Задачка без чисел (олимпиадная)

Автор темы provincialka 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеМатематики, программисты, репетиторов (платформа SapioX)28.01.2021 12:47
ОбъявлениеПремия для молодых математиков Образовательного фонда «Талант и успех»21.06.2021 00:48
16.06.2013 23:45
Задачка без чисел (олимпиадная)
Предлагаю вам решить логическую задачку из серии "старший - рыжий", но несколько усложненный вариант.

Встретились два математика, давно не видевших друг друга. Диалог при встрече:
– Как давно мы не виделись! Я слышал, у тебя большая семья?
– Да, трое детей. Младший – просто ангелочек! Кстати, произведение возрастов моих детей равно количеству лет, сколько мы не виделись.
– Этих сведений мне недостаточно, чтобы однозначно определить возраст твоих детей.
– Мой старший – огненно-рыжий.
– Теперь все ясно.
Сколько лет детям и сколько лет не виделись математики?

P.S. Математики учитывают только полное число лет детей, т.е. все возрасты детей считаем целыми числами.

дважды два - не всегда 5
17.06.2013 00:25
задачка
Эта старая задача органически вошла и помогла сюжету завлекательного испанского фильма 'Комната Ферма', одного из немногочисленныхх существующих фильмов о математиках. Я не знаю, имеется ли русскоязычная версия этого фильма,
но с английскими титрами у меня есть.
Если есть интерес, могу куда-нибудь выложить.
Апд. Фильмо по-русски есть. Там название - Западня Ферма

Содержание

Четверо математиков не подозревали о существовании друг друга, пока таинственный незнакомец не собрал их вместе для решения одной трудной головоломки. Хозяин заброшенного дома назвался Ферма, а своим гостям дал имена самых известных в истории математиков. Им предстоит провести два дня в четырех стенах, которые неожиданно начнут медленно сдвигаться, грозя смертью тем, кто не сумеет разгадать тайну и назвать имя убийцы...



Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.06.2013 00:29.
17.06.2013 00:52
Спасибо, интересная информация. Не слышала о таком фильме.
В интернете есть (причем на слово "Западня" гугл предложил в качестве продолжения именно "Ферма"). Посмотрю.

Задачку выложила по просьбе некоторых участников, которые устали от бесплодного бодания с нашими чудиками.

дважды два - не всегда 5
17.06.2013 00:57
и не стыдно Вам
Цитата
provincialka
Предлагаю вам решить логическую задачку из серии "старший - рыжий", но несколько усложненный вариант.

Встретились два математика, давно не видевших друг друга. Диалог при встрече:
– Как давно мы не виделись! Я слышал, у тебя большая семья?
– Да, трое детей. Младший – просто ангелочек! Кстати, произведение возрастов моих детей равно количеству лет, сколько мы не виделись.
– Этих сведений мне недостаточно, чтобы однозначно определить возраст твоих детей.
– Мой старший – огненно-рыжий.
– Теперь все ясно.
Сколько лет детям и сколько лет не виделись математики?

P.S. Математики учитывают только полное число лет детей, т.е. все возрасты детей считаем целыми числами.


такие задачи на ночь глядя публиковать ??? biggrin
"Мой старший – огненно-рыжий" - вообще никаких мыслей нет по ограничению возраста.
17.06.2013 05:15
...
Что-то недоговариваете. В условии всего-то сказано, что у детей разные возрасты. Математику этого хватило потому, что он знал, сколько лет они не виделись.
17.06.2013 05:20
...
Цитата
provincialka
Предлагаю вам решить логическую задачку из серии "старший - рыжий", но несколько усложненный вариант.

Встретились два математика, давно не видевших друг друга. Диалог при встрече:
– Как давно мы не виделись! Я слышал, у тебя большая семья?
– Да, трое детей. Младший – просто ангелочек! Кстати, произведение возрастов моих детей равно количеству лет, сколько мы не виделись.
– Этих сведений мне недостаточно, чтобы однозначно определить возраст твоих детей.
– Мой старший – огненно-рыжий.
– Теперь все ясно.
Сколько лет детям и сколько лет не виделись математики?

P.S. Математики учитывают только полное число лет детей, т.е. все возрасты детей считаем целыми числами.
Как я понял, ключевыми словами являются "младший" и "старший" (указатели на попарно различные возрасты), а "огненно-рыжий" - отвлекающий маневр. Требуется натуральное число, которое единственным образом представляется в виде произведения трех попарно различных натуральных чисел и для которого существует натуральное число $n$ квадрат которого - делитель исходного числа, а частное исходного и $n^2$ меньше $n$ ("младший" не вносит однозначности). Так умеют лишь четвертые степени простых чисел (доказать легко), откуда и выходит $(1;\,2;\,8;\,16)$ или $(1;\,3;\,27;\,81)$ в случае людей. Разумеется пока нельзя доказать, что не существует где-то и когда-то расы неких огненно-рыжих, русско-говорящих, бессмертных, инопланетных христиан, представители которой именуются "математики", поэтому множество ответов $\{(1;\,p;\,p^3;\,p^4)|\,p-\mbox{простое число} и p>3\}$ нет причин отклонить biggrin
Задача интересная. Помнится когда-то слышал похожую про сумму и произведение чисел, правда она чуть более сложная была. Благодарю Вас, госпожа Provincialka.

P.S. Благодарю госпожу Shwedk-у за наводку на фильм. В следующие выходные обязательно постараюсь посмотреть. Фильмы о математиках действительно являются большой редкостью, я по крайней мере видел лишь два: доказательство (если кому-то интересно) и знаменитые "Игры разума"
17.06.2013 08:39
согласна
С anton25 , хотя решение с $p=3$ считаю нереальным
greegoblin, а вы знаете более простую задачу:
Произведение возрастов равно 36. А сумма - номере твоей квартиры.
Не могу определить.
Старший -рыжий
А, тогда понятно.

дважды два - не всегда 5
17.06.2013 10:00
кино
Цитата

Фильмы о математиках действительно являются большой редкостью, я по крайней мере видел лишь два: доказательство (если кому-то интересно) и знаменитые "Игры разума"
Есть еще старая советская короткометражка 'Математик и черт'.
17.06.2013 10:45
заметьте,
Во всех фильмах математические способности соседствуют с ненормальностью. Разве что в Математике и черте математик адекватный. С ума сходит чёрт.

Здесь уже была тема о связи математики и сдвига по фазе.

дважды два - не всегда 5
17.06.2013 10:56
Не во всех
Цитата
provincialka
Во всех фильмах математические способности соседствуют с ненормальностью. Разве что в Математике и черте математик адекватный. С ума сходит чёрт.

Здесь уже была тема о связи математики и сдвига по фазе.
Ну, уж не во всех!
В фильме 'Уилл Хантинг (Good Will Hanting)'
математик вполне здравомыслящий.
И математик в фильме 'День независимости' лишь немного эксцентричен.
Крайняя степень сумасшествия, конечно, в фильме $\pi$
17.06.2013 19:54
Ещё одна задача о детях
Цитата
provincialka
решение с $p=3$ считаю нереальным

Ну "раз пошла такая пьянка", то предлагаю свою задачу.

Идея этой задачи в том, чтобы в условии чисел в явном виде почти не было, а в ответе вынь да положь единственно верное решение -- три натуральных числа.

Итак, предлагаю вашему вниманию задачу о детях.

------------------------------------------------------------------------------------
В российской мастерской перерыв. Вася говорит Коле:

- Слушай, а у меня трое детей.
- Да, у тебя дети уже небось совершеннолетние.
- Возможно, но не все.
- А сколько же им лет?
- Сумма их возрастов равна числу спичек в этом коробке, а произведение -- числу гвоздиков в этой банке.

Старательно репу чесал Коля, возился со спичками и гвоздиками. И говорит:

- Всё равно непонятно.
- Пифагорова тройка из их возрастов не образуется.
- Тогда понятно.

Назовите возраст Васиных детей.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.06.2013 19:55.
19.06.2013 02:35
...
Цитата
provincialka
решение с $p=3$ считаю нереальным
Вы по-прежнему недооцениваете сельских жителей smile.

Цитата
yadryara
В российской мастерской перерыв. Вася говорит Коле:

- Слушай, а у меня трое детей.
- Да, у тебя дети уже небось совершеннолетние.
- Возможно, но не все.
- А сколько же им лет?
- Сумма их возрастов равна числу спичек в этом коробке, а произведение -- числу гвоздиков в этой банке.

Старательно репу чесал Коля, возился со спичками и гвоздиками. И говорит:

- Всё равно непонятно.
- Пифагорова тройка из их возрастов не образуется.
- Тогда понятно.

Назовите возраст Васиных детей.
Как я понял речь идет о нахождении таких $m,n$ (параметры пифагоровой тройки), что система
$\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=2m^2+2mn, \\ xyz=2mn(m^4-n^4).\\z\in[1;17] \end{array}$
имеет единственное натуральное решение, отличное от пифагоровой тройки. Не знаю кто как, а я ничего умнее перебора по парам $(m;n)$ ($m>n$) не придумал. Компьютер выдал единственный ответ $(13;\,15;\,32)$ (возрасты). В принципе, здесь возможен и ручной перебор. Например, в предположении $x,y\le50$ (даже сам мастер все-таки не на пенсии smile) в самом тупом случае будет $2m^2+2mn<117$, $m(m+n)\le58$. Тогда $n<5$ и $m\in(n;\frac{116}{n+\sqrt{n^2+232}})$, откуда требуется перебрать 14 пар вида $(m;n)$, из которых подойдет только одна - $(5;1)$, которая как раз и соответствует тройке $(13;\,15;\,32)$. Для каждой пары пишется и анализируется соответствующая система (удобно последовательно подставлять $z=1,2,...,17$ и смотреть является ли дискриминант квадратом, не забывая исключать сами пифагоровы тройки если попадутся). На решение одной системы уходит где-то 5-10 мин., так что перебор завершится за 1-3 часа в зависимости от нервов, но лично у меня усидчивости не хватило (замерил только две системы (зато случайно выбранные)), тем более, что ответ мне был уже известен от ЭВМ в общем случае (без ограничений). Возможно здесь задумано что-то изящное, нет?
19.06.2013 03:27
Задача
Цитата
yadryara
Ну "раз пошла такая пьянка", то предлагаю свою задачу ...
Присоединюсь к "алкоголю", дабы не быть безучастным. У меня вот такая задача придумалась:
Встретились два математика, давно не видевших друг друга. Диалог при встрече:
– Как давно мы не виделись! Я слышал, у тебя большая семья?
– Да, пятеро детей. Трое мальчиков и две девочки. А как поживают твои две дочки?
– Все хорошо, но старшая - просто бестия! Думает, если она втрое старше младшей, то ей все позволено. А сколько лет твоим детям?
– А ты отгадай. Вот, например, на днях я заметил, что произведение возрастов всех моих детей равно кубу суммы возрастов моих сыновей и, кстати, твоей младшей дочери больше лет чем двум моим сыновьям вместе взятым
– Ну тут несколько вариантов
– Хорошо, моя младшая дочь не старше твоей младшей, а моя старшая не старше твоей старшей
– Аааа, теперь все ясно.

Вопрос: Сколько лет трем сыновьям и двум дочерям первого математика и сколько лет двум дочерям второго математика (всего семь детей)?

P.S. Дико извиняюсь перед Вами, уважаемая госпожа Provincialka, за небольшой плагиат Вашего текста и оккупацию Вашей темы. Если необходимо, то перенесу задачу в новую ветку



Редактировалось 1 раз(а). Последний 19.06.2013 08:45.
19.06.2013 07:40
И про изящность тоже
Цитата
anton25
Цитата
provincialka
решение с $p=3$ считаю нереальным
Вы по-прежнему недооцениваете сельских жителей smile.

Наличие других решений(пусть и скорее теоретических) в задаче, предложенной Провинциалкой, несколько портит впечатление от задачи.

Я постарался избежать такого недостатка и придумал свою задачу так, чтобы не было других решений даже для всяких там бессмертных Маклаудов.

Единственность решения, при коротком безцифровом условии -- это ли не изящность?

Цитата
anton25
Возможно здесь задумано что-то изящное, нет?

Если под чем-то изящным имеется в виду более короткий способ решения, то нет, не задумывалось. Решили с помощью компа -- ничего не имею против, всё равно Вы молодец. Важно, что убедились в единственности решения.

Про Вашу новую задачу чуть позже. Спасибо.
19.06.2013 08:31
Вопросы по условию
Цитата
anton25
Встретились два математика, давно не видевших друг друга. Диалог при встрече:

Диалог обычно предполагает чередование высказываний собеседников.

– (Фраза первого)
– (Фраза второго)
– (Фраза первого)
– (Фраза второго)
...

Такое построение позволяет сразу понять, кто что сказал. И не запутаться уже на этом этапе.

Цитата
anton25
– Все хорошо, но старшая - просто бестия! Думает, если она втрое старше младшей, то ей все позволено.
– А сколько лет твоим детям?

Есть подозрение, что оба высказывания после "–" принадлежат одному и тому же малодетному собеседнику. Так ли это?

Так же просьба уточнить, как вы понимаете смысл слов "втрое старше".

Если одной 27, а другой 9, то она втрое старше. Здесь нет вопроса.
Если одной 28, а другой 9, то она втрое старше?
Если одной 29, а другой 9, то она втрое старше?
...
Если одной 34, а другой 9, то она втрое старше?
Если одной 35, а другой 9, то она втрое старше?
Если одной 36, а другой 9, то она не втрое старше. Здесь нет вопроса.

Чтобы избежать этих вопросов, достаточно было написать "ровно втрое старше". Если, конечно, это имелось в виду. Если другое, то формулировка более сложная.

Других вопросов по условию пока нет.

Цитата
anton25
P.S. Дико извиняюсь перед Вами, уважаемая госпожа Provincialka, за небольшой плагиат Вашего текста и оккупацию Вашей темы. Если необходимо, то перенесу задачу в новую ветку

А на мой взгляд -- происходит раскрутка темы. Вряд ли Провинциалке этот будет неприятно.

Спасибо.
19.06.2013 09:06
Ответы
Цитата
yadryara
Цитата
anton25
– Все хорошо, но старшая - просто бестия! Думает, если она втрое старше младшей, то ей все позволено.
– А сколько лет твоим детям?

Есть подозрение, что оба высказывания после "–" принадлежат одному и тому же малодетному собеседнику. Так ли это?
Совершенно верно! Благодарю за наблюдение. Пост с условием отредактирован.
Цитата
yadryara
Так же просьба уточнить, как вы понимаете смысл слов "втрое старше".

Если одной 27, а другой 9, то она втрое старше. Здесь нет вопроса.
Если одной 28, а другой 9, то она втрое старше?
Если одной 29, а другой 9, то она втрое старше?
...
Если одной 34, а другой 9, то она втрое старше?
Если одной 35, а другой 9, то она втрое старше?
Если одной 36, а другой 9, то она не втрое старше. Здесь нет вопроса.
Первый вариант, т.е. если младшей $n$ лет, то старшей $3\cdotn$ лет (на момент разговора разумеется). Иначе я бы написал "более/менее чем втрое" (была такая мысль, но для одного из детей возникала неоднозначность)

Цитата
anton25
А на мой взгляд -- происходит раскрутка темы. Вряд ли Провинциалке этот будет неприятно.
Есть просто определенные принципы форума (отдельный вопрос - отдельная тема) которыми я пренебрег из-за похожести задач, но я тоже считаю, что в одной теме смотрится все гораздо интересней ведь все три задачи похожи.
Благодарю за активность. Удачи
19.06.2013 09:57
Подозреваю ошибки в условии
Рискну утверждать, что Вашим условиям удовлетворяют бесконечное множество семёрок. Например:

0;0;0;0;1 и 1;3

0;0;0;0;1 и 2;6

0;0;0;0;1 и 3;9
.....................


0;0;0;0;2 и 1;3

0;0;0;0;2 и 2;6

0;0;0;0;2 и 3;9
.....................


0;0;0;0;3 и 1;3

0;0;0;0;3 и 2;6

0;0;0;0;3 и 3;9
.....................


0;0;0;1;2 и 1;3

0;0;0;1;3 и 2;6

0;0;0;1;4 и 3;9
.....................




1;1;1;1;27 и 9;27

1;1;1;1;27 и 10;30

1;1;1;1;27 и 11;33
...........................


1;1;1;3;9 и 3;9

1;1;1;3;9 и 4;12

1;1;1;3;9 и 5;15
.......................


1;1;2;1;32 и 11;33

1;1;2;1;32 и 12;36

1;1;2;1;32 и 13;39
..........................


.......................

1;2;3;4;9 и 4;12

1;2;3;4;9 и 5;15

1;2;3;4;9 и 6;18
.......................
19.06.2013 10:33
Ответ
Цитата
yadryara
Рискну утверждать, что Вашим условиям удовлетворяют бесконечное множество семёрок.
Нет, ответ однозначный. Не подумал, что потребуется уточнить, но каждому ребенку в повести не $0$ лет. Не забывайте о главном:
Цитата
автоцитата
– Ну тут несколько вариантов
– Хорошо, моя младшая дочь не старше твоей младшей, а моя старшая не старше твоей старшей
– Аааа, теперь все ясно.

P.S. На всякий случай: Исчисление идет в натуральных числах, т.е. если что-то больше/меньше чего-то, то оно больше/меньше на натуральное число



Редактировалось 1 раз(а). Последний 19.06.2013 10:36.
19.06.2013 13:59
По-прежнему нет единственного решения
То есть нет единственной семёрки чисел, которая удовлетворяла бы всем условиям задачи.

Возьму для примера две различные семёрки с маленькими числам и шаг за шагом проверю выполнение условия.


а) 1;1;1;3;9 и 3;9

Цитата
anton25

– Да, пятеро детей. Трое мальчиков и две девочки. А как поживают твои две дочки?

Подходит к этому условию. Сначала указаны все возрасты детей многодетного отца(вначале все сыновья). Затем возрасты двух дочерей другого отца.


Цитата
anton25

– Все хорошо, но старшая - просто бестия! Думает, если она втрое старше младшей, то ей все позволено. А сколько лет твоим детям?

Подходит и к этому условию. 9 в 3 раза больше 3-х.


Цитата
anton25

– А ты отгадай. Вот, например, на днях я заметил, что произведение возрастов всех моих детей равно кубу суммы возрастов моих сыновей и, кстати, твоей младшей дочери больше лет чем двум моим сыновьям вместе взятым

Подходит и к этим двум условиям.

1*1*1*3*9 = (1+1+1)^3 = 27

и

3 > 1+1

Кстати, в условии не сказано, что речь идёт именно о кубе суммы возрастов _всех_ сыновей. Стало быть можно рассматривать и куб суммы возрастов двух сыновей и куб суммы трёх. Я пока рассматриваю куб суммы возрастов трёх сыновей. Можно ещё рассмотреть кубы трёх сумм возрастов двух сыновей: 1-го и 2-го, 1-го и 3-го, а также 2-го и 3-го. Так что количество подходящих семёрок может значительно возрасти.

Цитата
anton25

– Ну тут несколько вариантов

Подходит. Два -- это тоже несколько. Второй возможный вариант для 5-ки детей многодетного отца.

1*1*1*1*27 = (1+1+1)^3 = 27


Цитата
anton25

– Хорошо, моя младшая дочь не старше твоей младшей, а моя старшая не старше твоей старшей

Подходит вариант "а", поскольку не подходит этот второй вариант, ибо 27 > 9.


Цитата
anton25

– Аааа, теперь все ясно.

Ему ясно, что возрасты детей многодетного отца:

1;1;1;3;9

и записав вместе с ними возрасты своих дочерей можно получить семёрку "a":

1;1;1;3;9 и 3;9


Теперь рассмотрю вариант "б"

б) 1;1;1;3;9 и 4;12

Цитата
anton25

– Да, пятеро детей. Трое мальчиков и две девочки. А как поживают твои две дочки?

Подходит к этому условию. Сначала указаны все возрасты детей многодетного отца(вначале все сыновья). Затем возрасты двух дочерей другого отца.


Цитата
anton25

– Все хорошо, но старшая - просто бестия! Думает, если она втрое старше младшей, то ей все позволено. А сколько лет твоим детям?

Подходит и к этому условию. 12 в 3 раза больше 4-х.


Цитата
anton25

– А ты отгадай. Вот, например, на днях я заметил, что произведение возрастов всех моих детей равно кубу суммы возрастов моих сыновей и, кстати, твоей младшей дочери больше лет чем двум моим сыновьям вместе взятым

Подходит и к этим двум условиям.

1*1*1*3*9 = (1+1+1)^3 = 27

и

4 > 1+1

Цитата
anton25

– Ну тут несколько вариантов

Подходит. Два -- это тоже несколько. Второй возможный вариант для 5-ки детей многодетного отца.

1*1*1*1*27 = (1+1+1)^3 = 27


Цитата
anton25

– Хорошо, моя младшая дочь не старше твоей младшей, а моя старшая не старше твоей старшей

Подходит вариант "б", поскольку не подходит этот второй вариант, ибо 27 > 9.


Цитата
anton25

– Аааа, теперь все ясно.

Ему ясно, что возрасты детей многодетного отца:

1;1;1;3;9

и записав вместе с ними возрасты своих дочерей можно получить семёрку "б":

1;1;1;3;9 и 4;12

Продолжив аналогичные рассуждения можно получить и семёрку "в".

1;1;1;3;9 и 5;15

Подытожу. Вот только некоторые различные семёрки, на мой взгляд, подходящие под все условия задачи.

а) 1;1;1;3;9 и 3;9
б) 1;1;1;3;9 и 4;12
в) 1;1;1;3;9 и 5;15
г) 1;1;1;3;9 и 6;18
д) 1;1;1;3;9 и 7;21

Рассуждения о других вариантах пока не привожу, ибо хотел бы услышать мнение автора.

Спасибо.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 19.06.2013 15:52.
19.06.2013 15:12
...
Цитата
yadryara
Подытожу. Вот только некоторые различные семёрки, на мой взгляд, подходящие по все условия задачи.

а) 1;1;1;3;9 и 3;9
б) 1;1;1;3;9 и 4;12
в) 1;1;1;3;9 и 5;15
г) 1;1;1;3;9 и 6;18
д) 1;1;1;3;9 и 7;21

В случаях б) - д) возраст дочерей второго математика не определяет однозначно возраст всех детей первого, т.к. помимо приведенного Вами варианта возможен также и $(1;1;2;4;8)$. Случай а) - и есть ответ к задаче. Полное доказательство приведу вечером, сейчас нужно уехать.

P.S. "куб суммы возрастов сыновей" конечно же подразумевает всех сыновей, и предвидя (по крайней мере на всякий случай) "младшей дочери больше лет чем двум моим сыновьям вместе взятым" - естественно трактуется как не любым двум, а хотя бы каким-то двум конкретным
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти