Задача о треугольнике

Автор темы tamango 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеАктуарий в PPF Life Insurance (Junior)25.03.2021 21:35
ОбъявлениеHuawei - Research scientist (math)22.06.2021 11:25
06.12.2012 11:21
Приношу извинения
Цитата

Yog-urt
Объяснительная записка new
Я не возражал против соединения знаков плюс и минус, выражающего единый процесс для двух сходных, хотя и различных ситуаций. В действительности я просто не заметил, что дробь в уравнении (3) из Вашего поста "А время гонит лошадей" (А. Пушкин) возводится в квадрат. По этой причине счел это ур-е ошибочным и просто постарался восстановить ход вычислений и дошел в своем посте до того же уравнения.
Кроме того я не усмотрел, как из полученного уравнения следует четность $с$, но теперь и это не актуально, т.к. г. Kitonum обнаружил для этого весьма убедительный ход.
Действительно, в равенстве $4c^4=(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)$ справа стоит четное число, и, т.к. все сомножители имеют одинаковую четность, то число справа делится на 16.
06.12.2012 14:59
Интересная форма
Цитата
anton25

$4c^4=(c+a+b)(c+a-b)(c+b-a)(a+b-c)$ (оно равносильно Вашему, но имеет куда менее удобный и красивый вид). В этом уравнении я не стал ничего раскрывать и перегруппировывать, а сразу ввел замены:
$x=c+a-b$, $y=c+b-a$ и $z=a+b-c$ и получил новое уравнение с которым не справился. Не поделитесь ли Вы глубокоуважаемый Yog-urt, каким образом удалось доказать неразрешимость Вашего уравнения?
Уважаемый anton25, Вы затронули интересный вопрос!
На мой взгляд, любителя математики, Ваше уравнение имеет красивый "симметрический" вид и заслуживает подробного изучения:
Так, если ввести обозначения подобные Вашим:
$a+b+c=2s$
$a+b-c=2x$
$a-b+c= 2y$
$-a+b+c=2z$
То оно преобразуется в уравнение:
$4c^4=16xyzs$
Где новые переменные связаны соотношением $x+y+z=s$
$с$ выражается через новые как $c=y+z$
Таким образом приходим к тому что:
$(y+z)^4=(s-x)^4=4xyzs$
Справа стоит простая симметрическая форма от четырёх переменных $x,y,z,s$ степени $4$ , которые связаны соотношением $s=x+y+z$
14.12.2012 23:06
...
Извиняюсь за отсутствие (был сильно занят)
Цитата
ishhan
... уравнение имеет красивый "симметрический" вид и заслуживает подробного изучения:
Так, если ввести обозначения подобные Вашим:
$a+b+c=2s$
$a+b-c=2x$
$a-b+c= 2y$
$-a+b+c=2z$
То оно преобразуется в уравнение:
$4c^4=16xyzs$
Где новые переменные связаны соотношением $x+y+z=s$
$с$ выражается через новые как $c=y+z$
Таким образом приходим к тому что:
$(y+z)^4=(s-x)^4=4xyzs$
Справа стоит простая симметрическая форма от четырёх переменных $x,y,z,s$ степени $4$ , которые связаны соотношением $s=x+y+z$
Вид действительно красивый, только толку от него было не много, разве что это уравнение сводится к другому от которого вышел таки толк (об этом позже), но, как оказалось, то новое уравнение можно было получить и иными способами (например, из одного из соотношений уважаемого Yog-urt-а). Тем не менее это уравнение не имеет решений в натуральных числах (в копилку коллекционерам smile).
Судя по всему, интерес к теме к сожалению потерян, но все же хотелось бы поставить твердую точку и адекватно ее завершить (чтобы в новый год без долгов smile). По существу следующее доказательство опирается на идеи уважаемого Yog-urt-а о спуске и применении пифагоровых троек (возможно, что доказательства Yog-urt-a и это и вовсе эквивалентны):
14.12.2012 23:15
Доказательство
# Произведя в уравнении $4c^4=(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a)$ (оно получается из формул для площадей через основание и равную ему высоту ($c$) и через формулу Герона (см. ссылку у уважаемого Yog-urt-a)) замены $X=a+c-b$, $Y=b+c-a$ и $Z=a+b-c$, получим уравнение $4XYZ^2+4(X+Y)XYZ-(X+Y)^4=0$ ($X,Y,Z\inN$) из которого: $Z=\frac{(X+Y)\sqrt{(XY)^2+XY(X+Y)^2}-(X+Y)XY}{2XY}$, где
(1) $(XY)^2+XY(X+Y)^2=XY(X^2+3XY+Y^2)=N^2$ ($N\inN$)
Если $НОД(X,Y)=q$, то $X=qX_1$, $Y=qY_1$ где $X_1,Y_1$ - в.п. (взаимно просты). Тогда (1) можно записать как
$X_1Y_1(X_1^2+3X_1Y_1+Y_1^2)=N_1^2$.
Т.к. числа $X_1,Y_1,X_1^2+3X_1Y_1+Y_1^2$ - попарно в.п., то каждое из них является полным квадратом, т.е. $X_1=x^2$, $Y_1=y^2$ и $X_1^2+3X_1Y_1+Y_1^2=p^2$, откуда получаем уравнение:
(2) $x^4+3x^2y^2+y^4=p^2$ ($x,y$ - в.п.).
Очевидно, разрешимость в натуральных числах уравнения (2) равносильна существованию искомого треугольника. Предположим, что (2) имеет решение в натуральных числах. Пусть $(x_0;\,y_0)$ - такое решение (2), что $p\inN$ - минимально. Положим $y_0$ - нечетное число (числа $x_0,y_0$ в.п. и значит хотя бы одно из них нечетно). Тогда из (2) получаем
(3) $x_0^2=\frac{\sqrt{5y_0^4+4p^2}-3y_0^2}{2}$,
где $5y_0^4+4p^2=A^2$ или $(A-2p)(A+2p)=5y_0^4$ ($A\inN$). Заметим, что $A$ и $p$ не делятся на $5$ (в противном случае $НОД(p,y_0)\ge5$, а они в.п.), откуда следует взаимная простота чисел $A-2p$ и $A+2p$ ($НОД(A-2p,\,A+2p)$ - делитель $p,\,5y_0^4$ одновременно). Тогда $A=\frac{5d_1^4+d_2^4}{2}$, где $d_1d_2=y_0$ ($d_1,\,d_2$ - в.п.), подставив значения для $A$ в (3) получим:
$5d_1^4+d_2^4-6d_1^2d_2^2-4x_0^2=0$.
Из последнего равенства находим
(4) $d_2^2=3d_1^2\pm2\sqrt{d_1^4+x_0^2}$,
где $d_1^4+x_0^2=B^2$ или $(B-x_0)(B+x_0)=d_1^4$ ($B\inN$). $d_1$ - нечетное число (т.к. $y_0$ - нечетно), следовательно, числа $B-x_0$ и $B+x_0$ взаимно просты ($НОД(B-x_0,\,B+x_0)$ - делитель $x_0,\,d_1$ одновременно). Тогда $B=\frac{d_3^4+d_4^4}{2}$, где $d_3d_4=d_1$ ($d_3$ и $d_4$ - в.п.). Из последних равенств (4) примет вид
$d_2^2=3d_3^2d_4^2\pm(d_3^2+d_4^2)$.
Равенство со знаком "+" выполняться не может, т.к. противоречит минимальности $p$ ($d_2\ley_0<p$), откуда имеем
$3d_3^2d_4^2-d_3^4-d_4^4=d_2^2$
или
(5) $(d_3d_4)^2=(d_3^2-d_4^2)^2+d_2^2$
Здесь уже не удалось обойтись без пифагоровых троек. Поскольку $d_2,d_3,d_4$ попарно взаимно просты и нечетны ($y_0$ - нечетно), то параметры пифагоровой тройки для (5) выглядят так
(6) $\left\{\begin{array}{cc}d_3^2-d_4^2=2mn,\\d_3d_4=m^2+n^2.\end{array}$
Далее, если $m=0$ или $n=0$, то $d_3=d_4=d_2=d_1=B=1$ и $x_0=0\notinN$. Если же $mn\ne0$, то из (6) получаем
$d_4^2=\sqrt{m^4+n^4+3m^2n^2}-mn$,
где
(7) $m^4+n^4+3m^2n^2=C^2$ ($C\inN$)
Тогда $C^2=(m^2+n^2)^2+m^2n^2=d_3^2d_4^2+\left(\frac{d_3^2-d_4^2}{2}\right)^2=\left(\frac{d_3^2+d_4^2}{2}\right)^2\le(d_3^2d_4^2)^2=d_1^4\ley_0^4<p^2$, что противоречит минимальности $p$. Т.о. целочисленного треугольника с равными длинами одной из сторон и высоты к этой стороне - не существует! #

Свиду вроде все нормально, но если у кого-нибудь будет свободное время, то просьба просмотреть на предмет возможных логических ошибок.

P.S. Что касается общего вопроса о кратности длин основания и высоты, то такое вполне возможно. Примеры:
1) $a=3$, $b=25$, $c=26$, $h_a=24$ и $\frac{h_a}{a}=8$
2) $a=600$, $b=409$, $c=241$, $h_a=120$ и $\frac{a}{h_a}=5$
3) $a=120$, $b=101$, $c=29$, $h_a=20$ и $\frac{a}{h_a}=6$
16.12.2012 00:40
О свойствах треугольника, которого нет...
Я тоже должен извиниться за задержку с сообщениями по данной теме – совсем нет времени. С доказательством Anton”а25 ознакомился, детально разобрать все не получилось, но изъянов не увидел. Детализировать свое доказательство в силу его прозрачности желания не было. Как мне представляется, по рассмотрению основных случаев эти доказательства близки, хотя по ходу и приемам существенно различны. Так, Anton25 довольно просто закрыл случай, соответствующий моему уравнению (10), а для доказательства неразрешимости уравнения (11) использовал заранее полученные свойства входящих в него переменных. Как будто все ОК, но мне еще нужно «проникнуться»…
Далее я приведу детализацию доказательства своих простых случаев в целях 1) показать, что они элементарны, 2) несколько систематизировать системы (из двух) неразрешимых уравнений, связанных с пифагоровыми тройками (и вытекающих из решения данной задачи), 3) обратить внимание на более общую задачу перечисления (и сведения к базовым) разрешимых и неразрешимых систем уравнений такого типа.
Итак, доказательство несушествования искомого треугольника было сведено к доказательству неразрешимости уравнения (пост “А время гонит лошадей» (А.Пушкин))
$ (8) $ $ (x^2-v^2)(y^2+u^2)=2xyuv, $
которое, в свою очередь, свелось к доказательству неразрешимости двух систем уравнений:
$ (10) $ $ (x^2-v^2)= 2yu, (y^2+u^2)=xv $ - 1-й случай
$ (11) $ $ (x^2-v^2)= yu, (y^2+u^2)=2xv $ - 2-й случай
Кроме того, 1-й случай был сведен к системе уравнений
$ (12) $ $ 2st=yu; s^2-t^2=y^2+u^2 , $
и затем к двум подслучаям:
1.1 $ (s_g^2-t_u^2) $ и $ (4 s_g^2+ t_u^2) $ сократимы, тогда
$ (18) $ $ s_u^2+t_g^2=s_g^2, s_u^2-4t_g^2= t_u^2. $
1.2 $ (s_g^2-t_u^2) $ и $ (4 s_g^2+ t_u^2) $ несократимы, тогда
$ (19) $ $ s_u^2=4 s_g^2+ t_u^2, t_g^2=s_g^2-t_u^2. $
Далее простое завершение.
Случай 1.1.
Распишем пифагоровы тройки для уравнений (18) (повторение переменных из раннего сообщения к путанице не приведет). Из (18)
$ s_u=m_1^2- n_1^2, t_g=2m_1n_1; s_u=m_2^2+ n_2^2, t_g=m_2n_2, $ т. е.
$ m_1^2- n_1^2=m_2^2+ n_2^2 $ и $ 2m_1n_1=m_2n_2,$
Как видно, полученная система уравнений соответствует уравнениям (12).
Как было отмечено ранее /
Цитата
yog-urt
Составив для уравнений (18) пифагоровы тройки, получим относительно их параметров уравнения, аналогичные исходным (12), но с заведомо меньшими значениями неизвестных. Т. е. в данном срабатывает метод спуска: или существует решение в другом случае, или решения не существует. Ищем в других случаях.
Случай 1.2. Перепишу ранее сформулированное утверждение, которое напрямую указывает на неразрешимость уравнения (19) и завершает доказательство несуществования искомого треугольника для случая 1. Его доказательство может выступить в виде простой школьной задачи.
Утверждение 1. Система уравнений
$ (20) $ $ 4q^2+w^2=d^2, q^2-w^2=e^2. $
неразрешима в натуральных числах.
Случай 2. (повторяем предложения случая 1, но с соответствующими нюансами).
С учетом того, что $ y, u $– нечетные числа и введя в (11) обозначения:
$ (x+v)=s, (x-v)=t, x=(s+t)/2, v=(s-t)/2, $
получим эквивалентную (11) систему уравнений
$ (21) $ $ st=yu; s^2-t^2=2(y^2+u^2), $
причем $ s, t $– несократимы.
Распределим делители чисел $ s, t $ на две группы (у каждого числа) следующим образом:
$ (22) $ $ s=s_ys_u, t=t_yt_u; y=s_yt_y, u=s_ut_u, $
причем все числа $ s_y, s_u, t_y, t_u $ попарно несократимы.
Во втором уравнении системы (21) перегруппируем слагаемые, приведя к виду
$ s^2 -2u^2=2y^2+t^2, $
после чего с учетом представления чисел (22) придем к соотношениям:
$ s_y^2s_u^2- 2s_u^2t_u^2=2 s_y^2t_y^2+ t_y^2t_u^2$
$ (23) $ $ s_u^2(s_y^2-2t_u^2)=t_y^2(2s_y^2+ t_u^2). $
В зависимости от сократимости или несократимости чисел $ (s_y^2-2t_u^2), (2s_y^2+ t_u^2) $ имеем два случая.
Случай 2.1. Пусть$ (s_y^2-2t_u^2) $ и $ (2s_y^2+ t_u^2) $ сократимы на некоторое число $ p. $ Тогда
$ s_y^2-2t_u^2=k_1p, 2s_y^2+t_u^2=k_2p, $ откуда
$ 5s_y^2= (k_1+ 2k_2)p, $ откуда $ p=5, $ так как в противном случае $ s_y^2 $ и $ t_u^2 $ сократимы. С учетом этого из (23)
$ (24) $ $ 5s_u^2=2 s_y^2+ t_u^2, 5t_y^2=s_y^2-2t_u^2. $
Путем линейных преобразований уравнений (24) легко получить:
$ (25) $ $ 2s_u^2+t_y^2=s_y^2, s_u^2-2t_y^2=t_u^2. $
Переписываемое ниже ранее сформулированное утверждение напрямую указывает на неразрешимость уравнения (25) и завершает доказательство несуществования искомого треугольника для случая 2.1.
Утверждение 2. Система уравнений
$ q^2-2w^2=d^2, 2q^2+w^2=e^2 $
неразрешима в натуральных числах.
(Доказывается легко. Может использоваться в виде простой школьной задачи).
Случай 2.2. Пусть $ (s_y^2-2t_u^2) $ и $ (2s_y^2+ t_u^2) $ несократимы. Тогда из (23)
$ s_u^2=2 s_y^2+ t_u^2, t_y^2=s_y^2-2t_u^2. $
Неразрешимость данного уравнения в натуральных числах вытекает из утверждения 2.
Все варианты исчерпаны – треугольник с указанными свойствами не существует.

Немного «по поводу»
1. Хоть доказательство громоздкое, но рассуждения во всех случаях однотипны и просты.
2. По вопросу о существовании треугольника с длиной высоты, кратной длине основания. Когда я ставил об этом вопрос (на предмет обобщения задачи), то, конечно, имел в виду («но забыл упомянуть») разрешимость уравнения (8) с коэффициентами в правой части 1,2,4,… Оно соответствует треугольникам с дополнительным свойством: рассматриваемая высота разбивает этот треугольник на два целочисленных треугольника. Тогда все встает на свои места.
3. Тема с треугольниками также неисчерпаема, как и многое другое. Задачи не сложные, инструмент понятен и бесхитростен. Может порадовать только завершение процесса. Но радость сильно омрачается при осознании того, что намного более значимые, красивые, задачи с уникальными решениями необоснованно опять отодвинуты с оформлением.
16.12.2012 23:23
...
Да, действительно просто. При первом взгляде на систему в утверждении 2 показалось что нужно горы свернуть чтобы доказать ее неразрешимость, но при попытке наступил просто настоящий шок когда все доказательство уложилось в одну строчку smile. Неразрешимость системы (20) все же не так очевидна, хотя и справедлива. Доказательство очень хорошее, интересное и поучительное и, что действительно поражает, пришло сходу (при просмотре темы) автору (Yog-urt) как нечто элементарное. Насчет того, что задача не интересна, я не соглашусь. Лично у меня много сомнений было насчет несуществования (особенно после того как нашлись различные примеры целочисленных треугольников с целочисленной высотой в которых основание было кратно высоте, а также примеры в которых высота была кратна основанию и все с разными отношениями). Да и потом задача (точнее разные к ней подходы) принесла больше дюжины различных типов уравнений и систем неразрешимых в натуральных числах или имеющих особые решения. Так или иначе, поздравляю уважаемого Yog-urt-а, а также всех участников темы с закрытием вопроса!
17.12.2012 01:33
Закрыть нельзя продолжать!!!
Большое спасибо, уважаемый Антон (Anton25), за внимание, оптимизм, интерес и устремленность к знаниям. Это все не только стимулирует (в хорошем смысле), но и обнадеживает…
На сайт, где предварительно было опубликовано доказательство с обнаруженной вами ошибкой, я сообщил о решении этой задачи на нашем форуме - свое пообещал при наличии времени систематизировать и представить, а по поводу вашего отметил что «Anton25 свое решение разместил в абсолютно кондиционном виде».
Ваше решение логично и математически выдержано. Когда я просматриваю его ход, то удивляюсь тому, откуда вы знали эту дорогу. Ведь по всем направлениям были кучи дорожек с десятками вариантов дискриминантов, которые представлялись квадратами натуральных чисел, и все вели в никуда.
Относительно завершения… Со временем я стал осторожничать и все чаще прибегаю к сослагательным наклонениям (например, вместо поеду – планирую поехать). Смотрю на формулу (20) и начинаю сомневаться, а действительно ли разность квадратов нечетных чисел делится на 8 или меня уже повело. Если делится, то почему в доказательстве утверждения 1 должно быть больше полстрочки? Вот и мучаюсь сомнениями…
Тем не менее, с радостью принимаю и присоединяюсь к поздравлениям по поводу закрытия вопроса.
---------------------------------
PS. Маленький комментарий по поводу «сходу» и «элементарное». Не совсем так. До выхода с тем сообщением я, конечно, проработал задачу и нашел простое (по сути) доказательство, В то же время я понимал, что его систематизация и доходчивое изложение с кучей случаев, переменных, индексов и степеней потребует значительных усилий. Так и получилось. Один вариант «с упрощением» (который я уже раньше «проходил») как-то вернулся (в ночь перед перелетом) как «озарение»... Как говорил один мой добрый учитель (когда ошибался), «и на старуху бывает проруха…».

С пожеланиями всем участникам форума здоровья, счастья, удачи!!! С наступающими праздниками!
Yog-urt



Редактировалось 3 раз(а). Последний 17.12.2012 03:03.
18.12.2012 13:09
Так решена ли исходная задача?
В сообщении anton25 приведен пример, в котором длины сторон треугольника имеют значения:
$a=3, b=25, c=26,$ а высота $h=24$. Это тупоугольный треугольник, и высота
опущена не на сторону $a$, а на ее продолжение. Да, получается два Пифагоровых
треугольника: $(7,24,25)$ и $(10,24,26)$, но никакого деления стороны
(а не ее продолжения) на целочисленные отрезки нет. Хотя само по себе решение оригинальное,
но задачи с иными исходными условиями.
18.12.2012 15:01
...
22.12.2012 03:30
Доказательство (которое пришло само по себе)
Доказательство несуществования треугольника свелось к доказательству неразрешимости двух систем уравнений:
(10) $ (x^2-v^2)= 2yu, (y^2+u^2)=xv $,
(11) $ (x^2-v^2)= yu, (y^2+u^2)=2xv $.
При этом будем использовать
Утверждение 1. Система уравнений
$ 4q^2+w^2=d^2, q^2-w^2=e^2. $
неразрешима в натуральных числах.
Доказательство неразрешимости (10), (11).
Используя алгебраическое тождество и (10), получим систему уравнений
$ 4(xv)^2+(x^2-v^2)^2=(x^2+v^2)^2, (xv)^2-(x^2-v^2)^2=(y^2-u^2)^2, $
которая, как следует из утверждения 1, неразрешима в натуральных числах. Следовательно, и система (10) неразрешима в натуральных числах.
Аналогично из (11) получим систему уравнений
$ 4(xv)^2+(x^2-v^2)^2=(x^2+u^2)^2, (xv)^2-(x^2-v^2)^2=[(y^2-u^2)/2]^2, $
в которой в силу нечетности $ y, u $ правая часть последнего уравнения является квадратом натурального числа. В силу утверждения 1 данная система уравнений неразрешима в натуральных числах. Следовательно, и система (11) неразрешима в натуральных числах.
22.12.2012 19:58
...
Цитата
yog-urt
Доказательство несуществования треугольника свелось к доказательству неразрешимости двух систем уравнений:
(10) $ (x^2-v^2)= 2yu, (y^2+u^2)=xv $,
(11) $ (x^2-v^2)= yu, (y^2+u^2)=2xv $.
При этом будем использовать
Утверждение 1. Система уравнений
$ 4q^2+w^2=d^2, q^2-w^2=e^2. $
неразрешима в натуральных числах.
Доказательство неразрешимости (10), (11).
Используя алгебраическое тождество и (10), получим систему уравнений
$ 4(xv)^2+(x^2-v^2)^2=(x^2+v^2)^2, (xv)^2-(x^2-v^2)^2=(y^2-u^2)^2, $
которая, как следует из утверждения 1, неразрешима в натуральных числах. Следовательно, и система (10) неразрешима в натуральных числах.
Аналогично из (11) получим систему уравнений
$ 4(xv)^2+(x^2-v^2)^2=(x^2+u^2)^2, (xv)^2-(x^2-v^2)^2=[(y^2-u^2)/2]^2, $
в которой в силу нечетности $ y, u $ правая часть последнего уравнения является квадратом натурального числа. В силу утверждения 1 данная система уравнений неразрешима в натуральных числах. Следовательно, и система (11) неразрешима в натуральных числах.
Интересный ход! Только нужно отметить, что $x\nev$ (это, конечно, очевидно, но чисто для формальности), иначе новые системы имели бы бесконечно много натуральных решений.
Насчет утверждения 1
Цитата
yog-urt
Смотрю на формулу (20) и начинаю сомневаться, а действительно ли разность квадратов нечетных чисел делится на 8 или меня уже повело. Если делится, то почему в доказательстве утверждения 1 должно быть больше полстрочки?
Ну не знаю. Может быть я в упор чего-то не замечаю (со мной бывает), но у меня не выходит в строчку, а скорее наоборот относительно громоздкое доказательство неразрешимости получается (правда я схитрил и использовал принцип из известной анекдота о вытаскивании гвоздя, наполовину забитого в стену: "... забьем гвоздь в стену до конца и воспользуемся решением предыдущей задачи", т.е. я показал, что разрешимость этой системы равносильна разрешимости уравнения $x^4+3x^2y^2+y^4=p^2$ и сослался на то, что уже доказывал smile). Конечно, если $w$ и $d$ - нечетные числа, то все очевидно и делимость на 8 прокатывает, но каким образом тогда отбрасывается случай $w$ - четное, $q$ - нечетное?

Далее,
Цитата
nikolay_mih (Николай Михайлович)
В сообщении anton25 приведен пример, в котором длины сторон треугольника имеют значения:
$a=3, b=25, c=26,$ а высота $h=24$. Это тупоугольный треугольник, и высота
опущена не на сторону $a$, а на ее продолжение. Да, получается два Пифагоровых
треугольника: $(7,24,25)$ и $(10,24,26)$, но никакого деления стороны
(а не ее продолжения) на целочисленные отрезки нет. Хотя само по себе решение оригинальное,
но задачи с иными исходными условиями.
Исходная задача:
Цитата
tamango
Господа!
Предлагаю вам решить следующую задачу.
Дан косоугольный треугольник, величины сторон которого имеют целочисленные размеры.
Из любой вершины треугольника на противолежащую сторону опущена высота.
Вопрос: может ли высота иметь целочисленный размер, равный длине стороны,
на которую она опущена?
Доказать как положительный так и отрицательный результат.
Здесь нет ни слова о кратности и пример относится уже к другой задаче. Если же Вам кажется, что исходная задача решалась исключительно для тупоугольных треугольников, то Вы невнимательно смотрели тему. У уважаемого Yog-urt-а случаю треугольников с острыми углами при основании отвечает соотношение (8), а случаю треугольников с тупым углом при основании - соотношение (9) (см. пост "А время гонит лошадей (А.С. Пушкин)" стр.3 темы) и эти два соотношения, как отмечает Yog-urt, эквивалентны с точностью до обозначений. Я опирался на формулы для площади треугольника, которые всегда имеют один и тот же вид какой бы ни был треугольник.

P.S. Большое спасибо за ссылку, уважаемый Ishan.
P.S.2 У меня вчера свет на 6 часов вырубился (серьезно), правы оказались Майя! Поздравляю с новой эпохой всех переживших конец света!
22.12.2012 23:16
Детали несуществующего треугольника
Цитата
anton25
Только нужно отметить, что $x\nev$ (это, конечно, очевидно, но чисто для формальности), иначе новые системы имели бы бесконечно много натуральных решений.
Поскольку 0 не натуральное число, то этот случай я и не оговаривал.
Цитата
anton25
Ну не знаю. Может быть я в упор чего-то не замечаю (со мной бывает), но у меня не выходит в строчку, а скорее наоборот относительно громоздкое доказательство неразрешимости получается (правда я схитрил и использовал принцип из известной анекдота о вытаскивании гвоздя, наполовину забитого в стену: "... забьем гвоздь в стену до конца и воспользуемся решением предыдущей задачи", т.е. я показал, что разрешимость этой системы равносильна разрешимости уравнения $x^4+3x^2y^2+y^4=p^2$ и сослался на то, что уже доказывал smile). Конечно, если $w$ и $d$ - нечетные числа, то все очевидно и делимость на 8 прокатывает, но каким образом тогда отбрасывается случай $w$ - четное, $q$ - нечетное?
Раз разность квадратов чисел в первом уравнении делится на 8, то $q$ – нечетным быть не может.
Наверное, у всех такое бывает. И даже, когда уверен и сотню раз проверил, все равно есть сомнения, пока другие не посмотрят со своей стороны. Поэтому, чтобы доказательство было не в виде путеводителя, я его в следующем сообщении привожу полностью. Тем более, что я его подготовил в связи со своим обещанием представить на форум, где эта задача была поставлена ранее. Хотя оно уже предельно простое, у меня остается мысль о том, что его можно еще проще провести без представления чисел пифагоровыми тройками. Конечно, я ничего не доказываю, по-видимому, запущенный вычислительный процесс сам отрабатывает в фоновом режиме. Это к сожалению, потому что такие процессы нужно направлять на решение полезных задач.
И еще – в связи с полезными и интересными советами, которые высказали Anton25 и Museum, я посмотрел вопрос о построении целочисленных треугольников на целочисленной решетке. Действительно, любой треугольник, расположенный одной стороной на линии сетки, можно повернуть и растянуть его так, что он займет «общее положение», (т. е. никакая сторона не будет лежать на линии сетки). Разумеется, есть такие треугольники, которые нельзя, только повернув, разместить в «общее положение» (например, со сторонами 3, 4, 5).
А наоборот, можно ли найти такой треугольник, расположенный в общем положении, который, только повернув (даже не масштабируя), нельзя уложить на линию сетки?
Оказалось, что…
22.12.2012 23:23
Доказательство
Условие существования треугольника определяется решением следующей системы уравнений в натуральных числах:
$ (1) \;\;\;\;\; a^2 =c^2+z_1^2, $
$ (2) \;\;\;\;\; b^2 =c^2+z_2^2 ,$
$ (3) \;\;\;\;\;z_1 \pm z_2=с. $
В доказательстве будет использоваться следующее
Утверждение 1. Система уравнений
$ (4) \;\;\;\;\;4q^2+w^2=d^2, \;\; q^2-w^2=e^2 $
неразрешима в натуральных числах.
Это утверждение достаточно доказать для несократимых чисел $ q,w, $ иначе их можно сократить и придти к такому же уравнению с несократимыми числами. Но если $ q,w $ несократимы, то уравнения в (4) несовместимы, так из первого следует, что q - четно, а из второго, что нечетно. #
Далее натуральность рассматриваемых чисел подразумевается без специальных оговорок.
Доказательство неразрешимости системы уравнений (1)-(3).
Будем считать, что каждое из уравнений (1)-(3) несократимо, поскольку, если сократимо хотя бы одно из них, то сократимы с этим же коэффициентом все уравнения (1)-(3). При этом их можно сократить и получить аналогичные уравнения с меньшими значениями неизвестных чисел.
Предположим, что уравнения (1)-(3) разрешимы. Тогда, подставляя (3) в (1) и (2), имеем
$ (5) \;\;\;\;\; a^2 –z_2^2=2z_1(z_1\pm z_2) $
$ (6) \;\;\;\;\; b^2 –z_1^2=2z_2(z_1\pm z_2) $
Поскольку левые и правые части (5), (6) делятся на 8, и либо $z_1$ , либо $z_2 $ нечетно, то число $z_1\pm z_2=c $ . четно.
С учетом четности числа c запишем условия выполнимости уравнений (1), (2) через параметры пифагоровых троек:
$ c=2m_1n_1,\;\; z_1=m_1^2-n_1^2 $
$ c=2m_2n_2,\;\; z_2=m_2^2-n_2^2 $
При этом в соответствии с (3)
$ (7) \;\;\;\;\; (m_1^2-n_1^2) \pm (m_2^2-n_2^2) =2m_1n_1$
Общее представление двух пар чисел $ (m_1,n_1) $ и $ (m_2,n_2) $ , произведение каждой из которых равно $ c/2, $ имеет вид
$ m_1=xy, \;\; n_1=uv;\;\;\;\; m_2=xu, \;\; n_2=yv. $
Подставляя эти значения в (7), получим
$ ((xy)^2- (uv)^2) \pm ((xu)^2-(yv)^2)=2xyuv, $
Из последних соотношений при разложении их левых частей на множители получим два уравнения:
$ (8) \;\;\;\;\; (x^2-v^2)(y^2+u^2)=2xyuv. $
$ (9) \;\;\;\;\; (x^2+v^2)(y^2-u^2)=2xyuv. $
Как установлено, для существования треугольника с требуемыми свойствами необходимо и достаточно существование решения данных уравнений в натуральных числах $ x, y, u, v. $ Поскольку эти уравнения эквивалентны с точностью до обозначения переменных, то вопрос об их разрешимости рассмотрим лишь для уравнения (8). При этом можно считать, что числа $ x, v $ и $ y, u $ в (8) попарно несократимы, иначе их можно сократить и получить такое же уравнение в несократимом виде. При этом условии, как легко видеть, сомножители в левой части уравнения (8) также несократимы.
С учетом рассмотренного имеем следующие свойства чисел в уравнении (8):
а) все делители числа $ (x^2-v^2) $ являются делителями числа $ 2yu $ все делители числа $ yu $ являются делителями числа $ (x^2-v^2); $
б) все делители числа $ (y^2+u^2) $ являются делителями числа $ 2xv, $ все делители числа $ xv $ являются делителями числа $ (y^2+u^2); $
в) только одно из чисел $ (x^2-v^2), (y^2+u^2) $ является четным.
Эти утверждения позволяют представить уравнение (8) в виде 2-х вариантов системы двух уравнений:
$ (10) \;\;\;\;\; (x^2-v^2)= 2yu,\;\; (y^2+u^2)=xv, $
$ (11) \;\;\;\;\; (x^2-v^2)= yu,\;\; (y^2+u^2)=2xv. $
Используя алгебраическое тождество и уравнения (10), получим систему уравнений
$ 4(xv)^2+(x^2-v^2)^2=(x^2+v^2)^2, (xv)^2-(x^2-v^2)^2=(y^2-u^2)^2, $
которая, как следует из утверждения 1, неразрешима в натуральных числах. Следовательно, и система (10) неразрешима в натуральных числах.
Аналогично из (11) получим систему уравнений
$ 4(xv)^2+(x^2-v^2)^2=(x^2+u^2)^2, (xv)^2-(x^2-v^2)^2=[(y^2-u^2)/2]^2, $
в которой в силу нечетности $ y, u $ правая часть последнего уравнения является квадратом натурального числа. В силу утверждения 1 данная система уравнений неразрешима в натуральных числах. Следовательно, и система (11) неразрешима в натуральных числах.
Из неразрешимости систем уравнений (10) и (11) следует неразрешимость уравнений (1)-(3) и несуществование искомого треугольника. #
22.12.2012 23:43
Совсем запутался я
Цитата
Yog-urt
Раз разность квадратов чисел в первом уравнении делится на 8, то q – нечетным быть не может.
Разность квадратов будет делиться на 8 если заведомо положить, что $w$ и $d$ - нечетные числа, но это не обязательно. Почему не рассматривается случай когда $w$ оказывается четным и при этом не нарушается взаимная простота $w$ и $q$, например $q=3$, $w=8$, т.е. $4\cdot3^2+8^2=10^2$? В этом случае нечетность $q$, которая следует из второго уравнения сохраняется и противоречия не выходит



Редактировалось 2 раз(а). Последний 22.12.2012 23:47.
23.12.2012 00:46
Как раз тот случай
Цитата
anton25
Разность квадратов будет делиться на 8 если заведомо положить, что $w$ и $d$ - нечетные числа, но это не обязательно. Почему не рассматривается случай когда $w$ оказывается четным и при этом не нарушается взаимная простота $w$ и $q$, например $q=3$, $w=8$, т.е. $4\cdot3^2+8^2=10^2$?
А я-то думаю, чего здесь непонятно? Конечно, эта посылка (о том, что из 1-го уравнения вытекает четность q) не верна и док-во утверждения 1 требует коррекции. А жаль, это был лучший из всех вариантов.
Спасибо!
23.12.2012 13:00
Примеры делимости
Уважаемые господа,
Привожу примеры целочисленности значений сторон треугольника и его высоты
и делимости строны высотой на целочисленные отрезки:
1. стороны:$a=35, b=75, c=100$
высота $h=21$
Высота $h$ делит сторону $c$ на отрезки
$k=28, m=72.$

2. стороны:$a=55, b=183, c=224$
высота $h=33$
Высота $h$ делит сторону $c$ на отрезки
$k=44, m=180.$
Значения высот $h$ и отрезков $k, m$
содержат общий сомножитель, но отрезки не кратны высоте.
Значения высот $h$ и сторон $a, b$
содержат общий сомножитель, но стороны не кратны высоте.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 23.12.2012 13:19.
23.12.2012 13:58
ну и что здесь такого
Цитата
tamango
Уважаемые господа,
Привожу примеры целочисленности значений сторон треугольника и его высоты
и делимости строны высотой на целочисленные отрезки:
1. стороны:$a=35, b=75, c=100$
высота $h=21$
Высота $h$ делит сторону $c$ на отрезки
$k=28, m=72.$

2. стороны:$a=55, b=183, c=224$
высота $h=33$
Высота $h$ делит сторону $c$ на отрезки
$k=44, m=180.$
Значения высот $h$ и отрезков $k, m$
содержат общий сомножитель, но отрезки не кратны высоте.
Значения высот $h$ и сторон $a, b$
содержат общий сомножитель, но стороны не кратны высоте.
Подобные примеры Вам неоднократно приводили.
Может быть Вам, как эксперту, видна красивая взаимосвязь простых чисел, скрытая в соотношении сторон и высот.
Поясните для простых смертных подробнее, пожалуйста.
Заранее благодарен.mad
26.12.2012 12:32
Доказательство неразрешимости системы уравнений
Поправил и размещаю доказательство утверждения, которое выделил из задачи о треугольнике. Во-первых, это утверждение и его доказательство имеют самостоятельный интерес, во-вторых, с использованием утверждения задача о треугольнике (эта и подобные) решается «в лет», в-третьих, доказательство допускает простые обобщения на ряд других систем уравнений (есть простые и интересные примеры).
Для исправления некорректности, которую отметил в моем предыдущем варианте Anton25, потребовалось рассмотреть упущенный в предыдущем варианте важный случай. Приводимое ниже доказательство использует стандартный подход, который я приводил в этой теме ранее. Прошу проверить корректность рассуждений.

Утверждение 1. Система уравнений
$ (1) \;\;\;\;\;4q^2+w^2=d^2, \;\; q^2-w^2=e^2 $
неразрешима в натуральных числах.

Доказательство
Предположим противное (числа $ q, w, d, e $ – удовлетворяют уравнению (1)), причем, не нарушая общности, будем считать, что $ q, w $ и $ d, e – $ попарно несократимые числа и, кроме того, что данный набор решений из всех возможных наборов решений содержит наименьшее число $ w. $ Из второго уравнения следует, что $ q $ – нечетное число. При этом с учетом того, что разность квадратов нечетных чисел делится на 8, из первого уравнения можно заключить, что $ w$ и $ d $ – четные числа. Подставляя в (1) $ w = 2r , d = 2s $ получим эквивалентную систему уравнений:
$ (2) \;\;\;\;\; q^2+r^2=s^2 , \;\; q^2 – 4r^2=e^2 , $
где $ r $ – четно, а $ s, e $ – нечетны.
Представим числа $ q, r $ через пифагоровы тройки:
$ (3) \;\;\;\;\; q=m_1^2 – n_1^2= m_2^2 + n_2^2 , \;\;\;\;\;r= 2m_1 n_1= m_2 n_2, $
где $ m_1, n_1 $ и $ m_ 2, n_2 $ попарно несократимы. Пусть $ m_1=s_1s_2 , \;\; n_1=t_1t_2 , \;\; m_2=2s_1t_1 , \;\; n_2=s_2t_2 , $ (это общее c точностью до обозначения чисел представление попарно несократимых пар чисел с заданными для пар произведениями). С учетом этого из (3)
$ (4) \;\;\;\;\; s_1^2s_2^2-t_1^2t_2^2=4s_1^2t_1^2+s_2^2t_2^2\;\;\;\;\; r=2s_1s_2t_1t_2, $
и после преобразований
$ (5) \;\;\;\;\; s_1^2 (s_2^2-4 t_1^2)= t_2^2(s_2^2+ t_1^2) . $
Возможны два случая.
1. Если $ s_2^2-4 t_1^2 $ и $ s_2^2+ t_1^2 $ сократимы (например, общий делитель $ p$), то, очевидно, $ p=5. $ В этом случае из (5) получаем уравнения $ 5 s_1^2 = s_2^2+ t_1^2 , \;\; 5 t_2^2= s_2^2-4 t_1^2 , $ которые линейными преобразованиями приводятся к виду
$ (6) \;\;\;\;\; 4s_1^2+ t_2^2= s_2^2, \;\; s_1^2- t_2^2= t_1^2. $
Последние уравнения эквивалентны исходной системе уравнений (1), при этом $ t_2 \sim w $ и $ t_2 < w, $ что противоречит допущению (о минимальности $ w$) и свидетельствует о неразрешимости системы уравнений (1) в данном случае.
2. Если $ s_2^2-4 t_1^2 $ и $ s_2^2+ t_1^2 $ несократимы, то $ s_1^2 = s_2^2+ t_1^2 , \;\; t_2^2= s_2^2-4 t_1^2 , $ т. е. также получена система уравнений, эквивалентная (2) и исходной системе, при этом $ 2t_1 \sim w $ и $ 2t_1 < w. $
Таким образом, система уравнений (1) неразрешима, ч. т. д. #



Редактировалось 1 раз(а). Последний 26.12.2012 13:08.
26.12.2012 19:37
Задачку решите плииз
В параллелограмме ABCD AB=4см, AD=7см, уголA=60градусов. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке O, отрезок OM перпендикулярен плоскости ABC и OM=5 см. Определите длины отрезков MC и MD
Тут ужасные числа получается, там где с дробью огромной получается округляйте
Спасибо за внимание
26.12.2012 19:40
А можно
не округлять, а то я не умею?biggrin
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти