Площадь поверхности произвольного тела

Автор темы dmgr94 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
08.01.2013 18:59
Площадь поверхности произвольного тела
Чтобы экспериментально определить объём произвольного тела, можно погрузить его в сосуд с жидкостью и объёмом тела будет разница объёмов жидкости с телом и без.

Вопрос: а можно ли как-то определить площадь поверхности произвольного тела экспериментальным путём?
08.01.2013 19:03
Можно аккуратно и равномерно покрасить поверхность тела
и, разделив объем израсходованной краски на удельный расход, получить площадь.
08.01.2013 19:10
Интересное решение, но...
Интересное решение. Только расход может меняться, часть краски останется на кисти (валике, ...), слой может быть не достаточно равномерным, даже если красить аккуратно. И расход наверняка подсчитан недостаточно точно. Хотя для больших тел, наверно сойдёт.

А если тело нельзя красить?



Редактировалось 2 раз(а). Последний 08.01.2013 19:12.
08.01.2013 19:23
"Человека можно напоить, оглушить. В общем, гипс можно снять с бесчувственного тела, наконец, с трупа".
Тогда тело можно нагреть до фиксированной температуры и замерить получившийся поток тепловой энергии, который пропорционален площади пов-сти. Или можно заставить тело "заорать" всем телом, то есть заставить тело испустить поверхностью звуковую волну и померить полный поток этой волны, который будет пропорционален площади поверхности тела.
В общем, можно использовать любой физический параметр, являющийся монотонной функцией площади поверхности.
08.01.2013 19:46
Точно..
..можно только ограничить снизу - по объему и площади соответствующей сферы...
08.01.2013 19:57
Может давление?
=D
Не представляю себе возможным измерить поток тепловой энергии.

Может давление использовать как-нибудь?
08.01.2013 20:02
для оценки сойдёт
Цитата
alexo2
..можно только ограничить снизу - по объему и площади соответствующей сферы...

Действительно, ну для оценки сойдёт. Если бы можно было однозначно ограничить сверху, тогда можно было бы среднее значение взять.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 08.01.2013 20:02.
08.01.2013 20:38
Если есть возможность отсканировать поверхность,
тогда по зависимости $r=r(a,b),$ где $a \in [0,2 \pi), b \in[0, \pi) $ углы поворота, можно вычислить ее площадь .
08.01.2013 20:44
...
Цитата
dmgr94
Если бы можно было однозначно ограничить сверху, тогда можно было бы среднее значение взять.
В том-то и дело, что сверху, при прочих неизвестных - бесконечность...
Хотя, смотря какая форма тела, для некоторых классов форм оценку сверху, видимо, можно дать... - тут топологи по-моему есть, поправят если что...



Редактировалось 1 раз(а). Последний 08.01.2013 20:53.
08.01.2013 20:55
Что значит ваше "при прочих неизвестных"?
Цитата
alexo2
В том-то и дело, что сверху, при прочих неизвестных - бесконечность...
Если так рассуждать, то ваша оценка снизу для сферы *при прочих неизвестных" - это 0.
Отсканируйте поверхность и задача приобретает нормальный математический вид.
Можно также делать оценки на основе каким-то образом полученных размеров + дополнительной информации о форме (например, с учетом выпуклости).



Редактировалось 2 раз(а). Последний 08.01.2013 20:59.
08.01.2013 21:11
Эврика!
Идея со сканированием натолкнула меня на мысль.

Я кажется придумал метод похожий на метод определения объёма. (Вроде только для выпуклых тел будет работать)

Нужно запоняя водой ёмкость с телом измерять объём не 2 раза (до погружения тела и после), а несколько раз (чем больше, тем точнее). Тем самым мы можем разбить тело на несколько цилиндров, объём которых можно вычислить по известному принципу. Также мы можем вычислить высоту каждого цилиндра, а отсюда и площадь.

Как вам мысль?
08.01.2013 21:11
"прочих" -
означает всех остальных данных, кроме известного объема
08.01.2013 21:13
граница сверху
Цитата
alexo2
означает всех остальных данных, кроме известного объема

Для выпуклого тела, границей сверху не будет площадь куба того же объёма?
08.01.2013 21:17
...
Цитата
dmgr94
Идея со сканированием натолкнула меня на мысль.

Я кажется придумал метод похожий на метод определения объёма. (Вроде только для выпуклых тел будет работать)

Нужно запоняя водой ёмкость с телом измерять объём не 2 раза (до погружения тела и после), а несколько раз (чем больше, тем точнее). Тем самым мы можем разбить тело на несколько цилиндров, объём которых можно вычислить по известному принципу. Также мы можем вычислить высоту каждого цилиндра, а отсюда и площадь.

Как вам мысль?

Таким образом Вы просто построите функцию объема относительно оси (траектории) погружения некого тела. Однако, с площадью зависимостей никаких не будет.
08.01.2013 21:23
Смотрите
Смотрите, можем вычислить объём каждого цилиндра по шкале на сосуде. также можем измерить высоту каждого цилиндра прикладывая к шкале линейку)
Зная объём и высоту, можем определить площадь цилиндра

Только вот эта техника сработает только для тел вращения(

Площадь боковой поверхности цилиндра будет равна 2sqrt(pi*H*V)



Редактировалось 1 раз(а). Последний 08.01.2013 21:25.
08.01.2013 21:25
...
Цитата
dmgr94
Цитата
alexo2
означает всех остальных данных, кроме известного объема

Для выпуклого тела, границей сверху не будет площадь куба того же объёма?
Я то же имел ввиду, однако, правильнее, тогда уже - параллелепипед, а если думать дальше - то - цилиндр или конус и т.д - смотря во что вписывается максимально тело.
Эх, жалко, что Перельман "дал обет молчания" biggrin
08.01.2013 21:28
=)
Цитата
alexo2
Эх, жалко, что Перельман "дал обет молчания" biggrin

=)
08.01.2013 21:28
...
Цитата
dmgr94
Смотрите, можем вычислить объём каждого цилиндра по шкале на сосуде. также можем измерить высоту каждого цилиндра прикладывая к шкале линейку)
Зная объём и высоту, можем определить площадь цилиндра

Только вот эта техника сработает только для тел вращения(

Площадь боковой поверхности цилиндра будет равна 2sqrt(pi*H*V)
А почему Вы все время о каких-то цилиндрах говорите? У Вас тело из них состоит? Или можно к ним привести? Ну, понятно, - тогда проще...
08.01.2013 21:30
)
тело не из цилиндров, просто это всё, что я пока придумал)))
08.01.2013 21:33
...
только не "того же объема, что и сфера с минимальной площадью", (только сейчас досмотрелся), а объем некой описанной фигуры с вычислимой площадью.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти