Задачка по геометрии

Цитата
anton25

Цитата
yog-urt
что добавдение любого числа точек в добасляемые по отношению к исходному треугольнику точки, сохраняет свойство "неизометричности" множеств при любом n. Но в этих примерах - совпадающие точки.

А "совпадающие точки" понимается в смысле несколько точек таких, что расстояние между любыми двумя равно нулю? Мне кажется, что в евклидовом точечном пространстве не допускаяется считать различными точки с одинаковыми координатами, да и определение метрики требует отождествления. Или речь о другом, и я неверно понял?

Обобщение задачи в таком направлении допустимо и, в принципе, содержательно (т. е. повторение не любой точки приведет к варианту задачи Kitonuma), При обобщении достаточно заменить «множества» на «мультимножества», как это сделано для набора взаимных расстояний. При этом задачу можно формулировать в терминах набора пар чисел (координат точек) и др. Когда мы говорим о том, что квадратное уравнение имеет два корня, то уже не уточняем, что иногда один, а просто говорим о совпадении.
В некоторых случаях (часто) удобно интерпретировать совпадающие объекты как различные. Например, если эти совпадающие точки или их множества являются проекциями на плоскость различных многомерных тел, то удобнее сказать, что отдельные точки (линии, грани…) в проекции совпадают, чем разбираться, где и сколько точек и граней в наличии – если, конечно, это не составляет решаемую задачу.
Снова к нашей задаче. Попытки построить простейшие наборы точек, удовлетворяющие задаче Kitonuma (контрпримеры) не привели к более простому (по отношению к вашему) варианту даже при допустимости совпадающих точек. Варианты: отрезок – отрезок, отрезок – треугольник, и треугольник – треугольник не существуют. Конструкции для n>4 при недопустимости совпадающих точек – под большим сомнением.,… но посмотрим…

Цитата
yog-urt
Два множества (в строгом понимании) $n$ точек на плоскости будем называть искомым вариантом (конструкцией) порядка $n$, если множества имеют совпадающие мультимножества взаимных расстояний входящих в них точек, но не существует изометрии плоскости, переводящей одно множество точек в другое.
Построение основано на ранее приведенном варианте.

Цитата
yog-urt
Пусть ABCD - параллелограмм (не ромб) с центром O, Z- произвольная (не O ) точка на перпендикуляре OZ к диагонали (для определенности BD).
Тогда AZBC и AZCD имеют одинаковый набор взаимных расстояний.
В частности, если Z лежит на AB, то AZBC вырождается в треугольник.

Конструкция, удовлетворяющая условиям задачи при $n=4$, обладает следующим свойством (необходимое и достаточное условие): Мультимножество расстояний от точки $ B$ до точек $ A,Z,C $ (обозначим $ M(B|AZC) $ ) и мультимножество расстояний от точки $ D $ до этих же точек $ M(D|AZC) $ совпадают, т. е . $ M(B|AZC)=M(D|AZC). $ При этом мультимножество всех взаимных расстояний систем точек $ AZBC $ и $ AZDC $ равны , т. е.: $ M(AZBC)=M(B|AZC) \bigcup M(AZC)= M(D|AZC) \bigcup M(AZC)=M(AZDC). $
Заметим, что построенная конструкция будет удовлетворять условиям задачи, если точки $ B,D $ лежат на прямой $ BD $ симметрично относительно центра $ O$ на любом расстоянии от центра. Выберем любую другую пару таких точек $ U,V $ на прямой $ BD $ и рассмотрим два множества точек $ AZBCU$ и $ AZDCV. $ Для этих множеств $ M(AZBCU)=M(B|AZC)\bigcup M(U|AZC) \bigcup M(BU) \bigcup M(AZC) = M(D|AZC) \bigcup M(V|AZC) \bigcup M(DV)\bigcup M(AZC) = M(AZBDV) $ , ч. т. д.
Конструкция будет также удовлетворять условиям задачи, если пары взаимозаменяемых точек определить так $ BV $ и $ DU. $
Методика обобщается на конструкции произвольного порядка $n>3$.

Т.е. для любого$n>4$ на отрезкет ОВ произвольно выставляем $n-4$ точки $\{U\}$, а на отрезке OD $n-4$ точки, симметричных точкам $\{U\}$ относительно точки О ( множество $\{V\}$) и т.о. получаем два неизометричных множества ZACB$\{U\}$, ZACD$\{V\}$ по $n$ точек в каждом, но с общим мультимножеством попарных расстояний между точками. Браво!!!

Цитата
anton25
Т.е. для любого$n>4$ на отрезкет ОВ произвольно выставляем $n-4$ точки $\{U\}$, а на отрезке OD $n-4$ точки, симметричных точкам $\{U\}$ относительно точки О ( множество $\{V\}$) и т.о. получаем два неизометричных множества ZACB$\{U\}$, ZACD$\{V\}$ по $n$ точек в каждом, но с общим мультимножеством попарных расстояний между точками. Браво!!!

Более общо: множество $\{U\}$ выставляется на диагонали произвольно, а множество $\{V\}$ – симметрично.

Цитата
kitonum
Полностью присоединяюсь к Антону25! Построенные конструкции окончательно похоронили мои надежды построить алгоритм, проверяющий 2 плоских конечных точечных множества на изометричность с помощью сравнения мультимножеств взаимных расстояний. Мне почему-то казалось, что для n>4 подобные примеры невозможны. Придётся искать другие пути.

Для меня это тоже «неожиданность»: число точек (и координат) растет линейно, а число уравнений, связывающих координаты, - «квадратично». Но, оказывается, что у такой системы нелинейных уравнений избыточность тоже возрастает по квадратичному закону.
В конструкции реализуются красивые варианты. Так, вариант Antona25, прямой (треугольник ABCZ => прямоугольник ACDZ) и двойственный (прямоугольник ABCZ => треугольник ACDZ) приведены здесь .
От такого исхода сам шокирован.
Вообще что-то удивительное получается, когда $\{U\}$ и $\{V\}$ – системы интервалов. Да и исходный треугольник – тоже «не памятник»…

PS Про "не памятник" - это мысль (возиожно, необоснованная) вместо точек рассматривать круги (открытые, закрытые), системы окружностей, "колец",...
PPS Подумал о кругах, "кольцах",..Такое обобщение конструкции проходит. .



Редактировалось 3 раз(а). Последний 07.02.2013 23:28.