Разложение arcsin x и arccos x по ф. Тейлора.

Автор темы chudo_dm (matstat2008) 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
Форумы Список тем Новая тема
08.01.2006 13:03
chudo_dm (matstat2008)
Разложение arcsin x и arccos x по ф. Тейлора.
Товарищи! Кто-нибудь может привести разложение этих самых функций по ф. Тейлора?
Ответить Цитировать
08.01.2006 15:42
jura05
ответ
Ну, это не трудно. Например, производная от arcsin(x) равна (1-x^2)^{-1/2}. Далее нужно разложить (1-x^2)^{-1/2} в ряд по биному Ньютона
(1+x)^a=1+ax+a(a-1)/2 x^2 + ...
и проинтегрировать почленно. С арккосинусом: arccos(x)=pi/2-arcsin(x).
Ответить Цитировать
08.01.2006 21:39
gimlis (Михаил)
и это первый курс 1 семестр?
Или я ошибаюсь. Но интеграллами все-таки пользоваться нам нельзя...



было было но прошло
Ответить Цитировать
08.01.2006 23:08
Bonezz
я конечно не много думал
ну а если просто в лоб попробовать. Взять там н-ую производную и т.д. Если нельзя интегралами пользоваться, то надо давить производнами, все пойдет по циклу и мир придет в гармонию:)
Ответить Цитировать
09.01.2006 01:20
egor
можно через неопределённые коэф.
Видимо, jura05 предлагает самый удобный путь, но пока не было рядов и интегралов, можно через неопределённые коэффициенты: arcsin обязан иметь разложение в точке 0, будем искать его в виде
x+a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 + o(x^5),
подставим в формулу sin(arcsin(x))=x, где sin тоже разложим до 5-й степени (если нужно найти arcsin до x^5). Это громоздко, но вполне законно. См. также учебник Картана по комплексному анализу, там первая глава про формальные степенные ряды.

P. S. В "Тривиуме" Арнольда есть красивый пример, который можно также решать через формулу Тейлора: найти предел
lim_{x\to0}(tg(sin(x))-sin(tg(x)))/(arctg(arcsin(x))-arcsin(arctg(x))).
Конечно, рекомендуется не раскладывать напрямую (пришлось бы до 7-й степени), а доказать пару подходящих предложений.

Ответить Цитировать
09.01.2006 09:32
Researcher
А если через ln ...
Из справочника Корн'ов( см. элементарные трансцендентные функции ) :
1) arccos z = -iln( z + isqrt(1 - z^2)),

2) arcsin z = -iln( iz + sqrt(1 - z^2)),

3) arcsin z = z + 1/2*(z^3/3) + 1/2*3/4*(z^5/5) +
+ 1/2*3/4*5/6*(z^7/7 ) + ... , где |z| < 1.



С уважением,
Борис
Ответить Цитировать
09.01.2006 14:25
chudo_dm (matstat2008)
Спасибо.
Спасибо.
Ответить Цитировать
15.01.2013 22:49
docent
RE:Разложение arcsin x и arccos x по ф. Тейлора.
Посмотрите Википедию. Статья Ряд Тейлора
[
Ответить Цитировать
« Следующая тема   Предыдущая тема »
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти