Насколько я понимаю частные производные полагаются непрерывными. Вообще, страшная какая-то задача попалась. Какие-то частные случаи удается оценить, но с общим ничего не ясно. Приведу некоторые простейшие рассуждения, которые пришли, может быть они натолкнут на какие-нибудь идеи, мысли или хотя бы другие частные случаи:
1) Одномерный случай. На
$[0;\,1]$ имеется непрерывно дифференцируемая
$y=y(x)$ такая, что
$|y'(x)|\geN>0$. Требуется оценить сверху меру множества
$A=\{x\,:\,\,|y(x)|\le\epsilon\}$.
Поскольку
$y'(x)$ непрерывна и не обращается в нуль, то
$y$ - монотонна на
$[0;\,1]$,
$A$ является отрезком
$[x_1;\,x_2]$ и
$y(x)$ имеет обратную
$x(y)$ на своей области значений. Тогда
$|y'(x)|\geN\,\Rightarrow\,|x'(y)|\le\frac{1}{N}$, следовательно
$(x_2-x_1)\sqrt{1+N^2}\le\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left(y'(x)\right)^2}\,dx\le\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\sqrt{1+\left(x'(y)\right)^2}\,dy\le\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\sqrt{1+\frac{1}{N^2}}\,dy=\frac{2\epsilon\sqrt{1+N^2}}{N}$, откуда
$x_2-x_1\le\frac{2\epsilon}{N}$ - верхняя оценка.
2) В двумерном случае разумеется если
$|grad\,f(y_1,y_2)|\geN$, то либо
$\left|\frac{\partial f}{\partial y_1}\right|\ge\frac{N}{2}$, либо
$\left|\frac{\partial f}{\partial y_2}\right|\ge\frac{N}{2}$ для любой точки
$(y_1;\,y_2)\in[0;\,1]^2$ (либо не обязательно исключающее). Если же всюду на искомом множестве
$A$ (меру которого оцениваем) одна из частных производных, например
$\frac{\partial f}{\partial y_2}$, по модулю ограничена снизу числом
$\frac{N}{2}$, то из 1) можно сразу выставить верхнюю оценку
$\frac{4\epsilon}{N}$. Аналогично из 1), если в плоскости
$y_1Oy_2$ существует монотонная функция
$y_2=g(y_1)$ такая, что по одну ее сторону в точках из
$A$ справедливо
$\left|\frac{\partial f}{\partial y_1}\right|\ge\frac{N}{2}$, а по другую
$\left|\frac{\partial f}{\partial y_2}\right|\ge\frac{N}{2}$ также в точках из
$A$, то можно выставить верхнюю оценку (может быть грубую)
$\frac{8\epsilon}{N}$.
Есть еще несколько частных случаев, аналогичных приведенным, но на общий они свет пока не проливают (по крайней мере для меня).
Есть еще какие-нибудь мысли (хотя бы по частным случаям, отличным от приведенных)?
Редактировалось 1 раз(а). Последний 11.06.2013 01:31.
