о понимании анализа

Автор темы Salmon 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
28.03.2006 03:34
о понимании анализа
Здравствуйте, хотел бы задать один важный для меня вопрос. Вроде не первый год занимаюсь анализом, сессию сдал неплохо, с задачами особых проблем не возникало, но внутренне складывается ощущение что я ни черта не понимаю. Прежде всего это касается логики в доказательствах основных теорем(Вейерштрасса, Ролля, Лагранжа). Везде и всюду полагается существование некоего числа(точной верхней грани, предела), после чего для этих "существующих" чисел устанавливаются некоторые соотношения, как правило с помощью метода от противного. Но для меня эти теоремы выглядят как формальный набор значков, вроде "на отрезке существует точка с, в которой производная равна 0 но производная везде равна A != 0, значит f(a)=f(b)..." как это она существует если ее не существует, и вообще как я могу говорить о существовании чего либо если я не могу увидеть эту точку? Все это выглядит как магия - сказали "существует" и теперь можно работать с этим как будто мы реально видим, что, скажем в точке 1 производная действительно равна 0 (да а потом еще получим что точки 1 существовать не может) Так же и с предельными точками - существует где-то(совершенно не понятно где), а затем - от противного в одну строчку - конечно на компакте, ведь иначе - противоречие... Неужели это настолько всем очевидно и мне одному кажется странным и непонятным!? Все, кому я пытаюсь объяснить, что именно вызывает у меня чувство непонимания удивленно отвечают что-нибудь вроде "ну да ето же просто - открой Фихтенгольца". Может кто-то понимает, о чем я говорю?
28.03.2006 12:10
Если я правильно понял,
то Вам следует открыть последнюю главу "Теории алгорифмов" А.А.Маркова и Н.М.Нагорного, или учебник "Лекции по конструктивному математическому анализу" Б.А.Кушнера. Найдёте там огромный букет контрпримеров к перечисленным Вами "теоремам".

С уважением,
Гастрит

28.03.2006 19:04
В конкурсе "как отбить любое желание заняться математикой"
Гастрит победил досрочно за явным преимуществом. :-)

28.03.2006 20:00
а нельзя ли...
из этого потока сознания выделить какой-то ясный вопрос, желательно один?

Wep, присоединяюсь :)
28.03.2006 21:09
конечно, можно
Вопрос в понимании термина "существует" и, как следствие, методов работы с "существующими" объектами. Например, я понимаю что значит: для любых рациональных чисел a и b!=0 СУЩЕСТВУЕТ число a/b. Я четко вижу его, несмотря на то, что вообще говоря, пар (a,b) бесконечно. С числом с=a/b теперь можно работать и доказать, к примеру, что с!=ab если b!=1 и тд... Но то _существование_, которое используется, к примеру, для доказательства компактности окружности на декартовой плоскости не имеет, на мой взгляд, никакого отношения к реальному существованию, такому как в предыдущем примере. Однако работают с этими, якобы существующими, предельными точками точно такими же методами, доказывая от противного для них какие-то свойства(что точка неприменно лежит на окружности и тд.) Это вообще нелогично! Чтоб утверждать, что точка лежит на окружности я должен ее явно_увидеть на окружности... а тут без этого все получается - волшебство?! Ну и подобных примеров игры с символом существования можно еще сотню привести. А вопрос в том, чтобы услышать мнения тех людей, которые в свое время так же задумывались: "а чем же мы тут все все-таки занимаемся???"
28.03.2006 23:22
это жалобы, а не вопрос!
Тогда я задам вопросы.
1) Согласны ли Вы с тем, что:
Если утверждение о том, что все натуральные числа обладают некоторым свойством, придено к противоречию, то тем самым доказано, что существует натуральное число, этим свойством не обладающее?
2) то же про действительные числа
3) Согласны ли Вы с тем, что у любого ограниченного сверху множества действительных чисел есть точная верхняя грань?

Результаты:
если Вы не согласны уже с (1), то Вы скорее всего интуиционист (здорово! давно хотел подивиться на живого интуициониста... ).
если Вы не согласны с (2), то Вы - конструктивист. Составите компанию Гастриту.
если Вы согласны с (2), но не согласны с (3), то наверное, достаточно почитать конструкцию действительного числа и все станет понятно.

