t_u^2) $ сократимы на некоторое число $ p. $ Тогда
$ (s_g^2-t_u^2) =k_1p, (4 s_g^2+ t_u^2) =k_2p, $ откуда
$ 5s_g^2= (k_1+ k_2)p, $ откуда $ p=5, $ так как в противном случае $ s_g^2 $ и $ t_u^2 $ сократимы. С учетом этого из (16)
$ (17) $ $ 5s_u^2= (4 s_g^2+ t_u^2), 5t_g^2 =(s_g^2-t_u^2). $
Путем линейных преобразований уравнений (17) легко получить:
$ (18) $ $ s_u^2+t_g^2=s_g^2, s_u^2-4t_g^2= t_u^2. $

Далее схематично, но логика и само доказательство просматриваются до конца. Детали уточню при наличии времени. .
Составив для уравнений (18) пифагоровы тройки, получим относительно их параметров уравнения, аналогичные исходным (12), но с заведомо меньшими значениями неизвестных. Т. е. в данном срабатывает метод спуска: или существует решение в другом случае, или решения не существует. Ищем в других случаях.
1.2. Пусть $ (s_g^2-t_u^2) $ и $ (4 s_g^2+ t_u^2) $ несократимы. Тогда
$ s_u^2=(4 s_g^2+ t_u^2), t_g^2=(s_g^2-t_u^2). $
Утверждение 1. Система уравнений
$ (16) $ $ 4q^2+w^2=d^2, q^2-w^2=e^2. $
неразрешима в натуральных числах.
(Доказывается просто, даже расписывать пифагоровы тройки нет необходимости).
Таким образом, случай 1 исчерпан – треугольника с заданными свойствами не существует.
Рассмотрим 2-й случай.
$ (17) $ $ (x^2-v^2)= yu, (y^2+u^2)=2xv $
Далее приблизительно аналогично случаю 1, но придем к системе уравнений, неразрешимость которой устанавливается на основе утверждения 2.
Утверждение 2. Система уравнений
$ (18) $ $ q^2-2w^2=d^2, 2q^2+w^2=e^2. $
неразрешима в натуральных числах.
(Доказывается легко).
Просто ужас, попался на «слабо». Конечно, случаи 1.1 и 2 придется расписать детально – осталось немного, но просьба проверить написанное. Красивое (!!!) доказательство не получается.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 06.12.2012 03:27.
05.12.2012 13:33
in for a penny...
Цитата
yog-urt

Условие существования треугольника определяется решением двух уравнений:
$ (1) $ $ \sqrt{a^2-c^2} \pm \sqrt {b^2-c^2}=c. $
Умножая правую и левую части этих уравнений на разность (сумму) этих же корней, получим соответственно
$ (a^2-c^2) \mp (b^2-c^2)=c \sqrt {a^2-c^2} \mp \sqrt {b^2-c^2} $
или
$(2) $ $ \sqrt {a^2-c^2} \mp \sqrt {b^2-c^2}=[(a^2-c^2) \mp (b^2-c^2)]/c. $
Складывая (1) и (2), после деления полученных 2-х уравнений на 2 и возведения в квадрат имеем:
$ (a^2-c^2) = [(c^2 \mp a^2-b^2)/2c]^2 $ и
$ (3) $ $ (a^2) =c^2+[(c^2 \mp a^2-b^2)/2c]^2, $
...
Красивое (!!!) доказательство не получается.
Согласен, что исходное уравнение записывается именно так как приведено выше.
Но, зачем рассматривать $\pm $ одновременно?
Что бы не возникала путаница в алгебраическом рассмотрении, имеет смысл рассматривать какой то один случай, либо $+$ либо $-$
Мне, например, интересно именно геометрическое рассмотрение.
Пока есть только это:
Если стороны и диагонали выпуклого четырехугольника выражены рациональными числами, то диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника, стороны которых так же выражены рациональными числами. http://www.mccme.ru/free-books/prasolov/planim/gl5sol.htm#ref-5.43
Задача 5.43 б)
Подробности позже.
05.12.2012 16:14
Чего я не понял
Цитата

Умножая правую и левую части этих уравнений на разность (сумму) этих же корней, получим соответственно
(1) $\sqrt{a^2-c^2}\pm\sqrt{b^2-c^2}=c$.
Здесь я увидел только ОДНО уравнение, правда вид этого уравнения зависит от вида треугольника: либо между корнями плюс (для остроугольного треугольника), либо минус (для тупоугольного). Использование одновременно двух соотношений невозможно.
Далее: домножая и складывая неизбежно прихожу к одному уравнению:
$a^2-b^2=\left(\sqrt{a^2-c^2}\mp\sqrt{b^2-c^2}\right)\cdotc$
Получаем (2) $\sqrt{a^2-c^2}\mp\sqrt{b^2-c^2}=\frac{a^2-b^2}{c}$.
Теперь
Цитата

Складывая (1) и (2), после деления полученных 2-х уравнений на 2 и возведения в квадрат имеем:
Здесь не точно указана последовательность действий: сначала делим оба уравнения на 2 или сначала их складываем? И в какой момент возводим в квадрат? Положим, что делить сразу на два мы не можем, если хотим сохранить уверенность, что все идет в целых числах, т.к. мы еще не доказали, что с - четно. Но похоже, что и Вы сначала возводите в квадрат и (1) и (2), потом складываете, потом делите на 2.
Вот, что мы получаем:
$a^2+b^2-2c^2=\frac{(a^2-b^2)^2+c^4}{2c^2}$
Вот какое красивое уравнение получаем в итоге:
$a^4+b^4+5c^4-2a^2c^2-2b^2c^2-2a^2b^2=0$
Но почему с - четное?
Другой вариант: сначала складываем - потом в квадрат сучим.
Получаем: $a^2-c^2=\frac{(a^2-b^2+c^2)^2}{4c^2}$, что то же самое.
Однако, равенства (4), (5) и (6) в любом случае выполнены, в лтличие от равенства (3), которое по размерности не катит (у Вас до него в начальных условиях с размерностью порядок, значит Вы не обозначали числом 1 размерную величину). В следующий раз будем предполагать, что с - четно. Хотя бы в этом случае да решим задачку!
05.12.2012 19:19
Пояснения
Тут сразу три дела и куча вопросов со всех сторон, сечас распутаюсь,..и аккуратно без спешки отвечу
.



Редактировалось 4 раз(а). Последний 05.12.2012 20:57.
06.12.2012 02:34
...
Извиняюсь за отсутствие (свободное время - большая роскошь). Насчет моих сомнений по поводу "При этом можно считать, что числа x,v и y,u в (4) попарно несократимы", то я неправильно понял уважаемого Yog-urt-а. Вероятно, имелась ввиду взаимная простота x и v, и отдельно взаимная простота u и y и не предполагалась взаимная простота, например, x и y (это и не требовалось для дальнейшего хода), я был не прав. Написанное проверил до соотношений (18) включительно и не увидел ни одного логического пробела (в сути). Очень интересный ход.

P.S. Думаю, можно разгрузить немного уважаемого Yog-urt-а и снять вопрос о четности $c$, которая сразу следует из уже упоминавшегося в теме равенства:
$4c^4=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$
(получить его можно записав двумя способами площадь - по Герону и через равные основание и высоту)



Редактировалось 2 раз(а). Последний 06.12.2012 03:20.
06.12.2012 03:07
.Объяснительная записка
Цитата
museum
Здесь я увидел только ОДНО уравнение, правда вид этого уравнения зависит от вида треугольника: либо между корнями плюс (для остроугольного треугольника), либо минус (для тупоугольного). Использование одновременно двух соотношений невозможно.
Это как смотреть:- одно с $\pm $ или два: одно с «+», другое с «-».
С двумя и более уравнениями работать можно, но желательно не ошибаться. После того, как я получил одно уравнение, второе записал «по наитию» и напутал со знаками. Это не повлияло на дальнейшие заключения, так как от этой части требовалось лишь установить четность числа $с $. Она установлена, на этом я остановлюсь позже. Я внес поправки в предыдущее сообщение, чтобы не переписывать одно и то же и не компилировать текст доказательства из разных сообщений.
Цитата
museum
Здесь не точно указана последовательность действий
Уточняю и предельно детализирую. Имеем два исходных уравнения, записанных в сообщении ранее под (1).
1) Уравнение для остроугольного треугольника:
$ (1) $ $ \sqrt{a^2-c^2}+ \sqrt {b^2-c^2}=c. $
После его умножения на $ \sqrt{a^2-c^2}- \sqrt {b^2-c^2} $, смены левой и правой частей и затем деления на $с $ получаем
$(2) $ $ \sqrt {a^2-c^2}-\sqrt {b^2-c^2}=[(a^2-c^2)-(b^2-c^2)]/c. $
Сложим (1) и (2), поделим результат на 2, возведем обе части в квадрат, упростим запись правой части и перенесем $ c^2 $ в правую часть (не забудем поменять знак), получим:
$ (3) $ $ a^2 =c^2+[(c^2+a^2-b^2)/2c]^2, $
2) Уравнение для тупоугольного треугольника:
$ (1) $ $ \sqrt{a^2-c^2}- \sqrt {b^2-c^2}=c. $
После его умножения на $ \sqrt{a^2-c^2}+ \sqrt {b^2-c^2} $, смены левой и правой частей и затем деления на $с $ получаем
$(2) $ $ \sqrt {a^2-c^2}+\sqrt {b^2-c^2}=[(a^2-c^2)-(b^2-c^2)]/c. $
Сложим (1) и (2) (уже пункта 2), поделим результат на 2, возведем обе части в квадрат, упростим запись правой части и перенесем $ c^2 $ в правую часть (не забудем поменять знак), получим записанное выше уравнение (3).
Цитата
museum
Положим, что делить сразу на два мы не можем, если хотим сохранить уверенность, что все идет в целых числах, т.к. мы еще не доказали, что с - четно.
Вообще-то мы можем выполнять любые действия по законам арифметики. Если при этом в левой части равенства мы получили целое число, то независимо от того, что доказано для чисел в правой части равенства, она (т. е. правая часть) будет тоже целым числом, тем же самым, которое стоит в левой части.
Цитата
museum
Вот какое красивое уравнение получаем в итоге:
$a^4+b^4+5c^4-2a^2c^2-2b^2c^2-2a^2b^2=0$
Оно имеется на сайте, ссылку на который я давал ранее. Но в моем доказательстве оно не используется.
Цитата
museum
… в отличие от равенства (3), которое по размерности не катит (у Вас до него в начальных условиях с размерностью порядок, значит Вы не обозначали числом 1 размерную величину).
С размерностью полный порядок.
Цитата
museum
Но почему с - четное?
В следующий раз будем предполагать, что с - четно. Хотя бы в этом случае да решим задачку!
Элементарные рассуждения относительно уравнения (3) на уровне школьной арифметики приводят к установлению четности числа $c$. Ничего предполагать не надо - АЗ ЕСМЬ. Если вопрос не отпадет сам по себе, то распишу. Сейчас просто перегружен, а спешка порождает погрешности.
Задача решена в полном объеме, так что разбираемся дальше…
Цитата
anton25
Извиняюсь за отсутствие (свободное время - большая роскошь). Насчет моих сомнений по поводу "При этом можно считать, что числа x,v и y,u в (4) попарно несократимы", то я неправильно понял уважаемого Yog-urt-а. Вероятно, имелась ввиду взаимная простота x и v, и отдельно взаимная простота u и y и не предполагалась взаимная простота, например, x и y (это и не требовалось для дальнейшего хода), я был не прав. Написанное проверил до соотношений (18) включительно и не увидел ни одного логического пробела (в сути). Очень интересный ход.
P.S. Думаю, можно разгрузить немного уважаемого Yog-urt-а и снять вопрос о четности $c$, которая сразу следует из уже упоминавшегося в теме равенства:
$4c^2=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$
(получить его можно записав двумя способами площадь - по Герону и через равные основание и высоту)
Спасибо, Anton25 и Museum, за внимательное отношение. Действительно, в условиях запарки, кучи неотложных дел написать и выверить такой громоздкий текст довольно сложно. Поэтому на тех местах, которые мы с Anton’ом25 уже обсудили и прониклись, останавливаться в условиях полного отсутствия времени не с руки.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти