Очень рад Вас видеть вновь на форуме, уважаемый Yog-urt. По задаче:
Много разных обозначений, но насколько я понял требуется доказать, что
$min_{h\inI^n}\left(max_{i\inI}\frac{|X_i(h)|}{|X|}\right)\le\frac{1}{2}$, где
$|\,|$ обозначает мощность. Если так, то похоже прокатывает обычная мат. индукция по размерности пространства:
При
$n=2$ непосредственно проверяем и убеждаемся. Предположим, что неравенство справедливо при
$n=k$ с искомым
$h$ (или фиксированным если их несколько). Тогда при
$n=k+1$ имеем
$I^{k+1}=A_{-1}\cupA_0\cupA_1$, где
$A_i=I^k\times\{i\}$,
$i\inI$. Пусть
$H=h\times\{0\}$ и пусть
$X=X^{A_{-1}}\cupX^{A_0}\cupX^{A_1}$, где
$X^{A_i}\subseteqA_i$. Тогда для любых
$i,j\inI$ в силу предположения и того факта, что для любого
$v\inI^{k+1}$ скалярное произведение
$(v,H)$ не зависит от последних компонент векторов, получаем
$|X_i^{A_j}(H)|\le\frac{1}{2}\cdot|X^{A_j}|$, откуда
$\frac{|X_i(H)|}{|X|}=\frac{|X_i^{A_{-1}}(H)|+|X_i^{A_0}(H)|+|X_i^{A_1}(H)|}{|X^{A_{-1}}|+|X^{A_0}|+|X^{A_1}|}\le\frac{\frac{1}{2}\cdot|X^{A_{-1}}|+\frac{1}{2}\cdot|X^{A_0}|+\frac{1}{2}\cdot|X^{A_1}|}{|X^{A_{-1}}|+|X^{A_0}|+|X^{A_1}|}=\frac{1}{2}$. Индукция завершена.
Насчет тривиальности, то сложно сказать ведь под разными углами, с разными подходами и сложность скачет от самой минимальной до непрошибаемой. По известным результатам и подобным задачам ничего сказать не могу. Возможно кто-то из участников сообщит.
P.S. Надеюсь меня простят за вольности в обозначениях вроде
$I^k\times\{i\}$ и
$h\times\{0\}$ и надеюсь их смысл понятен.
P.S.2 Изменения при редактировании: база не
$n=4$, а, конечно,
$n=2$Редактировалось 1 раз(а). Последний 08.05.2013 22:55.
