Есть Х - компактное пространство. А - отображение из Х в Х...

Пусть X - метрический компакт, f:X\to X, d(f(x),f(y))<d(x,y) для любых различных x,y\in X. Далее, пусть x_0\in X, последовательность x определена рекуррентно: x_{n+1}=f(x_n). Тогда x сходится к некоторой точке a\in X, причём f(a)=a.

Извините, лень искать ссылку. Интереснее придумать доказательство.

Шаг 1. X - компакт, поэтому выделим из последовательности x подпоследовательность y, сходящуюся к некоторой точке a. (Более подробно, y_k=x_{m(k)}, где m_{k+1}>m_k для всех натуральных k.)

Шаг 2. Величина d(x_n,x_{n+1}) нестрого убывает при возрастании n, поэтому сходится к некоторому числу q, q\ge0. Поскольку f(y_k) - элемент последовательности x, то
d(f(y_k),f(f(y_k)))\ge q.
Переходя здесь к пределу при k\to\infty, получим
d(f(a),f(f(a)))\ge q. (!!!)

Шаг 3. С другой стороны, d(y_k,f(y_k))\to q при k\to\infty. Отсюда d(a,f(a))=q. Предполагая q>0, получим d(f(a),f(f(a))<q, что противоречит (!!!). Следовательно, q=0, т. е. f(a)=a.

Шаг 4. Докажем (для полноты картины), что x сходится к a. Заметим, что величина d(x_n,a) нестрого убывает:
d(x_{n+1},a)=d(f(x_n),f(a))\le d(x_n,a).
Теперь для любого \eps>0 выберем такое k, что d(y_k,a)<\eps. Вспоминая, что y_k=x_{m(k)}, для всех n\ge m(k) получим
d(x_n,a)\le d(x_{m(k)},a)<\eps.

Примечание 1. Очевидно, неподвижная точка единственная.

Примечание 2. Условие компактности существенно: X=(0,1), f(t)=t/2.

Примечание 3. Интересно, что тут можно доказать при конструктивном подходе (понимая компактность как полноту и полную ограниченность).

Товарищ, вам же доказали: неподвижная точка будет! Если не хотите читать то, что написано, зачем тогда заходить на форум? Если вы совсем ленивый, приверьте такое рассуждение: возьмем x, на котором достигается минимум у непрерывной на компакте функции d(x,f(x)). Тогда если x не равно f(x), то d(f(x),f(f(x))) < d(x,f(x)) -- противоречие.

Хотя Андрею Николаевичу мое заступничество и не нужно, все таки отмечу, что его фамилия пишется так: Колмогоров.

Кстати, в упомянутом учебнике задача сформулирована без предположения о компактности X, что существенно меняет дело.



Пусть x не есть число ручек в пенале.

пример классный, только очень хотелось бы либо этот пример как-нибудь "закомпактить", либо другой пример привести для компактного множнства, потомучто наш преподаватель все-таки не Колмогоров, и поставил условие компактности.



Я