Задача: Многочлен с аргументом в виде матрицы

Утверждение. Подставить матрицу A в многочлен f(x)=an*x^n+...+a1*x+a0, значит f(A)=an*A^N+..+a1*A+a0*E, где E - единичная матрица, а многочлен с действительными коэфицентами

Доказать, что для любой матрицы A m на m, существует такой многочлен f(x), что f(A)=0(нулевая матрица).

Было на экзамене по Алгебре в качестве доп.задачи от профессора Зайцева, может кто-нибудь знает как решить, а то я до сих пор думаю и не знаю.



было было но прошло

Исходим из того, что Михаил Владимирович особо сложного не спрашивает. У вас вроде как степень многочлена не ограничена размером матрицы, поэтому все просто:

Матрицы, очевидно, можно рассматривать как линейное пространство размерности m^2. Поэтому m^2+1 его элементов E, A, A^2, A^3, ..., A^{m^2} линейно-зависимы: для некоторых коэффициентов c_i выполнено: c_0*E+...+c_{m^2}A^{m^2} = 0. Но тогда многочлен f(x)=c_0+...+c_{m^2}x^{m^2} - искомый.



Лучше переесть, чем недоспать...

Мне нравится. 5 баллов.



было было но прошло