16.06.2013 23:45 Дата регистрации:
9 лет назад Посты: 1 972 | Задачка без чисел (олимпиадная) Предлагаю вам решить логическую задачку из серии "старший - рыжий", но несколько усложненный вариант. Встретились два математика, давно не видевших друг друга. Диалог при встрече: – Как давно мы не виделись! Я слышал, у тебя большая семья? – Да, трое детей. Младший – просто ангелочек! Кстати, произведение возрастов моих детей равно количеству лет, сколько мы не виделись. – Этих сведений мне недостаточно, чтобы однозначно определить возраст твоих детей. – Мой старший – огненно-рыжий. – Теперь все ясно. Сколько лет детям и сколько лет не виделись математики? P.S. Математики учитывают только полное число лет детей, т.е. все возрасты детей считаем целыми числами. дважды два - не всегда 5
|
17.06.2013 00:25 Дата регистрации:
14 лет назад Посты: 3 635 | задачка Эта старая задача органически вошла и помогла сюжету завлекательного испанского фильма 'Комната Ферма', одного из немногочисленныхх существующих фильмов о математиках. Я не знаю, имеется ли русскоязычная версия этого фильма, но с английскими титрами у меня есть. Если есть интерес, могу куда-нибудь выложить. Апд. Фильмо по-русски есть. Там название - Западня Ферма Содержание Четверо математиков не подозревали о существовании друг друга, пока таинственный незнакомец не собрал их вместе для решения одной трудной головоломки. Хозяин заброшенного дома назвался Ферма, а своим гостям дал имена самых известных в истории математиков. Им предстоит провести два дня в четырех стенах, которые неожиданно начнут медленно сдвигаться, грозя смертью тем, кто не сумеет разгадать тайну и назвать имя убийцы... Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.06.2013 00:29.
|
17.06.2013 00:52 Дата регистрации:
9 лет назад Посты: 1 972 | Спасибо, интересная информация. Не слышала о таком фильме. В интернете есть (причем на слово "Западня" гугл предложил в качестве продолжения именно "Ферма"). Посмотрю. Задачку выложила по просьбе некоторых участников, которые устали от бесплодного бодания с нашими чудиками. дважды два - не всегда 5
|
17.06.2013 00:57 Дата регистрации:
9 лет назад Посты: 109 | и не стыдно Вам Цитата
provincialka
Предлагаю вам решить логическую задачку из серии "старший - рыжий", но несколько усложненный вариант.
Встретились два математика, давно не видевших друг друга. Диалог при встрече:
– Как давно мы не виделись! Я слышал, у тебя большая семья?
– Да, трое детей. Младший – просто ангелочек! Кстати, произведение возрастов моих детей равно количеству лет, сколько мы не виделись.
– Этих сведений мне недостаточно, чтобы однозначно определить возраст твоих детей.
– Мой старший – огненно-рыжий.
– Теперь все ясно.
Сколько лет детям и сколько лет не виделись математики?
P.S. Математики учитывают только полное число лет детей, т.е. все возрасты детей считаем целыми числами.
такие задачи на ночь глядя публиковать ???  "Мой старший – огненно-рыжий" - вообще никаких мыслей нет по ограничению возраста.
|
17.06.2013 05:15 Дата регистрации:
9 лет назад Посты: 12 | ... Что-то недоговариваете. В условии всего-то сказано, что у детей разные возрасты. Математику этого хватило потому, что он знал, сколько лет они не виделись.
|
17.06.2013 05:20 Дата регистрации:
11 лет назад Посты: 780 | ... Цитата
provincialka
Предлагаю вам решить логическую задачку из серии "старший - рыжий", но несколько усложненный вариант.
Встретились два математика, давно не видевших друг друга. Диалог при встрече:
– Как давно мы не виделись! Я слышал, у тебя большая семья?
– Да, трое детей. Младший – просто ангелочек! Кстати, произведение возрастов моих детей равно количеству лет, сколько мы не виделись.
– Этих сведений мне недостаточно, чтобы однозначно определить возраст твоих детей.
– Мой старший – огненно-рыжий.
– Теперь все ясно.
Сколько лет детям и сколько лет не виделись математики?
P.S. Математики учитывают только полное число лет детей, т.е. все возрасты детей считаем целыми числами.
Как я понял, ключевыми словами являются "младший" и "старший" (указатели на попарно различные возрасты), а "огненно-рыжий" - отвлекающий маневр. Требуется натуральное число, которое единственным образом представляется в виде произведения трех попарно различных натуральных чисел и для которого существует натуральное число $n$ квадрат которого - делитель исходного числа, а частное исходного и $n^2$ меньше $n$ ("младший" не вносит однозначности). Так умеют лишь четвертые степени простых чисел (доказать легко), откуда и выходит $(1;\,2;\,8;\,16)$ или $(1;\,3;\,27;\,81)$ в случае людей. Разумеется пока нельзя доказать, что не существует где-то и когда-то расы неких огненно-рыжих, русско-говорящих, бессмертных, инопланетных христиан, представители которой именуются "математики", поэтому множество ответов $\{(1;\,p;\,p^3;\,p^4)|\,p-\mbox{простое число} и p>3\}$ нет причин отклонить Задача интересная. Помнится когда-то слышал похожую про сумму и произведение чисел, правда она чуть более сложная была. Благодарю Вас, госпожа Provincialka. P.S. Благодарю госпожу Shwedk-у за наводку на фильм. В следующие выходные обязательно постараюсь посмотреть. Фильмы о математиках действительно являются большой редкостью, я по крайней мере видел лишь два: доказательство (если кому-то интересно) и знаменитые "Игры разума"
|
17.06.2013 08:39 Дата регистрации:
9 лет назад Посты: 1 972 | согласна С anton25 , хотя решение с $p=3$ считаю нереальным greegoblin, а вы знаете более простую задачу: Произведение возрастов равно 36. А сумма - номере твоей квартиры. Не могу определить. Старший -рыжий А, тогда понятно. дважды два - не всегда 5
|
17.06.2013 10:00 Дата регистрации:
14 лет назад Посты: 3 635 | кино Цитата
Фильмы о математиках действительно являются большой редкостью, я по крайней мере видел лишь два: доказательство (если кому-то интересно) и знаменитые "Игры разума"
Есть еще старая советская короткометражка 'Математик и черт'.
|
17.06.2013 10:45 Дата регистрации:
9 лет назад Посты: 1 972 | заметьте, Во всех фильмах математические способности соседствуют с ненормальностью. Разве что в Математике и черте математик адекватный. С ума сходит чёрт. Здесь уже была тема о связи математики и сдвига по фазе. дважды два - не всегда 5
|
17.06.2013 10:56 Дата регистрации:
14 лет назад Посты: 3 635 | Не во всех Цитата
provincialka
Во всех фильмах математические способности соседствуют с ненормальностью. Разве что в Математике и черте математик адекватный. С ума сходит чёрт.
Здесь уже была тема о связи математики и сдвига по фазе.
Ну, уж не во всех! В фильме 'Уилл Хантинг (Good Will Hanting)' математик вполне здравомыслящий. И математик в фильме 'День независимости' лишь немного эксцентричен. Крайняя степень сумасшествия, конечно, в фильме $\pi$
|
17.06.2013 19:54 Дата регистрации:
9 лет назад Посты: 198 | Ещё одна задача о детях Цитата
provincialka
решение с $p=3$ считаю нереальным
Ну "раз пошла такая пьянка", то предлагаю свою задачу. Идея этой задачи в том, чтобы в условии чисел в явном виде почти не было, а в ответе вынь да положь единственно верное решение -- три натуральных числа. Итак, предлагаю вашему вниманию задачу о детях. ------------------------------------------------------------------------------------ В российской мастерской перерыв. Вася говорит Коле: - Слушай, а у меня трое детей. - Да, у тебя дети уже небось совершеннолетние. - Возможно, но не все. - А сколько же им лет? - Сумма их возрастов равна числу спичек в этом коробке, а произведение -- числу гвоздиков в этой банке. Старательно репу чесал Коля, возился со спичками и гвоздиками. И говорит: - Всё равно непонятно. - Пифагорова тройка из их возрастов не образуется. - Тогда понятно. Назовите возраст Васиных детей. Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.06.2013 19:55.
|
19.06.2013 02:35 Дата регистрации:
11 лет назад Посты: 780 | ... Цитата
provincialka
решение с $p=3$ считаю нереальным
Вы по-прежнему недооцениваете сельских жителей  . Цитата
yadryara
В российской мастерской перерыв. Вася говорит Коле:
- Слушай, а у меня трое детей.
- Да, у тебя дети уже небось совершеннолетние.
- Возможно, но не все.
- А сколько же им лет?
- Сумма их возрастов равна числу спичек в этом коробке, а произведение -- числу гвоздиков в этой банке.
Старательно репу чесал Коля, возился со спичками и гвоздиками. И говорит:
- Всё равно непонятно.
- Пифагорова тройка из их возрастов не образуется.
- Тогда понятно.
Назовите возраст Васиных детей.
Как я понял речь идет о нахождении таких $m,n$ (параметры пифагоровой тройки), что система $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=2m^2+2mn, \\ xyz=2mn(m^4-n^4).\\z\in[1;17] \end{array}$имеет единственное натуральное решение, отличное от пифагоровой тройки. Не знаю кто как, а я ничего умнее перебора по парам $(m;n)$ ( $m>n$) не придумал. Компьютер выдал единственный ответ $(13;\,15;\,32)$ (возрасты). В принципе, здесь возможен и ручной перебор. Например, в предположении $x,y\le50$ (даже сам мастер все-таки не на пенсии ) в самом тупом случае будет $2m^2+2mn<117$, $m(m+n)\le58$. Тогда $n<5$ и $m\in(n;\frac{116}{n+\sqrt{n^2+232}})$, откуда требуется перебрать 14 пар вида $(m;n)$, из которых подойдет только одна - $(5;1)$, которая как раз и соответствует тройке $(13;\,15;\,32)$. Для каждой пары пишется и анализируется соответствующая система (удобно последовательно подставлять $z=1,2,...,17$ и смотреть является ли дискриминант квадратом, не забывая исключать сами пифагоровы тройки если попадутся). На решение одной системы уходит где-то 5-10 мин., так что перебор завершится за 1-3 часа в зависимости от нервов, но лично у меня усидчивости не хватило (замерил только две системы (зато случайно выбранные)), тем более, что ответ мне был уже известен от ЭВМ в общем случае (без ограничений). Возможно здесь задумано что-то изящное, нет?
|
19.06.2013 03:27 Дата регистрации:
11 лет назад Посты: 780 | Задача Цитата
yadryara
Ну "раз пошла такая пьянка", то предлагаю свою задачу ...
Присоединюсь к "алкоголю", дабы не быть безучастным. У меня вот такая задача придумалась: Встретились два математика, давно не видевших друг друга. Диалог при встрече: – Как давно мы не виделись! Я слышал, у тебя большая семья? – Да, пятеро детей. Трое мальчиков и две девочки. А как поживают твои две дочки? – Все хорошо, но старшая - просто бестия! Думает, если она втрое старше младшей, то ей все позволено. А сколько лет твоим детям? – А ты отгадай. Вот, например, на днях я заметил, что произведение возрастов всех моих детей равно кубу суммы возрастов моих сыновей и, кстати, твоей младшей дочери больше лет чем двум моим сыновьям вместе взятым – Ну тут несколько вариантов – Хорошо, моя младшая дочь не старше твоей младшей, а моя старшая не старше твоей старшей – Аааа, теперь все ясно. Вопрос: Сколько лет трем сыновьям и двум дочерям первого математика и сколько лет двум дочерям второго математика (всего семь детей)? P.S. Дико извиняюсь перед Вами, уважаемая госпожа Provincialka, за небольшой плагиат Вашего текста и оккупацию Вашей темы. Если необходимо, то перенесу задачу в новую ветку Редактировалось 1 раз(а). Последний 19.06.2013 08:45.
|
19.06.2013 07:40 Дата регистрации:
9 лет назад Посты: 198 | И про изящность тоже Цитата
anton25
Цитата
provincialka
решение с $p=3$ считаю нереальным
Вы по-прежнему недооцениваете сельских жителей .
Наличие других решений(пусть и скорее теоретических) в задаче, предложенной Провинциалкой, несколько портит впечатление от задачи. Я постарался избежать такого недостатка и придумал свою задачу так, чтобы не было других решений даже для всяких там бессмертных Маклаудов. Единственность решения, при коротком безцифровом условии -- это ли не изящность? Цитата
anton25
Возможно здесь задумано что-то изящное, нет?
Если под чем-то изящным имеется в виду более короткий способ решения, то нет, не задумывалось. Решили с помощью компа -- ничего не имею против, всё равно Вы молодец. Важно, что убедились в единственности решения. Про Вашу новую задачу чуть позже. Спасибо.
|
19.06.2013 08:31 Дата регистрации:
9 лет назад Посты: 198 | Вопросы по условию Цитата
anton25
Встретились два математика, давно не видевших друг друга. Диалог при встрече:
Диалог обычно предполагает чередование высказываний собеседников. – (Фраза первого) – (Фраза второго) – (Фраза первого) – (Фраза второго) ... Такое построение позволяет сразу понять, кто что сказал. И не запутаться уже на этом этапе. Цитата
anton25
– Все хорошо, но старшая - просто бестия! Думает, если она втрое старше младшей, то ей все позволено.
– А сколько лет твоим детям?
Есть подозрение, что оба высказывания после "–" принадлежат одному и тому же малодетному собеседнику. Так ли это? Так же просьба уточнить, как вы понимаете смысл слов "втрое старше". Если одной 27, а другой 9, то она втрое старше. Здесь нет вопроса. Если одной 28, а другой 9, то она втрое старше? Если одной 29, а другой 9, то она втрое старше? ... Если одной 34, а другой 9, то она втрое старше? Если одной 35, а другой 9, то она втрое старше? Если одной 36, а другой 9, то она не втрое старше. Здесь нет вопроса. Чтобы избежать этих вопросов, достаточно было написать "ровно втрое старше". Если, конечно, это имелось в виду. Если другое, то формулировка более сложная. Других вопросов по условию пока нет. Цитата
anton25
P.S. Дико извиняюсь перед Вами, уважаемая госпожа Provincialka, за небольшой плагиат Вашего текста и оккупацию Вашей темы. Если необходимо, то перенесу задачу в новую ветку
А на мой взгляд -- происходит раскрутка темы. Вряд ли Провинциалке этот будет неприятно. Спасибо.
|
19.06.2013 09:06 Дата регистрации:
11 лет назад Посты: 780 | Ответы Цитата
yadryara
Цитата
anton25
– Все хорошо, но старшая - просто бестия! Думает, если она втрое старше младшей, то ей все позволено.
– А сколько лет твоим детям?
Есть подозрение, что оба высказывания после "–" принадлежат одному и тому же малодетному собеседнику. Так ли это?
Совершенно верно! Благодарю за наблюдение. Пост с условием отредактирован. Цитата
yadryara
Так же просьба уточнить, как вы понимаете смысл слов "втрое старше".
Если одной 27, а другой 9, то она втрое старше. Здесь нет вопроса.
Если одной 28, а другой 9, то она втрое старше?
Если одной 29, а другой 9, то она втрое старше?
...
Если одной 34, а другой 9, то она втрое старше?
Если одной 35, а другой 9, то она втрое старше?
Если одной 36, а другой 9, то она не втрое старше. Здесь нет вопроса.
Первый вариант, т.е. если младшей $n$ лет, то старшей $3\cdotn$ лет (на момент разговора разумеется). Иначе я бы написал "более/менее чем втрое" (была такая мысль, но для одного из детей возникала неоднозначность) Цитата
anton25
А на мой взгляд -- происходит раскрутка темы. Вряд ли Провинциалке этот будет неприятно.
Есть просто определенные принципы форума (отдельный вопрос - отдельная тема) которыми я пренебрег из-за похожести задач, но я тоже считаю, что в одной теме смотрится все гораздо интересней ведь все три задачи похожи. Благодарю за активность. Удачи
|
19.06.2013 09:57 Дата регистрации:
9 лет назад Посты: 198 | Подозреваю ошибки в условии Рискну утверждать, что Вашим условиям удовлетворяют бесконечное множество семёрок. Например: 0;0;0;0;1 и 1;3 0;0;0;0;1 и 2;6 0;0;0;0;1 и 3;9 ..................... 0;0;0;0;2 и 1;3 0;0;0;0;2 и 2;6 0;0;0;0;2 и 3;9 ..................... 0;0;0;0;3 и 1;3 0;0;0;0;3 и 2;6 0;0;0;0;3 и 3;9 ..................... 0;0;0;1;2 и 1;3 0;0;0;1;3 и 2;6 0;0;0;1;4 и 3;9 ..................... 1;1;1;1;27 и 9;27 1;1;1;1;27 и 10;30 1;1;1;1;27 и 11;33 ........................... 1;1;1;3;9 и 3;9 1;1;1;3;9 и 4;12 1;1;1;3;9 и 5;15 ....................... 1;1;2;1;32 и 11;33 1;1;2;1;32 и 12;36 1;1;2;1;32 и 13;39 .......................... ....................... 1;2;3;4;9 и 4;12 1;2;3;4;9 и 5;15 1;2;3;4;9 и 6;18 .......................
|
19.06.2013 10:33 Дата регистрации:
11 лет назад Посты: 780 | Ответ Цитата
yadryara
Рискну утверждать, что Вашим условиям удовлетворяют бесконечное множество семёрок.
Нет, ответ однозначный. Не подумал, что потребуется уточнить, но каждому ребенку в повести не $0$ лет. Не забывайте о главном: Цитата
автоцитата
– Ну тут несколько вариантов
– Хорошо, моя младшая дочь не старше твоей младшей, а моя старшая не старше твоей старшей
– Аааа, теперь все ясно.
P.S. На всякий случай: Исчисление идет в натуральных числах, т.е. если что-то больше/меньше чего-то, то оно больше/меньше на натуральное число Редактировалось 1 раз(а). Последний 19.06.2013 10:36.
|
19.06.2013 13:59 Дата регистрации:
9 лет назад Посты: 198 | По-прежнему нет единственного решения То есть нет единственной семёрки чисел, которая удовлетворяла бы всем условиям задачи. Возьму для примера две различные семёрки с маленькими числам и шаг за шагом проверю выполнение условия. а) 1;1;1;3;9 и 3;9 Цитата
anton25
– Да, пятеро детей. Трое мальчиков и две девочки. А как поживают твои две дочки?
Подходит к этому условию. Сначала указаны все возрасты детей многодетного отца(вначале все сыновья). Затем возрасты двух дочерей другого отца. Цитата
anton25
– Все хорошо, но старшая - просто бестия! Думает, если она втрое старше младшей, то ей все позволено. А сколько лет твоим детям?
Подходит и к этому условию. 9 в 3 раза больше 3-х. Цитата
anton25
– А ты отгадай. Вот, например, на днях я заметил, что произведение возрастов всех моих детей равно кубу суммы возрастов моих сыновей и, кстати, твоей младшей дочери больше лет чем двум моим сыновьям вместе взятым
Подходит и к этим двум условиям. 1*1*1*3*9 = (1+1+1)^3 = 27 и 3 > 1+1 Кстати, в условии не сказано, что речь идёт именно о кубе суммы возрастов _всех_ сыновей. Стало быть можно рассматривать и куб суммы возрастов двух сыновей и куб суммы трёх. Я пока рассматриваю куб суммы возрастов трёх сыновей. Можно ещё рассмотреть кубы трёх сумм возрастов двух сыновей: 1-го и 2-го, 1-го и 3-го, а также 2-го и 3-го. Так что количество подходящих семёрок может значительно возрасти. Цитата
anton25
– Ну тут несколько вариантов
Подходит. Два -- это тоже несколько. Второй возможный вариант для 5-ки детей многодетного отца. 1*1*1*1*27 = (1+1+1)^3 = 27 Цитата
anton25
– Хорошо, моя младшая дочь не старше твоей младшей, а моя старшая не старше твоей старшей
Подходит вариант "а", поскольку не подходит этот второй вариант, ибо 27 > 9. Цитата
anton25
– Аааа, теперь все ясно.
Ему ясно, что возрасты детей многодетного отца: 1;1;1;3;9 и записав вместе с ними возрасты своих дочерей можно получить семёрку "a": 1;1;1;3;9 и 3;9 Теперь рассмотрю вариант "б" б) 1;1;1;3;9 и 4;12 Цитата
anton25
– Да, пятеро детей. Трое мальчиков и две девочки. А как поживают твои две дочки?
Подходит к этому условию. Сначала указаны все возрасты детей многодетного отца(вначале все сыновья). Затем возрасты двух дочерей другого отца. Цитата
anton25
– Все хорошо, но старшая - просто бестия! Думает, если она втрое старше младшей, то ей все позволено. А сколько лет твоим детям?
Подходит и к этому условию. 12 в 3 раза больше 4-х. Цитата
anton25
– А ты отгадай. Вот, например, на днях я заметил, что произведение возрастов всех моих детей равно кубу суммы возрастов моих сыновей и, кстати, твоей младшей дочери больше лет чем двум моим сыновьям вместе взятым
Подходит и к этим двум условиям. 1*1*1*3*9 = (1+1+1)^3 = 27 и 4 > 1+1 Цитата
anton25
– Ну тут несколько вариантов
Подходит. Два -- это тоже несколько. Второй возможный вариант для 5-ки детей многодетного отца. 1*1*1*1*27 = (1+1+1)^3 = 27 Цитата
anton25
– Хорошо, моя младшая дочь не старше твоей младшей, а моя старшая не старше твоей старшей
Подходит вариант "б", поскольку не подходит этот второй вариант, ибо 27 > 9. Цитата
anton25
– Аааа, теперь все ясно.
Ему ясно, что возрасты детей многодетного отца: 1;1;1;3;9 и записав вместе с ними возрасты своих дочерей можно получить семёрку "б": 1;1;1;3;9 и 4;12 Продолжив аналогичные рассуждения можно получить и семёрку "в". 1;1;1;3;9 и 5;15 Подытожу. Вот только некоторые различные семёрки, на мой взгляд, подходящие под все условия задачи. а) 1;1;1;3;9 и 3;9 б) 1;1;1;3;9 и 4;12 в) 1;1;1;3;9 и 5;15 г) 1;1;1;3;9 и 6;18 д) 1;1;1;3;9 и 7;21 Рассуждения о других вариантах пока не привожу, ибо хотел бы услышать мнение автора. Спасибо. Редактировалось 1 раз(а). Последний 19.06.2013 15:52.
|
19.06.2013 15:12 Дата регистрации:
11 лет назад Посты: 780 | ... Цитата
yadryara
Подытожу. Вот только некоторые различные семёрки, на мой взгляд, подходящие по все условия задачи.
а) 1;1;1;3;9 и 3;9
б) 1;1;1;3;9 и 4;12
в) 1;1;1;3;9 и 5;15
г) 1;1;1;3;9 и 6;18
д) 1;1;1;3;9 и 7;21
В случаях б) - д) возраст дочерей второго математика не определяет однозначно возраст всех детей первого, т.к. помимо приведенного Вами варианта возможен также и $(1;1;2;4;8)$. Случай а) - и есть ответ к задаче. Полное доказательство приведу вечером, сейчас нужно уехать. P.S. "куб суммы возрастов сыновей" конечно же подразумевает всех сыновей, и предвидя (по крайней мере на всякий случай) "младшей дочери больше лет чем двум моим сыновьям вместе взятым" - естественно трактуется как не любым двум, а хотя бы каким-то двум конкретным
|
