Реккурентная последовательность.

Определим следующую последовательность:
а(0)=х, а(1)=х^а(0), a(2)=x^a(1), … , a(N)=x^a(N-1).
Рассмотрим предел: lim x^a(N-1)=A при N стрем. к бесконечности.
Вопрос : при каких значениях x существует конечный предел, и какие значения может принимать?
Попытался определить общий член последовательности с помощью производящих функций, не получилось. Основываясь на численных итерациях, скорее всего: при х = 2^(1/2), А =2. Хотелось бы найти общее решение, если существует.
Прошу подсказать направление действий.
P.S. Извините за вид формул, ТеХ ом не владею, а времени сейчас разбираться нет.

.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 25.05.2023 11:54.

но зато есть возможность обратить внимание на такую деталь.
$ a^{a^{.^{.^a}}} = A(n,a), $ где $ A(0,a)=a, A(n+1,a) = A(n,a)^a. $
$ a^{.^{.^{a^a}}} = B(n,a), $ где $ B(0,a)=a, B(n+1,a) = a^{B(n,a)}. $
$ A(n,a)] $ и $ B(n,a) $ – две большие разницы.

Большое спасибо всем, очень помогло, все прояснилось.