Теория категорий

Цитата

lofar писал(а) :
2) Вы вложили мне в уста утверждение, и сразу же опрвергли его --- интересный прием. Я никогда не помышлял подменять натуральные числа арабскими цифрами.

Мои опасения заключались не в этом. Их суть такова:

1) Отдаёте ли Вы себе отчёт, что арабские или римские цифры сами суть материальные объекты, объективно обладающие рядом свойств, допускающих "физическую" проверку? В том числе проверку их адекватности свойствам моделируемых объектов - натуральных чисел?

2) Отдаёте ли Вы себе отчёт, что имеется два принципиально различных типа аксиоматических теорий, которые ни в коем случае нельзя смешивать друг с другом? И что теория групп относится к одному из них (к типу содержательных аксиоматик - ибо группы встречаются в действительности), а теория категорий - к другому (к типу формальных аксиоматик - ибо категорий, собственных классов и тому подобной NBG-шной лабуды в действительности не имеется)?

С уважением,
Гастрит

Цитата

Свинтус писал(а) :
А что Вам мешает конструктивно задать какую-нибудь категорию(с конечным или даже счетным скелетом, скажем)? Если для Вас в этом состоит проблема.
С уважением, Свинтус

Абсолютно ничего не мешает. Но это получится немного другая теория категорий, с другими масштабами и амбициями.

Ведь в чём заключается смак "обычной" теории категорий? В том, что мы гордо вводим "категорию всех (!) множеств", "категорию всех (!!) метрических пространств" и тому подобные вещи - не менее гордо сопровождая сие ссылкой на NBG с её собственными классами. Убери всё это словоблудие - и останется рядовая алгебраическая конструкция, имеющая крайне ограниченную область применения и ни в коей мере не способная претендовать на роль основы математики.

С уважением,
Гастрит

Цитата

Короче: если под "математической работой" понимать наукообразную графоманию (как это делает тот же Маклейн) - тогда, конечно, категории незаменимы Но лично у меня взгляд другой: работа - это, прежде всего, реальные расчёты реальных параметров. И вот примеры того, когда теоретико-категорный подход облегчал бы написание машинных программ, мне неизвестны Не подкинете?

Теория категорий - специфический язык, позволяющий оперировать объектами мышления не базируясь на понятии множества. Как и любой язык, сама по себе теория категорий не дает ничего нового и просто компиляция известных фактов из какой-либо теории дает совсем немного. Но, есть примеры когда этот язык полезен и без него никуда, так сказать, не деться.

1. Топосы и связанные с ними различные переводы топологических понятий. Это прежде всего топология Гротендика - способ определения понятия топологического пространства без использования понятия множества. Топология Гротендика дает возможность определить топологию на структурах, которые множествами не являются. Например, проф. Бениаминов из РГГУ в середине 90-х написал интересную работу: он считал гомологии на схемах баз данных. Схема базы данных может быть легко представлена как некоторая теория, где имена таблиц являются именами предикатов. Ограничения целостности представляются как семейства покрытий, причем есть возможность посчитать когомологии Чеха. Я не специалист по гомологиям, но мне кажется, что без теории категорий вообще ничего такого посчитать было бы невозможно.

2. Моделирование понятий. Известная гипотеза: любое понятие представимо с помощью топоса. Таким образом, мы имеем удобный инструмент моделирования. Если это соеденить с теорией алгебраических типов, то получится интересная вещь, каждый алгебраический тип является понятием с одной стороны, а значит и является топосом и, кроме того, мы получаем возможность ввести в модель вычислимость через, например, механизм унификации. Не спорю, тоже самое можно сделать и по другому, но это удобный и, самое главное, естественный способ.

3. Модель вычислимости языка программирования Хаскель основана на таком понятии как монада. Монада - чисто категорное понятие и было взято именно из теории категорий. Сюда же можно отнести всякие денотационные семантики, хотя особой пользы от них я тоже не вижу.

4. Моделирование семантики логических теорий. Булевы топосы как известно могут использоваться для семантических конструкций логических теорий. Можно обойтись и без них, но в топосах получается очень естественно выразить многозначные логики. Например, трехзначная логика очень простым и естественным образом выражается через категорию стрелок.

В общем, мне кажется, у теории категорий есть свое, специфическое место в математике: это язык, позволяющий оперировать математическими понятиями там, где по каким-либо причинам невозможно или нежелательно использовать понятие множества. С этой точки зрения теория категорий сама по себе значит немного, но очень полезна в приложениях. Хотя и сама по себе эта теория - рай не меньший, нежели канторовский.

Цитата

mefrill писал(а) :
Теория категорий - специфический язык, позволяющий оперировать объектами мышления не базируясь на понятии множества.

Учите теорию категорий, обращая особое внимание на упоминание фамилий Нейман, Бернайс и Гёдель, а равно на аббревиатуру NBG

Цитата

1. Топосы и связанные с ними различные переводы топологических понятий.

А в рассуждениях о сотворении мира никуда не деться без упоминаний о боге - следовательно, бог есть. Космологическое доказательство бытия божия, называется

Цитата

2. Моделирование понятий. Известная гипотеза: любое понятие представимо с помощью топоса.

Но ведь с помощью ангелов любое понятие тоже представимо! Почему Вы упорно игнорируете ангелов?! А ведь теория последних развивалась столетиями и прочно вошла в золотой фонд науки - чего стоит только известная проблема об ангелоёмкости кончика иглы!

Цитата

3. Модель вычислимости языка программирования Хаскель основана на таком понятии как монада. Монада - чисто категорное понятие

Ага, Haskell запускается на особых супердуперквантовых компьютерах, где нет ни битов, ни байтов - одни функторы.

В общем, Вы (простите за грубость) - трепло. Ваши "научные" симпатии лежат в области средневековой схоластики. Медицинский факт, ничего не попишешь.

Без уважения,
Гастрит

Цитата

Борис Тарасов писал(а) :
Главное в пользе для себя, чтобы математика делала математика свободным от социума !

Именно!!!

Но, к сожалению, пока математика делает математика зависящим от общества Общество платит математику деньги (от которых он, увы, зависит), определяет его потребности (математик смотрит на образ жизни общества и пытается примерить разные его стороны на себя), и т.д.

Свободу "ненужным" математикам! Снять "категорщиков" с довольствия - и на Луну!

С уважением,
Гастрит

1. Кто-то очень хотел свободы от общества, не так ли? Но ведь свобода от общества - это, в первую очередь, свобода от осуществляемого обществом финансирования

2. Про искусство я уже говорил: если построения алгебраических топологов по-настоящему взволнуют широкие массы, то ничего против присвоения им званий народных и заслуженных художников лично я иметь не буду. И против финансирования их в качестве именно искусства - тоже.

С уважением,
Гастрит

Вы не могли бы дать ссылки на описанные результаты, был бы очень благодарен.



Life is a miracle!

Цитата

Борис Тарасов писал(а) :
)) Это и нужно - свобода от финансирования в обществе !

Так и я ведь о том же! Ну Луну всех - чтоб даже супротив воли бес не попутал деньгу с народа срубить!

Цитата

Эйлер не бегал за финансированием ))

А когда он ругался с Даламбером и Бернулли из-за струны, он бегал за финансированием! Бегал, бегал, бегал!

Цитата

Вернувшись во Францию, Вольтер следующие двадцать лет большей частью жил со своей любовницей мадам дю Шатле, «божественной Эмилией», в ее замке Сире на востоке страны, у границы Лотарингии. Она усердно занималась науками, в особенности математикой.

А другой усердно занимался химией, да с генеральными откупами немного перехимичил. Так в итоге якобинцы не стали разбираться, математикой он занят, или делом А всё из-за этих Эмилий - дискредитировали, гады, гордое звание научного работника! :)

С уважением,
Гастрит

В пересказе Жана де Лабрюйера :
"Женщина, у которой один любовник, считает, что она совсем не кокетка; женщина, у которой несколько любовников, - что она всего лишь кокетка."
Правильный подход к жизни ))



С уважением,
Борис

Нашёл некоторое количество статей ( с языком нет проблем, конечно), ознакомлюсь. Честно говоря, с теорией нечётких систем знаком на минимальном уровне и основной интерес вызван описанным Вами методом доказательства. Подобные (на первый взгляд) идеи сейчас получают распространение как потенциальный метод получения нижних оценок в классических вычислениях и пример успешной реализации может оказаться весьма полезным. В случае возникновения вопросов с удовольствием воспользуюсь Вашим предложением.



Life is a miracle!