Иррациональное уравнение

Иррациональное уравнение
sqrt( x^2 – x – 1 ) + sqrt( 1 – x – x^2 ) = x^2 + x + 2. ( 1*** )

1) Преобразование z = 2x + 1 приводит уравнение ( 1*** ) к виду

sqrt( (z – 2 )^2 – 5 ) + sqrt( 5 - z^2 ) = (z^2)/2 + 7/2. ( 2*** )

Область возможных решений уравнения ( 2*** ) есть интервал
Iz = { z | -sqrt(5) =< z =< 2 – sqrt(5) }. ( 3*** )

Пусть sqrt( (z – 2 )^2 – 5 ) =/= sqrt( 5 - z^2 ) ( 4*** )

Тогда sqrt( (z – 2 )^2 – 5 ) + sqrt( 5 - z^2 ) = 4(1 – z )/ (sqrt( (z – 2 )^2 – 5 ) - sqrt( 5 - z^2 ) ) > 0 !
Eсли z – решение уравнения ( 2*** ), то, так как число z из интервала Iz, z < 0,

1 – z > 0. ( 5*** )

Тогда следует для корня z неравенство

sqrt( (z – 2 )^2 – 5 ) - sqrt( 5 - z^2 ) > 0 или

(z – 2 )^2 – 5 > ( 5 - z^2 ), или окончательно

( z – 1 )^2 > 4, т.е. или z > 3 или z < -1.

Тогда область возможных решений уравнения ( 2*** ) есть интервал

Iz = { z | -sqrt(5) =< z < –1 }. ( 6*** )



С уважением,
Борис