Задачка по геометрии

Предлагаю всем желающим порешать, на первый взгляд, несложную задачку:
На евклидовой плоскости заданы два множества, в каждом по 4 точки. Известно, что всевозможные попарные расстояния между точками первого множества совпадают со всевозможными попарными расстояниями между точками второго множества, т.е. получаеи два числовых множества, в каждом из которых по 6 чисел. Конечно, числа в каждом числовом множестве могут повторяться (такие множества принято называть мультимножествами). Обязательно ли существует изометрия плоскости, переводящая первое множество точек на второе?

Этот вопрос возник у меня в связи с написанием алгоритма, проверяющим два множества точек на плоскости на изометрию. Я знаю ответ на него, но пока не сообщаю, чтобы каждый смог получить удовольствие от процесса решения. Возможно этот вопрос уже где-нибудь рассматривался. Кто встречал - просьба дать ссылку, но не сразу, а через некоторое время.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 05.02.2013 16:22.

Цитата
provincialka
между соответственными точками? То есть, если $AB = A_1B_1; BC = B_1C_1$, то и $AC = A_1C_1$? Или может оказаться, что $AC = A_1D_1$?

А какие точки Вы называете соответственными? Речь идёт о множестве точек, поэтому неважно в каком порядке Вы их перечисляете или называете. По условию задачи равны два мультимножества попарных расстояний.

Цитата
kitonum
Предлагаю всем желающим порешать, на первый взгляд, несложную задачку:
На евклидовой плоскости заданы два множества, в каждом по 4 точки. Известно, что всевозможные попарные расстояния между точками первого множества совпадают со всевозможными попарными расстояниями между точками второго множества, т.е. получаеи два числовых множества, в каждом из которых по 6 чисел. Конечно, числа в каждом числовом множестве могут повторяться (такие множества принято называть мультимножествами). Обязательно ли существует изометрия плоскости, переводящая первое множество точек на второе?

Этот вопрос возник у меня в связи с написанием алгоритма, проверяющим два множества точек на плоскости на изометрию. Я знаю ответ на него, но пока не сообщаю, чтобы каждый смог получить удовольствие от процесса решения. Возможно этот вопрос уже где-нибудь рассматривался. Кто встречал - просьба дать ссылку, но не сразу, а через некоторое время.

Не встречал. Удовольствие получил, спасибо.

1. Если совокупность попарных расстояний содержит ровно 6 различных чисел, то изометрия существует (?).
2. Что можно сказать если совокупность попарных расстояний содержит ровно 5 различных чисел?
Замечу, что пример Yog-urta содержит ровно 4 различных числа (впрочем, этот пример я до конца не проверил), что существенно отличает его от примера Antona-25 .
Прошу прощения, кажется я ошибся.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 05.02.2013 23:51.

Спасибо всем кто откликнулся! Пример Антона конечно изящнее, но кому интересно - вот мой пример . Первое множество - точки A, B, C, D . Второе множество - точки A, B, D, E . Все сплошные отрезки длиной по 1 . Угол ABD равен 120 градусам . Легко проверить, что можно так подобрать углы CBD=BDE (примерно по 109 градусов), что AE=AC .



Редактировалось 1 раз(а). Последний 06.02.2013 00:11.

Утверждение 1. не вызывало никаких интуитивных сомнений, причем уверенность была настолько сильной, что и доказывать не хотелось. Однако, при построениях, связанных с пунктом 2. случайно построились вот такие "чудовища":
1) точка пересечения высоты с основанием и три вершины треугольника с боковыми сторонами $15$, $\sqrt{160}$ и основанием $13$
2) четыре вершины прямоугольной трапеции с основаниями $9$ и $4$ и боковыми сторонами $12$ и $13$ (сторона с длиной 12 перпендикулярна основаниям).
Множество расстояний: $\{4;9;12;13;15;\sqrt{160}\}$. Видимо, пора пересмотреть свое отношение к слову "очевидно"

P.S. Уважаемый Kitonum, не хочу показаться деревом, но каким образом Вы выкладываете рисунки?

Опоздал на бесконечно малую с сообщением . Заметили, что интервалы времени начинают убывать в двое?

Я вообще думал, что конкретные расстояния не известны. А тут бац - и какие-то частные примеры. Задачка-то по сути сводится к таковой - можно ли около произвольного треугольника разместить две различные точки так, чтобы расстояния от этих точек до вершин треугольника были одинаковы cточностью до перестановок. И если можно - показать, что исходный треугольник - равнобедренный или равносторонний и точки расположены симметрично относительно его элементов симметрии.

Цитата
kitonum
Говоря про общее построение, Вы имеете ввиду аналогичные примеры для множеств с числом элементов больше чем 4 ? Очень интересно!

С подобными вопросами приходилось сталкиваться ранее (в другиз протранствах). К таким задачам приходишь, когда для регулярной структуры в метрическом пространстве удается определить спектр расстояний и метрические свойства различных подструктур. При этом возникает вопрос о единственности структуры с такими характеристиками. Близкие постановки задач с общих позиций освещены в работе А.М. Вершика ]http://www.mathnet.ru/links/119815a479e0817e528042c95d191632/rm718.pdf.
Говоря о варианте общего построения, предполагал решение вашей задачи с 4-мя точками. Вариант , который я имел в виду, громоздок, неинтересен; построения основываются на аналитических расчетах (ход построения: треугольник, совокупность расстояний до вершин от одной точки, затем от другой, определение необходимых и достаточных условий совпадения).
Вариант Antona25 (квадрат 1Х2) уникален. Оказалось, что при повторении точек в симметричных вершинах треугольника и соответственно в вершинах прямоугольника, инцидентных одной длиной стороне, получим пример для вашей задачи с 6-ю точками. Правда, вопрос о существовании таких вариантов при условии несовпадения точек множеств не ясен.
Еще раз спасибо за задачу.

Цитата
kitonum
Ответ Антону25 как выкладывать рисунки.

Проще всего это делается с помощью клавиши Print Screen на клавиатуре. Создаёте свой рисунок в любой программе (я это делаю в Maple). Затем нажимаете указанную клавишу. Открываете Paint и вставляете туда. Затем обрезаете лишнее, добавляете надписи, если нужно, и сохраняете ( по умолчанию сохраняются в формате png ). Затем заходите на radical.ru (или куда-нибудь ещё где есть хостинг картинок) и размещаете там свою картинку, а уже на форуме вставляете ссылку, которую они предоставляют. На других форумах от них же можно просто вставлять сами картинки.

Большое спасибо за подробнейший ответ