O'Hill и черепаха

Спасибо за интересную задачку. Сегодня знакомый показал решение (в конце я вмешался, так что могут быть ошибки ).

Обозначения:
k - отношение скоростей (0<k<1),
О'Хилл бегает по отрезку [0,1], черепаха вползает слева,
R_0 - место первой встречи.
Случай R_0=0 исключаем, поэтому 0<R_0<2k/(1+k).

1. Черепаха всегда (за исключением моментов поворота) движется в сторону О'Хилла, поэтому она никогда не выберется из отрезка [0,1].

2. Пусть R_n - положения "правых встреч", перед которыми черепаха движется вправо, а О'Хилл влево.

Можно вывести рекуррентную формулу:
R_{n+1}=(2k)/(1+k) + h R_n, где h=((1-k)/(1+k))^2.

Положения "левых встреч" определяются формулой
L_n=((1-k)/(1+k))R_n (если начинать нумерацию "левых встреч" с нуля).

Рекуррентное уравнение для R_n после подходящего сдвига сводится к рекуррентному уравнению для геометрической прогрессии. Если не знать этот приём, то наиболее естественным мне кажется следующее рассуждение.

3. Если последовательность R_n имеет предел, то он должен быть равен числу R=(1+k)/2.

4. Можно показать, что (R_{n+1}-R)=h(R_n-R). При этом R_0<R и 0<h<1.
Вывод: R_n строго возрастает и сходится к R.
Следовательно, L_n строго возрастает и сходится к L=((1-k)/(1+k))R=(1-k)/2.

5. Замкнутые формулы для L_n и R_n:
R_n=R-(R-R_0)h^n, L_n=L-(L-L_0)h^n.

6. "Предельный маршрут" черепахи: от L=(1-k)/2 до R=(1+k)/2.