Задача о треугольнике

Цитата
yog-urt
Поправил и размещаю доказательство утверждения, которое выделил из задачи о треугольнике. Во-первых, это утверждение и его доказательство имеют самостоятельный интерес, во-вторых, с использованием утверждения задача о треугольнике (эта и подобные) решается «в лет», в-третьих, доказательство допускает простые обобщения на ряд других систем уравнений (есть простые и интересные примеры).
Для исправления некорректности, которую отметил в моем предыдущем варианте Anton25, потребовалось рассмотреть упущенный в предыдущем варианте важный случай. Приводимое ниже доказательство использует стандартный подход, который я приводил в этой теме ранее. Прошу проверить корректность рассуждений.

Утверждение 1. Система уравнений
$ (1) \;\;\;\;\;4q^2+w^2=d^2, \;\; q^2-w^2=e^2 $
неразрешима в натуральных числах.

Доказательство
Предположим противное (числа $ q, w, d, e $ – удовлетворяют уравнению (1)), причем, не нарушая общности, будем считать, что $ q, w $ и $ d, e – $ попарно несократимые числа и, кроме того, что данный набор решений из всех возможных наборов решений содержит наименьшее число $ w. $ Из второго уравнения следует, что $ q $ – нечетное число. При этом с учетом того, что разность квадратов нечетных чисел делится на 8, из первого уравнения можно заключить, что $ w$ и $ d $ – четные числа. Подставляя в (1) $ w = 2r , d = 2s $ получим эквивалентную систему уравнений:
$ (2) \;\;\;\;\; q^2+r^2=s^2 , \;\; q^2 – 4r^2=e^2 , $
где $ r $ – четно, а $ s, e $ – нечетны.
Представим числа $ q, r $ через пифагоровы тройки:
$ (3) \;\;\;\;\; q=m_1^2 – n_1^2= m_2^2 + n_2^2 , \;\;\;\;\;r= 2m_1 n_1= m_2 n_2, $
где $ m_1, n_1 $ и $ m_ 2, n_2 $ попарно несократимы. Пусть $ m_1=s_1s_2 , \;\; n_1=t_1t_2 , \;\; m_2=2s_1t_1 , \;\; n_2=s_2t_2 , $ (это общее c точностью до обозначения чисел представление попарно несократимых пар чисел с заданными для пар произведениями). С учетом этого из (3)
$ (4) \;\;\;\;\; s_1^2s_2^2-t_1^2t_2^2=4s_1^2t_1^2+s_2^2t_2^2\;\;\;\;\; r=2s_1s_2t_1t_2, $
и после преобразований
$ (5) \;\;\;\;\; s_1^2 (s_2^2-4 t_1^2)= t_2^2(s_2^2+ t_1^2) . $
Возможны два случая.
1. Если $ s_2^2-4 t_1^2 $ и $ s_2^2+ t_1^2 $ сократимы (например, общий делитель $ p$), то, очевидно, $ p=5. $ В этом случае из (5) получаем уравнения $ 5 s_1^2 = s_2^2+ t_1^2 , \;\; 5 t_2^2= s_2^2-4 t_1^2 , $ которые линейными преобразованиями приводятся к виду
$ (6) \;\;\;\;\; 4s_1^2+ t_2^2= s_2^2, \;\; s_1^2- t_2^2= t_1^2. $
Последние уравнения эквивалентны исходной системе уравнений (1), при этом $ t_2 \sim w $ и $ t_2 < w, $ что противоречит допущению (о минимальности $ w$) и свидетельствует о неразрешимости системы уравнений (1) в данном случае.
2. Если $ s_2^2-4 t_1^2 $ и $ s_2^2+ t_1^2 $ несократимы, то $ s_1^2 = s_2^2+ t_1^2 , \;\; t_2^2= s_2^2-4 t_1^2 , $ т. е. также получена система уравнений, эквивалентная (2) и исходной системе, при этом $ 2t_1 \sim w $ и $ 2t_1 < w. $
Таким образом, система уравнений (1) неразрешима, ч. т. д. #

Цитата
tamango
Решение попроще
$5q^2=d^2+e^2$ (c)
3. с учетом приведенных примеров уравнение (c) не имеет решения в целых числах.

Цитата
lookout
Чего ж сразу не сказали, что так можно?
Док-во ВТФ от tamango «$ a^n+b^n-c^n $ всегда нечетно, откуда следует неразрешимость уравнения Ферма. Не нужно в качестве контрпримера подбирать произвольные числа. Нужно решать уравнение! Понятно?!»
Как говорится «подержи арбуз!»

Цитата
yog-urt
доказательство этого утверждения можно провести на основе доказанного вами утверждения о неразрешимоти уравнения $ x^4+3x^2y^2+y^4=z^2 $

Цитата
anton25
Насчет утверждения 1 ... скорее наоборот относительно громоздкое доказательство неразрешимости получается (правда я схитрил и использовал принцип из известной анекдота о вытаскивании гвоздя, наполовину забитого в стену: "... забьем гвоздь в стену до конца и воспользуемся решением предыдущей задачи", т.е. я показал, что разрешимость этой системы равносильна разрешимости уравнения $x^4+3x^2y^2+y^4=p^2$ и сослался на то, что уже доказывал )