Растягивающее отображение

Дано неперывное отображение f: R^n --> R^n, удовлетворяющее условию: существует q>1 такое, что ||f(x)-f(y)||>=q*||x-y|| для всех x, y из R^n. Доказать, что f имеет единственную неподвижную точку.

Мои соображения: Легко установить, что f инъективно. Если бы оно было еще и сюръективно, то существовало бы обратное отображение f^-1, являющеееся сжимающим. Тогда отображение f^-1 имеет единственную неподвижную точку, которая, как легко видеть, является единственной неподвижной точкой отображения f.
Значит задача сводится к установлению сюръективности f. Но как это можно доказать? Используется ли при этом условие непрерывности f?

Интересно было бы узнать, допускает ли данная задача обобщение на случай любого полного метрического пространства или хотя бы банахова пространства?

Цитата

egor писал(а) :
Открытость множества f(R^n) в R^n следует из такой теоремы: если отображение f:R^n\to R^n непрерывно и инъективно, то f открыто.

А где можно найти эту теорему и как ее доказать? А она работает только в R^n?

Поскольку f: R^n\to R^n непрерывно и инъективно, то f есть гомеоморфизм R^n на f(R^n). Это выводится из локальной компактности R^n. Таким образом, нужное утверждение можно переформулировать так:

Любое множество A, содержащееся в R^n и гомеоморфное R^n, открыто в R^n.

Я не смог самостоятельно придумать доказательство для любого натурального n, но подозреваю, что это утверждение хорошо известно. Топологи, помогите, пожалуйста!

Большое спасибо за название.

Цитата

lofar писал(а) :
Кстати, как из локальной компактности выводится гомеоморфность?

Виноват, заврался. Была мысль, что образ замкнутого шара при инъективном непрерывном отображении гомеоморфен замкнутому шару, но ведь этого недостаточно.

Зная название, найти было уже нетрудно. Правда, у Спеньера в формулировке идёт речь о гомеоморфизме и сферах, но в доказательстве, похоже, используются только непрерывность и инъективность, а R^n можно вложить в S^{n+1}.