В любом случае вся упоминаемая Вами математика строится на классической логике предикатов первого порядка и теории множеств ZFC. Теоремы истинны вне зависимости от того, видите Вы их доказательство или нет. Следовательно, рано или поздно Вы либо порвете с классической логикой и теорией множеств (вот как Гастрит), либо признаете истинность всех теорем (как все).
28.03.2006 23:30
2Salmon
2Salmon: Вот представь себе, что ты увидел гигантский след на земле. Это означает, что где-то есть, существует Кинг-Конг :) И тебе вовсе необязательно его увидеть, чтобы узнать, что он есть.
2alih: А кстати что такое ZFC?
29.03.2006 00:26
Кажется,
различие между конструктивизмом и интуиционизмом alih описал не совсем верно.

29.03.2006 08:46
2Echo-off
2Echo-off: ZFC - это теория множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора. (Наберите в Google "define:ZFC" и получите гораздо более подробный ответ).

Кажется, свой наезд sonte описал не совсем подробно.
29.03.2006 12:00
А Гастрит и не порвал вовсе,
он типичный двурушник :-)
29.03.2006 12:16
мое вИдение анализа
http://algebra21.narod.ru/in.zip

это конечно далеко не весь анализ, но на такой основе его можно построить полностью, уверен в этом
29.03.2006 14:28
Это опять-таки случай так называемого вранья
И оно мне надоело. В том, что я порвал с классической математикой, alih совершенно прав. Вам же предлагается найти в любой из моих публикаций утверждение, существенно апеллирующее к теоретико-множественным представлениям. Если Вы такового не находите - Вы трепло, не готовое отвечать за свои слова. Если "находите", а я Вам показываю, что на самом деле зависимости нет (просто лично Вы привыкли считать, что она имеется) - Вы тоже трепло, причём безграмотное.

29.03.2006 14:53
это проповедь, а не ответ!
sonte прав - не в курсе Вы относительно различий между интуиционизмом и конструктивной математикой cry

Цитата

alih писал(а) :
Тогда я задам вопросы.
1) Согласны ли Вы с тем, что:
Если утверждение о том, что все натуральные числа обладают некоторым свойством, придено к противоречию, то тем самым доказано, что существует натуральное число, этим свойством не обладающее?

С этим и интуиционисты, и конструктивисты одинаково не согласны.

Цитата

2) то же про действительные числа

Кстати - Вы знаете, что такое "действительное число" с точки зрения интуиционизма и конструктивного направления? Ведь не знаете smile Ибо как раз тут и заключено одно из радикальных отличий между интуиционизмом, конструктивизмом и "классикой".

А вот это главное:

Цитата

В любом случае вся упоминаемая Вами математика строится на классической логике предикатов первого порядка и теории множеств ZFC. Теоремы истинны вне зависимости от того, видите Вы их доказательство или нет.

Три ха-ха! Это кто Вам сказал, что выводимые в ZF теоремы истинны? Давно ли у ZF появилась семантика, а? А коль скоро семантики (т.е. смысла) у ZF нет, то выводимые в ней теоремы именно выводимы - но уж никак не истинны!

В связи с этим смею напомнить Вам две вещи:

1) Никто (кроме Есенина-Вольпина и Кузичева, разумеется razz) не даст Вам гарантии, что в ZF вообще имеется хотя бы одно невыводимое предложение. Ибо непротиворечивость ZF - вопрос открытый.

2) Если непротиворечивость ZF и будет установлена, то она будет установлена посредством содержательных (а не формализованных в самой ZF!) рассуждений о выводах. Формализовать эти рассуждения в самой ZF вообще не удастся - Гёдель свидетель.

С уважением,
Гастрит

29.03.2006 15:00
Слабовато :)
Цитата

Echo-off писал(а) :
2Salmon: Вот представь себе, что ты увидел гигантский след на земле. Это означает, что где-то есть, существует Кинг-Конг :) И тебе вовсе необязательно его увидеть, чтобы узнать, что он есть.

Вообще-то гораздо проще предположить, что Кинг-Конга таки не существует - просто где-то за углом сидит Джексон со съёмочной группой razz

С уважением,
Гастрит

29.03.2006 16:00
Тема неясна.
Сначала по существу:

Цитата

Гастрит писал(а) :
... существенно апеллирующее к теоретико-множественным представлениям...


Слово "существенно" есть очень интересное в таком контексте (речь все-таки о математике, о публикациях в реферируемых журналах). А что такое "несущественно апеллирующее"? Употребление общепринятых обозначений типа $L_2(R)$ с фигой в кармане? Я уж не говорю об объектах типа лестницы Кантора (или что там у Вас в качестве подходящих примеров? я здесь готов признать, что плохо помню класс плотностей из Вашего доклада, который слушал; для моей иронии L_2 хватает).

Так вот, дорогой Гастрит, легкая ирония по поводу таких вот "несущественных апелляций", которую я написал, уж точно можно понять, и уж точно можно отреагировать адекватно.

А для человека, регулярно делающего на форуме в мой адрес странные намеки, Ваша реакция неадекватна. И поскольку здесь явно прозвучал безусловный факт личного знакомства, то я так и восприму. При личной встрече кое-что уточню в отношении упомянутых странных намеков и тогда же и вполне проясню содержание нашего знакомства.

29.03.2006 16:24
Попробуем разобраться
Спасибо за вопросы, которые Вы здесь обрисовали. Попытаюсь сформулировать с чем бы я мог согласиться, а с чем нет. Рассмотрим такой пример: имеется множество А состаящее из 25 клеток(квадрат 5х5 например), в нем есть подмножество В из 9 клеток(квадрат 3х3). Требуется доказать, что для любой бесконечной последовательности крестиков(крестик распологается в одной из клеток), целиком расположенной в B существует клетка сгущения(тоесть клетка, в которой находится бесконечно крестиков из последовательности), расположенная в мн-ве B. Рассмотрим 2 доказательства этого факта:

1) рассмотрим мн-во В, в нем конечное число клеток(9), если бы в каждой клетке находилось конечное число крестиков из нашей последовательности, то и и вся последовательность была бы конечной -> противоречие -> существование доказано

2) рассмотрим мн-во A, включающее в себя В и докажем существование искомой клетки по схеме 1) уже для мн-ва A, а затем рассуждаем так: пусть искомая клетка х находится в A\B -> противоречие, т.к. все елементы последовательности по условию находятся в В -> х пренадлежит B

я бы сказал, что согласен с доказательством 1), но не с 2). доказательство типа 2) можно принять для данной модели лишь только потому, что ему всегда будет соответствовать доказательство типа 1), но само по себе оно бессмысленно(как мне кажется). Уже при попытке рассмотрть не дискретные клетки, а, скажем окружность на действительной плоскости, такое соответствие явно не проглядывается.

аксиома о точной верхней грани, которая неявно присутствует почти во всех классических теоремах - отдельная песня. может это именно из-за нее теряется возможность всегда перейти от 2) к 1) ???
29.03.2006 16:48
Тогда зачем было её поднимать?
Цитата

wep писал(а) :
Сначала по существу:
А что такое "несущественно апеллирующее"? Употребление общепринятых обозначений типа $L_2(R)$ с фигой в кармане?

Не с фигой в кармане, а с пониманием, что на деле за этими обозначениями скрывается конструктивное гильбертово пространство (например, описанное у Шанина в "Конструктивных вещественных числах etc.").

И ещё иллюстрация Ваших приёмов полемики: фразы про "несущественную апелляцию" у меня нет. У меня есть фраза про отсутствие существенной апелляции. Что не одно и то же: я имел в виду, что теоретико-множественно мыслящий читатель (вроде Вас) может примыслить к упоминаемым у меня \(L_2[0,1]\) канторовское обрамление; в Вашей же трактовке выходит, что я сам взываю к соответствующим представлениям, хотя и "несущественно". Оттеночек!

Цитата

Я уж не говорю об объектах типа лестницы Кантора (или что там у Вас в качестве подходящих примеров? я здесь готов признать, что плохо помню класс плотностей из Вашего доклада, который слушал; для моей иронии L_2 хватает).

Плохо Вы наш доклад слушали. В нём, между прочим - и между прочим, как раз для лестницы Кантора! - приводились данные машинных расчётов некоторых параметров. Вы полагаете, что ЭВМ умеет работать с чем-то, кроме конструктивных объектов? LoL.

Цитата

А для человека, регулярно делающего на форуме в мой адрес странные намеки, Ваша реакция неадекватна.

Судя по всему, "неадекватность" моей реакции состоит в том, что Вы попались. Да, несомненно, для Вас было бы существенно удобней, если бы я съел Вашу клевету в свой адрес. Но не дождётесь.

Цитата

И поскольку здесь явно прозвучал безусловный факт личного знакомства, то я так и восприму.

А здесь он не прозвучал (в Вашем исполнении), и намёков в мой адрес там, разумеется, не было.

Цитата

При личной встрече кое-что уточню в отношении упомянутых странных намеков и тогда же и вполне проясню содержание нашего знакомства.

Пожалуйста. Самому ситуация интересна.

29.03.2006 17:23
С ног на голову
Коли Вы согласны с 1), то Ваше заявление - это действительно жалобы, а не вопрос.

Дело в том, что реально нарисовать бесконечную последовательность крестиков невозможно (и времени на это нужно бесконечно много, и чернил не меньше). Соответственно, вопрос: в каком смысле Вы эту последовательность понимаете? Отвлекаясь от вышеописанной реальной невозможности и мысленно рассматривая фантастическую ситуацию, будто Кто-то оные крестики таки начертил? Но ведь тогда "существование" этой последовательности крестиков ничем по сути не отличается от "существования" смущающих Вас "невидимых" нулей и точек экстремума!

Если же последовательность рассматривается Вами не как завершённая, а как становящаяся - т.е. как некий процесс рисования крестиков (например, согласно некоторому алгорифму), то рассуждение из 1) совершенно неубедительно. В любой конкретный момент времени у нас реально нарисовано лишь конечное число крестиков, и на какую клетку вспоследствии ляжет сколь угодно большое число оных - совершенно неясно. Чтобы это выяснить, надо анализировать алгорифм рисования (и ещё не факт, что это нам что-нибудь даст).

Напротив, схема 2) в описанном Вами случае не вызывает никаких возражений. Если мы каким-либо способом (разумеется, не описанным в первом пункте - причины см. выше) установили, что на некоторую клетку x из A ложится неограниченно много крестиков, то x лежит в B, т.к. вне B она лежать не может (туда крестики просто не ложатся), а условие "клетка лежит в B" разрешимо.

Цитата

Уже при попытке рассмотрть не дискретные клетки, а, скажем окружность на действительной плоскости, такое соответствие явно не проглядывается.

Неправда Ваша - проглядывается. Ибо свойство точки лежать на окружности является нормальным (т.е. равносильно своему двойному отрицанию).

Цитата

аксиома о точной верхней грани, которая неявно присутствует почти во всех классических теоремах - отдельная песня. может это именно из-за нее теряется возможность всегда перейти от 2) к 1) ???

Да нет - утверждение о верхних гранях равносильно разрешению применять рассуждения типа Вашего 1). Собственно, именно посредством такого рассуждения оно и обосновывается.

С уважением,
Гастрит

29.03.2006 18:03
Ну здесь не отвертитесь.
Цитата

Гастрит писал(а) :
Не с фигой в кармане, а с пониманием, что на деле за этими обозначениями скрывается конструктивное гильбертово пространство (например, описанное у Шанина в "Конструктивных вещественных числах etc.").

Так вот, сообщаю Вам, что именно это и называется фигой в кармане: когда автор имеет в виду что-то одно, но читателю об этом не сообщает. И именно это более чем уместно назвать двурушничеством. Не потрудитесь объяснить, как назвать поведение математика, который использует общепринятое обозначение не в общепринятом смысле и молчит об этом?
Почему не информируете читателя, что он "может примыслить", а может и нет, и что Вы, АВТОР, глупыми примысливаниями не занимаетесь?

Так вот неадекватность Вашей реакции есть следствие двурушничества в этом умалчивании, которого Вы, по-видимому, стесняетесь перед самим собой. Поэтому накидываетесь на человека, давшего точный диагноз - двурушничество.

Далее,

Ваша ссылка - типичная для Вас подмена. Нет никакого криминала и ничего обидного в желании получить ответ. Сам факт знакомства мало кому интересен, а кому интересен - тот много раз, и от Вас первого, получал эту информацию.

А вот здесь

http://www.mmonline.ru/forum/read.php?f=7&i=33816&t=33639

странное, и я тогда задал вопрос, да ответа не получил. Теперь уж устно.

29.03.2006 18:26
Взаимно
Цитата

wep писал(а) :
Не потрудитесь объяснить, как назвать поведение математика, который использует общепринятое обозначение не в общепринятом смысле и молчит об этом?

Никак, если получаемые им результаты не отличаются от вытекающих из "общепринятой" точки зрения. В противном случае это - подлог, но уж точно не двурушничество. О последнем можно было бы говорить в том случае, если бы я на форумах трепался о конструктивизме, а сам под шумок строчил бы статьи, в коих направо-налево применялись бы аксиома выбора, снятия двойного отрицания с суждений о существовании, и т.п. Есть таковые? Так найдите, выведите меня на чистую воду!

Теперь вкратце о "странном" намёке. Он явился ответом на ряд Ваших (более, чем странных) заявлений. Но устно - так устно.

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти