Теория категорий

Автор темы Alexey 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеИщем преподавателя для углубленного обучения статистическим методам29.05.2020 13:22
ОбъявлениеTinkoff Business Analyst / Product Owner19.02.2021 19:06
03.12.2005 16:10
Теория категорий
Подскажите, какое основание для теории категорий сечас наиболее употребительно (вселенные Гротендика, NBG и т.п.)? А какие вообще достоинства и недостатки есть у различных подходов?

09.12.2005 00:51
Неужели на всем форуме не найдется специалистов по основаниям математики?
Ведь бывало тут возникали такие баталии в связи с конструктивизмом, алгоритмами и логикой вообще. А тут, казалось бы, очень естественный и логичный вопрос. Ведь сейчас в математики без категорий никуда, а про достойные основания этой теори узнать хочется.
09.12.2005 15:02
Не вижу связи :)
Цитата

Alexey писал(а) :
Ведь сейчас в математики без категорий никуда

Категорически smile не согласен.

С уважением,
участник упомянутых дискуссий о конструктивизме,
не читавший ни Букура, ни Деляну, ни Маклейна,
и нимало не чувствующий себя от этого хуже,
Гастрит

10.12.2005 00:07
А она, казалось бы, есть :)
Цитата

Гастрит писал(а) :
Цитата

Alexey писал(а) :
Ведь сейчас в математики без категорий никуда

Категорически smile не согласен.

А как же алгебраическая геометрия? Как же гомологическая алгебра? Да даже функциональный анализ? Ведь Вам, Гастрит, известно, что ныне даже в учебниках для студентов по функциональному анализу трудно обойтись без теории категорий. :)

11.12.2005 23:02
Что ответит на это Гастрит вполне предсказуемо :)
Я к сожалению не могу дать сейчас квалифицированный ответ на Ваш вопрос. У меня сложилось, впрочем, впечатление, что этим просто не особо интересуются. С другой стороны можно строить теорию множеств на основе теории категорий на эту тему, есть работы, например, Ловера:
http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/11/tr11abs.html
С уважением, Свинтус
12.12.2005 02:01
мнение
Сандерс Маклейн, один из создателей категорий, взял за основу теорию классов Геделя -- Бернайса -- фон Неймана. Насолько я знаю, эта позиция до сих пор всех устраивает.

Похоже (это уже отмечал Свинтус) категории не очень интересуют специалистов по основаниям математики. Дело в том, что люди активно использующие категории, как правило, не логики, и, как правило, не особо заботятся об основаниях. Не даром известная книжка Маклейна называется "Категории для работающего математика".

Мне представляется, что категории это просто формализм, позволяющий выразить некотрые факты единообразно. Например, во фразе "Hom(*,*) --- функтор контравариантный по первомму аргументу и ковариантный по второму" суммируется некоторое количество известных (давным-давно) утверждений. Разумеется, категорный подход, ввиду своей лаконичности, иной раз позволяет "разглядеть лес за деревьями".



Пусть x не есть число ручек в пенале.
12.12.2005 13:31
По пунктам
Цитата

Alexey писал(а):
Да даже функциональный анализ? Ведь Вам, Гастрит, известно, что ныне даже в учебниках для студентов по функциональному анализу трудно обойтись без теории категорий. :)

В написанных Хелемским - безусловно, трудно smile Но ведь А.Я. орудует как раз в области гомологической алгебры - отсюда и вкус.

Если же посмотреть на настоящий функциональный анализ (теорию операторов, анализ на бесконечномерных пространствах etc.), то там категорный подход только мешает. Возьмите тот же опус Кириллова и Гвишиани - сперва с помпой произносится потребное количество категорно-функторных заклинаний... которые куда-то тихо исчезают, как только дело доходит до задач wink

Цитата

lofar писал(а) :
Дело в том, что люди активно использующие категории, как правило, не логики, и, как правило, не особо заботятся об основаниях. Не даром известная книжка Маклейна называется "Категории для работающего математика".

Люди, активно использующие категории, вообще не заботятся ни о чём, кроме наращивания своего списка публикаций. Большинство "категорных" статей строчится по принципу "описание морфизмов в равенстве 2x2=4". Т.е. берётся давным-давно известный факт, разбавляется теоретико-категорной водой, - и получаемая в итоге стопроцентная схоластика, не позволяющая решить ни одной новой конкретной задачи, выдаётся за великое научное достижение.

Короче: если под "математической работой" понимать наукообразную графоманию (как это делает тот же Маклейн) - тогда, конечно, категории незаменимы razz Но лично у меня взгляд другой: работа - это, прежде всего, реальные расчёты реальных параметров. И вот примеры того, когда теоретико-категорный подход облегчал бы написание машинных программ, мне неизвестны cry Не подкинете?

С уважением,
Гастрит
12.12.2005 16:08
Категории это формализм,
но формализм полезный. Объект на подобие "когомологии с коэффициентами в пучке" можно изучать не говоря ни слова о категориях, но, вряд ли, найдетcя желающий читать статью написанную подобным образом.

Все мы, надеюсь, используем арабские цифры. И каждый, надеюсь, может проверить, сложив "столбиком", что 123 + 456 = 579. Тем не менее, этот факт можно записать и так: "CXXIII et CDLVI eq DLXXIX", что, безусловно, давно известно. (Кому мало, замените "+" на "*".) Вместе с тем, арабские цифры это только формализм!
12.12.2005 17:25
Пазвольте не согласиться
Цитата

lofar писал(а) :
Объект на подобие "когомологии с коэффициентами в пучке" можно изучать не говоря ни слова о категориях, но, вряд ли, найдетcя желающий читать статью написанную подобным образом.

А Вы дадите гарантию, что лет через пятьдесят найдётся желающий читать статью на соотв. тему, написанную любым способом? Есть ведь такая вещь, как мода: сегодня категории у всех на слуху и это "типа круто", а потом глядь - приложений нет, и направление вырождается.

Цитата

Все мы, надеюсь, используем арабские цифры. И каждый, надеюсь, может проверить, сложив "столбиком", что 123 + 456 = 579. Тем не менее, этот факт можно записать и так: "CXXIII et CDLVI eq DLXXIX", что, безусловно, давно известно. (Кому мало, замените "+" на "*".) Вместе с тем, арабские цифры это только формализм!

1) Арабские цифры являются "только формализмом" в сравнении с другими позиционными системами. В сравнении же с римской системой это далеко не "только" формализм.

2) Арабские цифры, как Вы совершенно справедливо заметили, мы именно используем. Посредством них выражаются результаты измерений, они фигурируют в вычислениях (столбиком и не только), etc. Словом, арабские числа - это реальные объекты. А теперь покажите-ка мне в реальной жизни хоть один функтор razz

Повторяю свой вопрос: как теоретико-категорное словоблудие может помочь мне написать хоть одну программу (скажем, для нахождения решений какого-нибудь диффура)?

С уважением,
Гастрит

12.12.2005 21:44
Про основания
Цитата

Дело в том, что люди активно использующие категории, как правило, не логики, и, как правило, не особо заботятся об основаниях.
Существует т.н. категорная логика. Я о другом писал, что обоснование теории категорий в рамках теории множеств не особенно интересно специалистам по теории категорий.
Цитата

Мне представляется, что категории это просто формализм, позволяющий выразить некотрые факты единообразно. Например, во фразе "Hom(*,*) --- функтор контравариантный по первомму аргументу и ковариантный по второму" суммируется некоторое количество известных (давным-давно) утверждений. Разумеется, категорный подход, ввиду своей лаконичности, иной раз позволяет "разглядеть лес за деревьями".
Это можно сказать относительно любой теории, так множество "давным давно известных фактов" получило единообразное объяснение теорией групп, скажем.
С уважением, Свинтус
12.12.2005 21:58
Может
Цитата

Повторяю свой вопрос: как теоретико-категорное словоблудие может помочь мне написать хоть одну программу (скажем, для нахождения решений какого-нибудь диффура)?
Asperti A., Longo G. Categories, types, and structures. Introduction to category theory for computer scientists:http://lib.mexmat.ru/books/1111
С уважением, Свинтус

13.12.2005 15:09
Ага, держите карман
Ну, да: сначала вводятся лямбда-исчисление и интуиционистское предикатное исчисление в форме секвенций, затем приводится теорема об устранении сечения, и только потом (когда всё полезное уже сделано в терминах конструктивных объектов!) всё это разбавляется водой в стиле "а знаете, ведь формулы-то были объектами, а секвенции - морфизмами". Ровно так же сейчас пишутся "православные" учебники: сначала излагаются никаком боком к православию не относящиеся научные (более-менее) факты, а затем даётся их истолкование в свете единоспасающего учения razz

Замечу вдобавок, что авторы - вообще жулики: в первой части своего опуса они оперируют с множествами вполне себе по Кантору ("не замечая" антиномий, разумеется!), и делают это, вероятно, сознательно: ведь если строить теорию категорий на основе NBG (или другой формальной теории), то рухнет весь их замысел обратного сведения формальных систем к категориям!

С уважением,
Гастрит

P.S.: Нет такой ахинеи, которую не мог бы написать западный математик ради получения гранта razzrazzrazz

13.12.2005 15:15
Нюансик
Цитата

Свинтус писал(а) :
Это можно сказать относительно любой теории, так множество "давным давно известных фактов" получило единообразное объяснение теорией групп, скажем.

Простите, но теория групп была создана не для объяснения известных фактов, а для установления фактов неизвестных (разрешимость уравнений в радикалах). Почувствуйте разницу!

С уважением,
Гастрит

14.12.2005 00:06
Согласен с Гастритом...
...по первому предложению. Книжка рассказывает про пользу от решёток Скотта и лямбда-исчисления, но польза теории категорий оттуда совсем не очевидна.
А ещё добавлю, что по моему (малообоснованному) впечатления сейчас в теории NP-полноты и иже с нею категорные работы стали популярным средством сделать phd без риска лишить работы других.

14.12.2005 06:35
Возможно, что категории дверь в уютный, обособленный мир особой математики ! Но
этот формализм живёт сам по себе и не помогает решать задачи классической алгебры( алгебры ХХ века ) и современной Конкретной математики, которой многие из нас занимаются !
)) Решить уравнение Пифагора в свободной алгебре они мне не помогут )) По крайней мере категории не создали для нас рая, как создал его Кантор ))



С уважением,
Борис
14.12.2005 17:28
Не спорьте, время рассудит
Все это есть дело вкуса, не нравится --- не используйте.

Вряд ли найдется специалист по гомологической алгебре или алгебраической геометрии которому категорный язык не нужен. Можно, конечно, отказать этим (и другим) дисциплинам в праве называться математикой. Можно считать все это словоблудием. Однако, это уже внематематический вопрос.

По поводу групп...
Цитата

Гастрит писал(а)
теория групп была создана не для объяснения известных фактов, а для установления фактов неизвестных (разрешимость уравнений в радикалах)
Знаете ли в каких терминах Галуа доказывал свои утверждения? Ключевыми объектами у Галуа были выражения от корней данного многчлена и наборы значений этих выражений при различных перестановках корней. Так что он занимался тем, что мы сейчас называем подгруппами группы перестановок.

Современное понятие группы возникло позже (конец XIX в, Кэли, Фробениус, ...). Конечно, теперь многие теоремы в учебниках носят имена Лагранжа, Абеля, Галуа, но доказываются они не в "авторских" терминах. Также, полагаю, что ни кто не станет утверждать, что современная теория групп это всего лишь перевод старых результатов на новый язык (вспомните, хотя бы, результат Петра Сергеевича Новикова о неразрешимости проблемы равенства).

К слову, Абель и Галуа считаются также основателями теории полей. Правда под полями они понимали совокупности линейнвх комбинаций степеней корней многочленов.

Безусловно все эти люди являлись выдающимися математиками, и мне не жалко, что их именами названы, строго говоря, не их теоремы. Я хочу лишь отметить, что математический фориализм --- вещь далеко не бесполезная. Более того, все математики используют тот или иной формализм. Невозможно творить в вакууме. Думаю, что все используют такие формальные объекты, как: отношения, функции, переменные, арабские цифры (не понял аргументов Гастрит против), ...

В конце, в качестве шутки, приведу выдержку из одной книжки по истории математики.
"В 1678 г. Чирнгаус заявил Лейбницу, что надо по возможности избегать новых обозначений, ибо это только затрудняет доступ к науке. Вот Виет заслуживает похвалы за то, что обходится буквенными обозначениями, не вводя новых чудовищных знаков. Лейбниц, возражая подчеркивал, что надо искать обозначения, которые кратко выражают сокровенную сущность предмета, облегчая путь к открытиям и значительно уменьшая затрату умственного труда. И таковы, продолжал Лейбниц, использованные мною знаки – я часто с их помощью в несколько строк решаю самые трудные задачи."



Пусть x не есть число ручек в пенале.
14.12.2005 18:31
И приведёт приговор в исполнение :)
Цитата

lofar писал(а) :
Современное понятие группы возникло позже (конец XIX в, Кэли, Фробениус, ...). Конечно, теперь многие теоремы в учебниках носят имена Лагранжа, Абеля, Галуа, но доказываются они не в "авторских" терминах.

Факт остаётся фактом: новое понятие возникло в связи с решением старой задачи - поставленной до введения этого понятия.

Цитата

Также, полагаю, что ни кто не станет утверждать, что современная теория групп это всего лишь перевод старых результатов на новый язык (вспомните, хотя бы, результат Петра Сергеевича Новикова о неразрешимости проблемы равенства).

Опять же в отличие от теории категорий (оставим в стороне вопрос о количестве ошибок в первых статьях Новикова, и о том, что приоритет в области решения массовых проблем алгебры вообще принадлежит не ему).

Цитата

Более того, все математики используют тот или иной формализм. Невозможно творить в вакууме. Думаю, что все используют такие формальные объекты, как: отношения, функции, переменные, арабские цифры (не понял аргументов Гастрит против), ...

Гастрит-то всё понял. Это кто-то другой не понял, о чём говорил Гастрит. И кто-то другой не очень хорошо представляет, в чём заключена разница между аксиоматикой содержательной и аксиоматикой формальной (см. начало 1-го тома Гильберта и Бернайса).

Разжёвываю. Арабские цифры - реальные объекты: их можно записать на бумаге, занести в память ЭВМ, и прочая, прочая, прочая. Свойства арабских цифр не нужно аксиоматически постулировать: нет никаких проблем проверить, что 123+456 действительно равно 579. Говоря об арабских цифрах как о "формализме" Вы, вероятно, имели в виду, что к их рассмотрению может быть сведено рассмотрение других не менее материальных объектов - натуральных чисел. Так вот: Вы не правы, формализмом тут и не пахнет. Налицо всего лишь модель, нечто вроде аэродинамической трубы.

Далее: группы, рассмотренные Новиковым (а равно полугруппы, за 10 лет до Новикова обработанные Марковым и Постом) - это тоже отнюдь не "формализм". Это, смею напомнить, ассоциативные системы - объектами которых являются слова, то есть опять же очень материальные объекты, могущие быть записанными на бумажке, загнанными в ОЗУ etc.

С категориями же ситуация несколько иная. Их, в отличие от арабских цифр и слов, никто никогда не видел. Их вообще нет - есть только представление о них, заключённое в аксиомах NBG и "категорных" привесках к этим аксиомам. Тут, следовательно, действительно налицо формализм: те объекты, с которыми мы реально сталкиваемся при "категорной" работе - т.е. формулы языка NBG - сами не обладают свойствами, постулированными в аксиомах!

С уважением,
Гастрит

14.12.2005 19:20
поправки по тексту
1) Написав фразу "не понял аргументов Гастрит против", я имел ввиду, что именно я не понял Ваших аргументов. Просто я не стал склонять Ваш ник (а вдруг Вы девушка). Прошу извинить за неоднозначность.

2) Вы вложили мне в уста утверждение, и сразу же опрвергли его --- интересный прием. Я никогда не помышлял подменять натуральные числа арабскими цифрами (модель, имя, деноминант это все понятно). Упаси меня Бог делать заявления о натуральных числах. Мои намерения скромнее: Мы применяем арабские цифры, а вместе с тем римские цифры (другая модель) тоже можно записать на бумажке, загнать в ОЗУ etc.

3) П. С. Новикова я привел в пример лишь для того, чтобы подчеркнуть, что современная теория групп это нечто большее, чем "перевод" результатов отцов-основателей на современный язык. Так что, новое понятие возникло в связи с решением старой задачи и дало плоды.
(К тому же, ранее обсуждалось понятие группы, а не проблема Туэ.)



Пусть x не есть число ручек в пенале.
14.12.2005 19:56
ясно
Цитата

lofar писал(а) :
1) Написав фразу "не понял аргументов Гастрит против", я имел ввиду, что именно я не понял Ваших аргументов. Просто я не стал склонять Ваш ник (а вдруг Вы девушка). Прошу извинить за неоднозначность.

Понятно. Отзываю своё хамство обратно, посыпаю голову пеплом.

Цитата

3) П. С. Новикова я привел в пример лишь для того, чтобы подчеркнуть, что современная теория групп это нечто большее, чем "перевод" результатов отцов-основателей на современный язык. Так что, новое понятие возникло в связи с решением старой задачи и дало плоды.

Что странно, я говорил ровно о том же smile Правда, с акцентом на отсутствие плодов от категорий (и сомнительность самой возможности их появления).

С уважением,
Гастрит

14.12.2005 20:25
теория категорий - это очень полезный аппарат
Цитата

Борис Тарасов писал(а) :
этот формализм живёт сам по себе и не помогает решать задачи классической алгебры( алгебры ХХ века ) и современной Конкретной математики, которой многие из нас занимаются !

Вы зря так думаете. Категории очень эффективно описывают нечёткие системы, и использование категорных операций (вычисление пределов и копределов диаграмм) значительно упрощает рассуждения и делает его более прозрачным. Кроме того, аппарат теории категорий является "мостиком", связывающим обычную математику и нечёткую, и помогает переносить результаты из классической математики на нечёткий случай. Например, в теории автоматов есть теорема о минимальной реализации - каждый язык может быть представлен единственным с точностью до изоморфизма минимальным автоматом. Обобщить этот результат на случай нечётких языков было возможно только путём "поднятия" теоретико-множественной конструкции минимального детерминированного автомата на категорный уровень, и затем специализировав эту категорную конструкцию на категорию нечётких множеств.

Если я Вас не убедил, то попробуйте самостоятельно, без теории категорий, построить минимальный нечёткий автомат, например над [0,1], представляющий заданный нечёткий язык (весьма актуальная практическая задача), который определяется как функция из множества строк в [0,1] (мера принадлежности слова языку). Можно также рассмотреть более общую постановку, когда мера принадлежности слова языку меняется с течением времени. Можно рассматривать языки не над строками, а над деревьями, и т.д. Категорный подход позволяет решать все эти задачи единообразно.

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти