Доказательство неравенства

В книге Diening. Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents (стр. 99) встретил такое неравенство
$\sqrt{1+|y|^2}\le2\sqrt{1+|x|^2}+2|x-y|$.
Подскажите, пожалуйста, как его можно доказать?

После возведения в квадрат получаем
$1+|y|^2 \le (2\sqrt{1+|x|^2}+2|x-y|)^2=4(1+|x|^2)+4|x-y|^2+8\sqrt{1+|x|^2}|x-y|$.
Ума не приложу, как здесь можно применить неравенство К-Б:
$(\sum x_ky_k)^2 \le (\sum x_k^2)(\sum y_k^2)$.
Может имелось в виду какое-то другое неравенство?! Или перед возведением в квадрат нужно что-то перенести куда-то? Я пробовал переносить корень с х в левую часть, после этого возводил в квадрат и пытался применить неравенство К-Б, но пока тщетно

Цитата
brukvalub
$|x-y|^2=(x-y)(x-y)=|x|^2-2x\cdoty+|y|^2\le|x|^2-2|x||y|+|y|^2$.

$x=1$, $y=-1$?

Думаю, проще доказать более сильное неравенство $\sqrt{1+y^2}\le\sqrt{1+x^2}+|x-y|$:
$\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+x^2}\le|x-y|$.
После возведения в квадрат и очевидных предбразований:
$1+xy\le\sqrt{(1+y^2)(1+x^2)}$.
А это уже оно - КБШ для векторов $(1,x)$ и $(1,y)$