Функан: Будет ли непрерывным в С[0,1] функционал \phi (x) = ...

Автор темы chaplin 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
Форумы Список тем Новая тема
04.02.2006 11:42
chaplin
Функан: Будет ли непрерывным в С[0,1] функционал \phi (x) = ...
Пожалуйста, помогите решить.

Будет ли непрерывным в С[0,1] функционал \phi (x) = \sum_{n=1}^{\infty} {frac{(-1)^n}{n} x(1/n)}, где x \in C[0,1]?

Заранее спасибо.
Ответить Цитировать
04.02.2006 15:34
lofar
ответ
Не будет.

Пусть a>0 и x_a \in C[0,1] такая функция, что x_a(1/n) = (-1)^n/n^a и ||x_a|| <= 1. В качестве примера можно взять x_a(t) = cos(\pi/t)*t^a (при t = 0 полагаем x_a(t) = 0).

\phi(x_a) = \sum_{n=1}^{\infty} 1/n^{1+a} -->\infty при a --> 0.
Ответить Цитировать
07.02.2006 23:19
jura05
Мне непонятно,
непонятно почему функционал вообще определен на всем C[0,1]. Ясно, что существует непрерывная функция f, такая что

f(1/n)=(-1)^n\frac{1}{\ln n}

для всех натуральных n. Для нее получится ряд \sum\frac{1}{n\ln n}, который расходится. Я попробовал привести пример всюду определенного линейного функционала, который не был бы непрерывным, но явной конструкции не получилось. Можно ли привести явный пример, без использования леммы Цорна и подобных "трансфинитных" построений?
Ответить Цитировать
08.02.2006 13:44
egor
Всюду определённость и непрерывность
Цитата

jura05 писал:
Я попробовал привести пример всюду определенного линейного функционала, который не был бы непрерывным, но явной конструкции не получилось. Можно ли привести явный пример, без использования леммы Цорна и подобных "трансфинитных" построений?
1. Конструктивный функционал (т. е. алгорифм), определённый на полном конструктивном метрическом пространстве, непрерывен. Это теорема Цейтина, о которой уже много раз писал Гастрит.

2. Интересно было бы построить неконструктивный линейный функционал, определённый на всём пространстве и разрывный. Под неконструктивным функционалом я сейчас имею в виду бинарное отношение с известными свойствами, заданное с помощью простого условия (как функции Дирихле и Римана).

Ответить Цитировать
« Следующая тема   Предыдущая тема »
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти