Помогите пожалуйста с решением интеграла от дроби(интеграл внутри)

I$36/((x+2)(x^2-2x+10))$
Пробовала методом не отпределенных коэффициентов, система уравнений получается какой-то бессмысленной, и методом замены не получилось, Если можите, напишите как можно подробнее алгоритм решения. За ранее большое спасибо.

Судя из первых двух уравнений системы, А и В равны нулю, а из третьего уравнения не равны нулю.
[img]http://s2.uploads.ru/idINv.jpg[/img]
http://uploads.ru/idINv.jpg

Вот так что-ли должно быть?
http://uploads.ru/XVpht.png

Лучше она здесь поноет-попридуривается, всем это надоест, и ей напишут верное решение.
Во всяком случае, она на это надеется.

В заглавном посте у вас написано $\frac{1}{(x+2)(x^2-2x+10)}$, а раскладываете вы почему-то на $\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x^2+2x-10}$
И на фотографиях мало что видно. Лучше напишите решение в сообщении с помощью редактора формул.

раскладывать нужно $\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{x^2-2x+10}$

36 вынесла за занак интеграла $ 36 \int \frac{1}{(x+2)(x^2x+10)}dx$
Разложила вот так

$\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{x^2-2x+10}$
Далее нашла коэффициенты A=0.1; B=-0.1; C=0 (подставила в дробь - все сошлось(найдены правильно))
Разбила на 2 интеграла
$ 36 \int \frac{0.1dx}{x+2}- \int \frac{- 0,1xdx}{x^2x+10}$(возможно вот тут ошибка 36 должно быть перед двумя интегралами или перед одним?)
далее сделала вот так
$ 36 \int \frac{0.1dx}{x+2} - \int \frac{ 0,1xdx}{(x-1)^2+3^2}$
Затем начала решать первый
$ 3.6 \int \frac{dx}{x+2}$
y=x+2
dy=(x+2)'dx=dx
$ 3.6 \int \frac{dy}{y}=3.6 ln(y)=3.6 ln(x+2) $
Далее начала решать второй интеграл.
$ -0.1 \int \frac{dx}{(x-1)^2+3^2}= \frac{1}{30} \arctg \frac{x-1}{3}$
но с ответом совершенно не сошлось, у них три слагаемых и другие константы
http://uploads.ru/0HlEh.png
подскажите пожалуйста что не верно?



Редактировалось 4 раз(а). Последний 23.02.2013 19:05.

Цитата
brukvalub
Там 3 слагаемых потому, что в числителе второго интеграла стоит не $dx$ а $xdx$.
Ну, а про 36 попробуйте сами "догадаться".

Ну если правила раскрытия такие же как и ускобок, тогда я знаю как раскрыть:
$ 36 \int \frac{0.1dx}{x+2}- 36 \int \frac{0,1xdx}{(x-1)^2+3^2}$ (правильно?)(только скажите пожалуйста без загадок - "да" либо "нет")
А вот то что в числителе $xdx$ а не $dx$ не заметила. Большре спасибо.
Скажите пожалуйста $ \int \frac{xdx}{(x-1)^2+3^2}$ необходимо как-то разбить еще на 2 интеграла?

Цитата
brukvalub
Вы научились верно раскрывать скобки!
Замените в числителе второй дроби $x=(x-1)+1$ и поделите новый числитель на знаменатель почленно.

$ -36*0,1 \int \frac{((x-1)+1))dx}{(x-1)^2+3^2} =-36*0.1 \int \frac{(x-1)dx}{(x-1)^2+3^2} +36*0.1 \int \frac{dx}{(x-1)^2+3^2} $ (Правильно ли я опять раскрыла "скобки" перед вторым интегралом. Должен стоять "плюс" или "минус"? Если плюс, то знаки сойдутся с ответом, хотя мне конечно кажется что необходимо поставить "-"(по правилам раскрытия скобок)
Начала решать первый интеграл
$ -36*0,1 \int \frac{(x-1)dx}{(x-1)^2+3^2} $
делаю замену u=(x-1); x=u+1; dx=(u+1)'du=du
$ -36*0,1 \int \frac{udu}{u^2+9} $
ввожу еще одну замену
$u^2=t$; dt=2udu; $udu= \frac{dt}{2}$
$ - \frac{1}{2}*36*0.1 \int \frac{dt}{t+9}$
В числителе добавляем +9 (делали очень похожий пример на лекции, но я не поняла как добавляют +9, чтобы это не повело за собой изменений выражения, но так делал преподователь)
после чего интеграл принимает вид
$ - \frac{1}{2}*36*0.1 \int \frac{dt+9}{t+9}= \frac{9}{5} ln(t+9)$
Возвращаюсь к замене u
$ - \frac{9}{5} ln(u^2+9)$
возвращаюсь к замене x
$- \frac{9}{5} ln((x-1)^2+9)=- \frac{9}{5} ln((x^2-2x+10) $

Решаю второй интеграл
$36*0.1 \int \frac{dx}{(x-1)^2+3^2} = \frac{6}{5} \arctg \frac{x-1}{3}$

Получаю ответ всего интеграла
$ \frac{18}{5} ln(x+2)- \frac{9}{5} ln((x^2-2x+10)+ \frac{6}{5} \arctg \frac{x-1}{3}$

Но в ответе вместо дробей целые числа, а остальное все правильно
вот ответhttp://uploads.ru/0HlEh.png
Подскажите пожалуйста где ошибка



Редактировалось 1 раз(а). Последний 23.02.2013 19:56.

Цитата
vetrjanka
[Подставляю в дробь:
$\frac{1}{10}\left(\frac{1}{x+2}-\frac{x}{x^2-2x+10}\right)=\frac{1}{10}\cdot\frac{x^2-2x+10-x^2-2x}{(x+2)(x^2-2x+10)}=\frac{1}{10}\cdot\frac{10-4x}{(x+2)(x^2-2x+10)}$
И что с чем сошлось?

Проверяла вот так
$ \frac{0.1}{x+2}-\frac{0.1x}{x^2-2x+10}= \frac{0.1(x^2-2x+10)}{(x^2-2x+10)(x+2)}- \frac{0.1x(x+2)}{(x^2-2x+10)(x+2)}= \frac{0.1x^2-0.2x+1}{(x^2-2x+10)(x+2)}- \frac{0.1x^2+0.2x}{(x^2-2x+10)(x+2)}= \frac{0.1x^2-0.2x+1-0.1x^2+0.2x}{(x^2-2x+10)(x+2)}= \frac{1}{(x^2-2x+10)(x+2)}$

Но теперь понимаю, что забыла поменять один знак вот тут в числителе перед 0.2x
$\frac{0.1x^2-0.2x+1-0.1x^2+0.2x}{(x^2-2x+10)(x+2)}$

Благодаря вам нашла ошибку в разложении на множители, уже разложила правильно(проверила на сайте с онлайн разложением) завтро попробую перерешать интеграл



Редактировалось 4 раз(а). Последний 24.02.2013 02:44.