Доказать: lim[x->+infinity](x / e^x) = 0

Автор темы kastanedolunch (metronom) 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
Форумы Список тем Новая тема
23.10.2005 14:25
kastanedolunch (metronom)
Доказать: lim[x->+infinity](x / e^x) = 0
Помогите, пожалуйста, доказать:

lim[x->+infinity](x / e^x) = 0

Надо только без использования ряда Тейлора...
Спасибо!

Ответить Цитировать
23.10.2005 15:01
ljoha
А как Вы определяете e^x? (-)
(-)
Ответить Цитировать
23.10.2005 15:14
kastanedolunch (metronom)
В каком смысле? (+)
Вы имеете ввиду таблично? Нет

Ответить Цитировать
23.10.2005 19:45
egor
Неравенство Бернулли
Можно для целых x использовать неравенство Бернулли, а значения в произвольных вещественных точках оценивать через значения в целых.

Дополнение. Проще всего, конечно, лопиталить.

Ответить Цитировать
25.10.2005 22:29
RuLeR
В прямом.
Доказательство будет зависеть от определения e^x:
Например, может быть такое определение:
e^x = \lim_{n \to \infty} (1+x/n)^n.

Или такое e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... =
= \sum\limits_{n = 0}^{\infty} x^n/n!

Или можно сначала определить для натуральных чисел, потом для рациональных, а потом с помщью пределов для всех вещественных, но это очень громоздкое определение.

Первое определение позволяет использовать неравенство Бернулли для доказательства, только его придется несколько "обобщить" на вещественный случай.

Просто по Вашему вопросу неясно, чем можно пользоваться, а чем нет. Если можно пользоваться всем, то применяем правило Лопиталя, т. к. обе функции "хорошие".



This is like an expression of rage by the people,
who feel neglected and turned away by the system.
Ответить Цитировать
27.10.2005 16:31
Templates_User
доказательство
На днях сыну первокурснику доказывал это. Если вы первокурсник то ответ в одном из
5 учебников по матану выданных Вам.
A. Рассмотрим последовательность Q(n) = n/q^n, где q > 1.
1. Q(n) > 0
2. Q(n+1)/Q(n) = ((n+1)/q^(n+1))/(n/q^n) = (1+1/n)/q становиться меньше 1 с некоторого n.
Q(n) монотонно убывающая ограниченная снизу последовательность -> имеет предел.
Ищем предел. L = lim[n->+infinity](Q(n)) = lim[n->+infinity](Q(n+1)).
L = lim[n->+infinity]((1+1/n)/q*L) => L = L/q => L = 0;

B. для любого x cуществует N <= x < N+1
N/q^(N+1) <= x/q^x <= (N+1)/q^N переходя к пределу
1/q*L <= lim[x->+infinity]( x/q^x ) <= q*L =>
lim[x->+infinity]( x/q^x ) = 0;

C. e > 1.
Ответить Цитировать
29.10.2005 21:44
kastanedolunch (metronom)
Большое спасибо
Всем большое спасибо! я не первокурсник, так что не судите строго за тупые вопросы smile

Ответить Цитировать
« Следующая тема   Предыдущая тема »
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти