Последняя теорема Ферма (необычный подход)

УДК 511.2

Краткая аннотация

Общепризнанное доказательство Последней (Великой) теоремы Ферма, предложенное Эндрю Уайлсом, базируется на нескольких математических теориях, в том числе и на идее Герхарда Фрея, в основу которой положена предпосылка существования гипотетического (еретического) решения уравнения Ферма для некоторой степени $N$ и последующего преобразования уравнения Ферма в уравнение эллиптической кривой. В данной работе предложен подход к ВТФ, основанный на применении $Z$- ричной позиционной системы счисления. В математическом инструментарии эпохи Пьера Ферма показано, что не существует решения уравнения Ферма степени $n=3$ в ненулевых целых числах.


Известно, что Последняя теорема Ферма ДОКАЗАНА профессором математики Принстонского университета Эндрю Уайлсом [1], [2]. При её доказательстве использован математический инструментарий ХХ века. Тогда какими же соображениями руководствовался великий математик XVII века Пьер Ферма, делая такую интригующую запись на полях "Арифметики" Диофанта: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane setex hanc marginis exiguitas non caparet" [3; с. 71], что в переводе с латыни означает "Я нашёл поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его". Автор данной работы не относит себя к числу тех, кто считает, что Последняя теорема Ферма была результатом редкого момента слабости математического гения XYII века, а поэтому рискует предложить версию возможного к ней подхода, построенного на математическом инструментарии эпохи П. Ферма.

В концептуальном плане доказательство включает два этапа:
1. На первом этапе определяется необходимое и достаточное условие выполнения гипотетического равенства $X^n+Y^n=Z^n$ в ненулевых целых взаимно простых числах $X, Y, Z$ при $n\ge 2$.
2. На втором этапе доказывается, что для уравнения $X^3+Y^3=Z^3$ названное необходимое и достаточное условие не может быть выполнено, из чего следует отсутствие решений данного уравнения в ненулевых целых взаимно простых числах.
План доказательства
1. Определить необходимое и достаточное условие выполнения гипотетического равенства
$X^n+Y^n=Z^n$,
где $X, Y, Z, n \in N$, причём $(X, Y, Z)=1$, $n\ge 2$.
1.1. Перейти к $Z$-ричной позиционной системе счисления.
1.2. Доказать, что хотя бы одно из слагаемых левой части гипотетического равенства $X^n+Y^n=Z^n$ должно содержать ровно $n$ $Z$- ричных разрядов. Записать это слагаемое соответствующим ему количественным эквивалентом, например:
$X^n=x_{n-1}\cdot Z^{n-1}+x_{n-2}\cdot Z^{n-2}+...+x_1\cdot Z+x_0 $
1.3. Доказать, что
$x_{n-1}\le Z-n$
1.4. Доказать, что второе слагаемое $(Y^n)$ гипотетического равенства $X^n+Y^n=Z^n$, как и первое слагаемое $(X^n)$, должно содержать ровно $n$ $Z$- ричных разрядов и, следовательно, его количественный эквивалент должен записываться так:
$Y^n=y_{n-1}\cdot Z^{n-1}+y_{n-2}\cdot Z^{n-2}+...+y_1\cdot Z+y_0 $
1.5. Доказать, что для гипотетического равенства $X^n+Y^n=Z^n$ должны выполняться $n$ равенств вида:
$x_i + y_i+1 = x_0 + y_0 = Z $, где $i \in [1;n-1]$
1.6. Доказать, что
$y_{n-1} \ge n-1$
1.7. Сформулировать необходимое и достаточное условие выполнения гипотетического равенства $X^n+Y^n=Z^n$.
1.8. Проверить выполнимость необходимого и достаточного условия на примере пифагоровых троек, то есть при $n=2 $.
2. Доказать, что для диофантова уравнения $X^3+Y^3=Z^3$ названное необходимое и достаточное условие не может быть выполнено, из чего следует отсутствие решений данного уравнения в ненулевых целых взаимно простых числах и, следовательно, вообще в целых числах.
Доказательство
Пусть имеется запись $(a_{n}a_{n-1}...a_{1}a_{0},a_{-1}...a_{-m})_{z}$ некоторого действительного числа в $Z$-ричной позиционной системе счисления. Тогда соответствующий этой записи количественный эквивалент запишется следующим образом:
$(a_{n}a_{n-1}...a_{1}a_{0},a_{-1}...a_{-m})_{z}=a_{n}\cdot Z^n+ a_{n-1}\cdot Z^{n-1}+ ...+ a_{1}\cdot Z^{1}+ a_{0}\cdot Z^{0}+ a_{-1}\cdot Z^{-1}+...+ a_{-m}\cdot Z^{-m}$ (1)
Из соотношения (1) нетрудно видеть, что для записи количественного эквивалента в $Z$-ричном виде необходимо представить его по степеням $Z$. Кортеж коэффициентов $a_{i}$, где $i \in [-m;n] $, и явится $Z$-ричной записью.
Выше рассмотрена запись действительных чисел, то есть чисел, содержащих целую и дробную части. Если $Z$-ричное число является целым, то оно может быть записано так: $(a_{n}a_{n-1}...a_{1}a_{0})_{z}$, а его количественный эквивалент представлен следующим образом:
$(a_{n}a_{n-1}...a_{1}a_{0})_{z}=a_{n}\cdotZ^n+a_{n-1}\cdot Z^{n-1}+...+a_{1}\cdot Z+ a_{0}$ (2)
Пример. Пусть имеется запись некоторого $Z$-ричного числа $(10…0)_{z}$, содержащего ровно $n$ нулей. Определим для этой записи количественный эквивалент. Так как $a_{n}=1, a_{n-1}=0$ и т.д. $a_{1}=0, a_{0}=0$, то в соответствии с (2) получим:
$(10...0)_{z}=Z^n $ (3)
Перейдём к выражению
$X^n+Y^n=Z^n$ (4)
Рассмотрим это выражение как гипотетическое равенство, в котором $X,Y,Z,n\inN$, причём $(X,Y,Z)=1$, $n≥2$. Определим условия, необходимые для его выполнения. Для этого переведём левую и правую части (4) в систему счисления по основанию $Z$:
$(X^n)_{z}+(Y^n)_{z}=(Z^n)_{z}=(10...0)_{z}$, (5)
где число нулей равно $n$.
$Z$-ричное представление хотя бы одного из слагаемых $(X^n)_{z}$ или $(Y^n)_{z}$ выражения (5) должно содержать ровно $n$ разрядов. Действительно, если предположить, что эти оба слагаемых содержат число разрядов, меньшее, чем $n$, то выполнение равенства (5) будет невозможным. Пусть
$(X^n)_{z}=(x_{n-1}x_{n-2}...x_{1}x_{0})_{z}$ (6)
Переходя к количественному эквиваленту, можно записать:
$X^n=x_{n-1}\cdot Z^{n-1}+x_{n-2}\cdot Z^{n-2}+...+x_{1}\cdot Z+x_{0} $ (7)
Из гипотетического равенства (4) следует, что $Z>Y, X$. Пусть $Z=X+k$. Тогда
$X^{n}=(Z-k)^{n}= (Z-k\cdot n)\cdot Z^{n-1}+C^{2}_{n}\cdot (-k)^{2}\cdot Z^{n-2}+ C^{3}_{n}\cdot (-k)^{3}\cdot Z^{n-3}+...+C^{n-1}_{n}\cdot (-k)^{n-1}\cdot Z+(-k)^{n}$ (8)
Предполагая существование тройки натуральных чисел $X, Y, Z$, удовлетворяющих гипотетическому равенству (4), будем считать, что $X>Y$. Тогда
$(X +\frac{Y}{n})^{n}=X^{n}+C^{1}_{n}\cdot X^{n-1}\cdot(\frac{Y}{n})+...+ C^{n-1}_{n}\cdot X\cdot(\frac{Y}{n})^{n-1}+ (\frac{Y}{n})^{n}>X^{n}+Y^{n}=Z^{n}$
и, значит, $X+\frac{Y}{n} > Z$. Назовём это неравенство безусловным. Данное безусловное неравенство может выполняться только при $Y>k\cdot n$, так как в другом случае (при $Y \le k\cdot n$) будет $k\ge \frac{Y}{n}$ и получаем неравенство $X+k=Z\ge X+\frac{Y}{n} $, противоречащее безусловному неравенству $X+\frac{Y}{n} > Z$. Так как $Y>k\cdot n$, то в силу условия $Z>X>Y$ будет $X>k\cdot n+1, Z>k\cdot n+2$. Следовательно, в выражении (8) $Z-k\cdot n>2$.
Рассмотрим правую часть выражения (8). Алгебраическая сумма его членов, стоящих после $ (Z-k\cdot n)\cdot Z^{n-1}$, представится парами вида
$C^{j}_{n}\cdot Z^{n-j}\cdot k^j- C^{j+1}_{n}\cdot Z^{n-j-1}\cdot k^{j+1}$,
где $j \in [2; n-1]$.
Каждую такую пару можно представить следующим образом:
$ C^{j}_{n}\cdot Z^{n-j}\cdot k^j- C^{j+1}_{n}\cdot Z^{n-j-1}\cdot k^{j+1}= C_{n}^{j} \cdot Z^{n-j-1}\cdot k^{j}\cdot \left (Z- \frac{(n-j)\cdot k}{j+1}\right) $ (9)
Для каждой пары в интервале изменения $j$ справедливо неравенство
$ Z-\frac {(n-j)\cdot k}{j+1}=Z-\frac {k\cdot n}{j+1}+\frac {k\cdot j}{j+1}>Z-\frac {k\cdot n}{j+1}>Z-k\cdot n>2 $
То есть каждая пара (9) будет больше $0$. При чётных $n$ к этим парам добавится $(-k)^n$. Следовательно,
$ X^{n}>(Z-k\cdot n)\cdot Z^{n-1} $ (10)
Исходя из равенства (7),
$X^{n}>x_{n-1}\cdot Z^{n-1} $ (11)
Рассмотрим выражение $ (x_{n-1}+1)\cdot Z^{n-1}$. Его можно представить так:
$ (x_{n-1}+1)\cdot Z^{n-1}=x_{n-1}\cdot Z^{n-1}+(Z-1) \cdot Z^{n-2}+(Z-1) \cdot Z^{n-3}+...+(Z-1) \cdot Z+ Z $
Учитывая, что в равенстве (7) $Z> x_{0}$, а $ (Z-1) \cdot Z^{n-j} \ge x_{n-j}\cdot Z^{n-j} $, где $j\in [2; n-1]$, получим:
$ (x_{n-1}+1)\cdot Z^{n-1}>X^{n}$ (12)
Объединение неравенств (11) и (12) даёт такое составное неравенство:
$ x_{n-1}+1>\frac{X^{n}}{Z^{n-1}}>x_{n-1}$, (13)
из которого следует, что число $\frac {X^n}{Z^{n-1}}$ является неправильной дробью.
В соответствии с (8) можно записать:
$\frac {X^{n}}{Z^{n-1}}=Z-k\cdot n+\frac {C^2_n\cdot(-k)^2\cdot Z^{n-2}+\ldots+C^{n-1}_n\cdot(-k)^{n-1}\cdot Z+(-k)^n}{Z^{n-1}}=Z-k\cdot n +R_{(k)}+\frac{p}{q}$, (14)
где $R_{(k)}$ – целое число, величина которого зависит от $k$; $\frac{p}{q}$- правильная дробь.
Исходя из (13) и (14),
$ x_{n-1}=Z-k\cdot n +R_{(k)}$ (15)
В результате объединения неравенств (10) и (12) получим:
$x_{n-1}+1>\frac{X^{n}}{Z^{n-1}}>Z-k\cdot n$ (16)
Наибольшее значение целой части числа $\frac {X^n}{Z^{n-1}}$ будет при $X=Z-1$, то есть при $k=1$. Это значение равно:
${\left\lfloor\frac {X^{n}}{Z^{n-1}}\right\rfloor=\left\lfloor\frac {(Z-1)^{n}}{Z^{n-1}}\right\rfloor=Z-n}$
Следовательно,
$(x_{n-1})_{max}=Z-n$ (17)
Таким образом, в общем случае
$x_{n-1}\le Z-n$ (18)
Покажем, что второе слагаемое $(Y^{n})_{z}$ в выражении (5), как и первое слагаемое $(X^{n})_{z}$, должно содержать ровно $n$ $Z$-ричных разрядов. Действительно, если разрядность числа $(Y^{n})_{z}$ будет меньше $n$, то учитывая, что $x_{n-1}\le Z-n$, невозможно обеспечить выполнение равенства (5), вытекающего из гипотетического равенства (4). Таким образом, $(Y^{n})_{z}$ представится следующим образом:
$(Y^{n})_{z}=(y_{n-1}y_{n-2}...y_{1}y_{0})_{z}$ (19)
Переходя к количественному эквиваленту, можно записать:
$Y^{n}=y_{n-1}\cdot Z^{n-1}+y_{n-2}\cdot Z^{n-2}+...+y_{1}\cdot Z+y_{0} $ (20)
Из выражений (4), (5), (6), (19) следует, что
$(x_{n-1}x_{n-2}...x_{1}x_{0})_{z}+(y_{n-1}y_{n-2}...y_{1}y_{0})_{z} =(10...0)_{z}$ (21)
Левая часть гипотетического равенства (4) с учётом (7) и (20) запишется так:
$X^{n}+Y^{n}=(x_{n-1}+y_{n-1})\cdot Z^{n-1}+(x_{n-2}+y_{n-2}) \cdot Z^{n-2}+...+(x_{1}+y_{1}) \cdot Z+x_{0}+y_{0}$ (22)
Правую часть гипотетического равенства (4) можно представить следующим образом:
$Z^{n}=(Z-1) \cdot Z^{n-1}+(Z-1) \cdot Z^{n-2}+...+(Z-1) \cdot Z+ Z$ (23)
Из выражений (22) и (23) нетрудно видеть, что необходимым условием выполнения гипотетического равенства (4) является выполнение $n$ равенств вида:
$x_{i}+y_{i}+1=x_{0}+y_{0}= Z$, где $i \in [1;n-1]$ (24)
Исходя из этого соотношения и учитывая выражение (18), нетрудно видеть, что для другого коэффициента $y_{n-1}$, стоящего в (20) при старшем члене ряда $Z^{n-1}$, должно выполняться такое неравенство:
$y_{n-1} \ge n-1$ (25)
Таким образом, необходимое условие выполнения гипотетического равенства (4) складываются из выполнения следующей триады равенств:
$X^{n}=x_{n-1}\cdotZ^{n-1}+x_{n-2}\cdotZ^{n-2}+...+x_{1}\cdotZ+x_{0}$ (26)
$Y^{n}=y_{n-1}\cdotZ^{n-1}+y_{n-2}\cdotZ^{n-2}+...+y_{1}\cdotZ+y_{0}$ (27)
$x_{i}+y_{i}+1=x_{0}+y_{0}=Z$, (28)
где $i \in [1;n-1]$.
Нетрудно видеть, что выполнение равенств (26), (27), (28) является не только необходимым, но и достаточным условием выполнения гипотетического равенства $X^{n}+Y^{n}=Z^{n}$. Действительно, если предположить, что вся триада равенств выполняется и сложить соответственно левые и правые части (26) и (27), а также учесть (28), то получим это гипотетическое равенство.
Для старших коэффициентов $x_{n-1}$ и $y_{n-1}$, стоящих при члене ряда $Z^{n-1} $, как было показано выше, должны выполняться такие соотношения: если $X>Y$, то $x_{n-1} \le Z-n$ и $y_{n-1} \ge n-1$; если $Y>X$, то $y_{n-1} \le Z-n$ и $x_{n-1} \ge n-1$.
Убедимся в том, что при $n=2$ такие условия выполняются. Исходя из выражений (7) и (20):
$X^{2}=x_{1} \cdot Z+x_{0}$
$Y^{2}=y_{1} \cdot Z+y_{0}$
Приведём конкретные примеры.
Первый пример:
$X^{2}=1 \cdot 5+4 $
$Y^{2}=3 \cdot 5+1 $
Этот пример соответствует равенству $3^2+4^2=5^2$. Здесь $X=3, Y=4, Z=5, x_{1}=1, x_{0}=4, y_{1}=3, y_{0}=1$. Нетрудно видеть, что $x_{1}+y_{1}+1=x_{0}+y_{0}=Z$, а также выполняются соотношения $y_{n-1} \le Z-n$ и $x_{n-1} \ge n-1$.
Второй пример:
$X^{2}=13\cdot 17+4 $
$Y^{2}=3 \cdot 17+13 $
Этот пример соответствует равенству $15^{2}+8^{2}=17^{2}$. Здесь $X=15, Y=8, Z=17, x_{1}=13, x_{0}=4, y_{1}=3, y_{0}=13$. Нетрудно видеть, что $x_{1}+y_{1}+1=x_{0}+y_{0}=Z$, а также выполняются соотношения $x_{n-1} \le Z-n$ и $y_{n-1} \ge n-1$.
Третий пример:
$X^{2}=4899 \cdot 4901+1 $
$Y^{2}=1 \cdot 4901+4900 $
Этот пример соответствует равенству $4900^{2}+99^{2}=4901^{2}$. Здесь $X=4900, Y=99, Z=4901, x_{1}=4899, x_{0}=1, y_{1}=1, y_{0}=4900$. Нетрудно видеть, что $x_{1}+y_{1}+1=x_{0}+y_{0}= Z$, а также выполняются соотношения $x_{n-1} \le Z-n$ и $y_{n-1} \ge n-1$.
Четвёртый пример:
$X^{2}=15 \cdot 29+6 $
$Y^{2}=13 \cdot 29+23 $
Этот пример соответствует равенству $21^2+20^2=29^2$. Здесь $X=21, Y=20, Z=29$. Отрезки со сторонами такой длины образуют так называемые "хромые треугольники", у которых две более короткие стороны $X$ и $Y $ отличаются по длине только на единицу. В разложении $X^2$ и $Y^2$ по степеням $Z: x_{1}=15, x_{0}=6, y_{1}=13, y_{0}=23$. Нетрудно видеть, что и в этом случае $x_{1}+y_{1}+1=x_{0}+y_{0}= Z$, а также выполняются соотношения $x_{n-1} \le Z-n$ и $y_{n-1} \ge n-1$. Кроме того, данный пример показывает справедливость выражений (14) и (15). Действительно, в соответствии с выражением (14)
$\frac {X^{n}}{Z^{n-1}}=Z-k\cdot n +R(k)+\frac {p}{q}$
В данном случае $X=21$ и $Z=29, k=Z-X=8, R_{(k)}=2, \frac {p}{q}=\frac {6}{29}$. В соответствии с выражением (15)
$x_{n-1}=Z-k\cdot n +R(k)= 29-8\cdot 2 + 2=15$,
что согласуется со значением $x_1=15$.
Выше на примере пифагоровых троек рассмотрены следующие случаи: 1) когда $X, Y$ и $Z$ отличаются между собой ровно на единицу; 2) когда $X, Y$ и $Z$ отличаются между собой более, чем на единицу; 3) когда $X$ и $Y$ отличаются между собой более, чем на единицу, а $Z$ отличается от наибольшего из них ровно на единицу; 4) когда $X$ и $Y$ отличаются между собой на единицу, а $Z$ отличается от наибольшего из них более, чем на единицу. Убедились в том, что необходимое и достаточное условие существования целочисленных решений уравнения $X^{n}+Y^{n}=Z^{n}$, представленное равенствами (26), (27), (28), для $n=2$ выполняется.

Сделаем небольшой экскурс в историю Последней теоремы Ферма.
Известно, что для показателя $n=4$ Пьер Ферма доказал отсутствие ненулевых целочисленных решений уравнения $X^n+Y^n=Z^n$, используя предложенный им метод бесконечного спуска (см. [4; с. 21-24], [5; с. 27-30]). Принято приоритет доказательства для показателя $n=3$ отдавать Леонарду Эйлеру (см. [4; с. 56-60], [5; с. 31-34]). В [4; с. 63] предполагается, а в статье [6] доказывается, что Л. Эйлер мог иметь строгое доказательство леммы о кубах вида $a^2+3b^2$, лежащей в основе элементарного доказательства для показателя $n=3$, не привлекая для этого комплексные числа. По сути доказательство Л. Эйлера для $n=3$ строится на методе бесконечного спуска.
Рассмотрим доказательство случая $n=3$, построенное на использовании инструментария $Z$- ричных позиционных систем счисления и доказанном необходимом и достаточном условии выполнения равенства $X^n+Y^n=Z^n$ в ненулевых целых взаимно простых числах $X, Y, Z$ при $n\ge 2$.
Имеется диофантово уравнение
$X^3+Y^3=Z^3$ (29)
Предположим, что существует хотя бы одно ненулевое целочисленное его решение, точнее, $X,Y,Z\in N$ и $ (X,Y,Z)=1$. В этом случае уравнение (29) превратится в равенство, необходимое и достаточное условие выполнения которого в ненулевых целых взаимно простых числах $X,Y,Z$ для $n=3$ в соответствии с выражениями (26), (27), (28) запишется так:
$X^3=x_2\cdot Z^2+x_1\cdot Z+x_0$ (30)
$Y^3=y_2\cdot Z^2+y_1\cdot Z+y_0$ (31)
$x_2+y_2+1=x_1+y_1+1=x_0+y_0=Z$, (32)
где $x_2, x_1, x_0$ и $y_2, y_1, y_0$ - суть натуральные числа, меньшие $Z$.
Для чисел $x_2$ и $y_2$, стоящих при члене $Z^2$, должны выполняться такие соотношения: если $X>Y$, то $x_2\le Z-3$ и $y_2\ge 2$; если $Y>X$, то $y_2\le Z-3$ и $x_2\ge 2$.
Введём понятие разложения натурального числа $P$ по степеням натурального числа $Q$ ($P>Q$). Под таким разложением будем понимать запись $P$ рядом
$P=\sum_{i=m}^0 q_i\cdot Q^i$,
в котором $q_i$ - любое натуральное число.
Исходя из введённого понятия, выражения (30) и (31) можно рассматривать как разложение целых чисел $X^3$ и $Y^3$ по степеням целого числа $Z$. Такое разложение запишется суммами вида:
$X^3=\sum_{i=2}^0 x_i\cdot Z^i$ (33)
$Y^3=\sum_{i=2}^0 y_i\cdot Z^i$, (34)
где $x_i, y_i$ - суть любые натуральные числа.
Из необходимого и достаточного условия выполнения гипотетического равенства $X^3+Y^3=Z^3$ в ненулевых целых взаимно простых числах вытекают два важных следствия:
1. В разложении каждого из чисел $X^3$ и $Y^3$ по степеням целого числа $Z$ должно быть ровно три слагаемых.
2. Число $Z$, имеющее большую степень, должно быть больше суммы всех слагаемых разложения с мeньшими степенями $Z$.
Справедливость следствия 1 очевидна. Докажем справедливость следствия 2, то есть того, что
$Z^2>x_1\cdot Z+x_0$ (35)
$Z^2>y_1\cdot Z+y_0$ (36)
Учитывая, что $(Z-1)\ge x_1,y_1$ и $Z>x_0,y_0$, получим:
$Z^2=(Z-1)\cdot Z+Z>x_1\cdot Z+x_0$
$Z^2=(Z-1)\cdot Z+Z>y_1\cdot Z+y_0$
Справедливость следствия 2 доказана.
Теперь рассмотрим гипотетическое равенство (29) на предмет его соответствия следствиям необходимого и достаточного условия выполнения названного равенства в ненулевых целых взаимно простых числах.
Исходя из (29):
$X^3=Z^3-Y^3=(Z-Y)\cdot (Z^2+Z\cdot Y+Y^2)=x^*_2\cdot Z^2+x^*_1\cdot Z +x^*_0$, (37)
где $x^*_2=Z-Y; x^*_1=(Z-Y)\cdot Y; x^*_0=(Z-Y)\cdot Y^2$
Выражение (37) является разложением числа $X^3$ по степеням $Z$. Нетрудно видеть, что это разложение удовлетворяет следствию 1 необходимого и достаточного условия выполнения равенства (29) в ненулевых целых взаимно простых числах. Докажем невыполнимость следствия 2, точнее, докажем, что число $Z$, имеющее большую степень, оказывается меньше суммы всех слагаемых разложения с мeньшими степенями $Z$. Для этого возьмём тождество $Z^2=(Z-1)\cdot Z+Z$ и покажем, что в нём:
$(Z-1)\cdot Z\le x^*_1\cdot Z$ (38)
$Z<x^*_0$ (39)
Действительно, так как $x^*_1=(Z-Y)\cdot Y$, то, положив $Z=Y+k$, где $k\in N$, придадим неравенству (38) такой вид:
$Y+k-1\le k\cdot Y$
При $k\ge 1$ это неравенство является очевидным, значит, $(Z-1)\cdot Z\le x^*_1\cdot Z$
Так как $x^*_0=(Z-Y)\cdot Y^2$, то при $Z=Y+k$ неравенство (39) примет вид:
$Y+k< k\cdot Y^2$
При $k\ge 1$ данное неравенство является очевидным, значит, $Z<x^*_0$.
Таким образом, получается, что
$Z^2<x^*_1\cdot Z+x^*_0$
Но это противоречит следствию 2 необходимого и достаточного условия выполнения гипотетического равенства $X^3+Y^3=Z^3$ в ненулевых целых взаимно простых числах, утверждающему, что число $Z$, имеющее большую степень, должно быть больше суммы всех слагаемых разложения с меньшими степенями $Z$. Полученное противоречие означает ложность исходного предположения о существовании ненулевого целочисленного решения диофантова уравнения $X^3+Y^3=Z^3$. Такого решения не существует!

Список литературы
1. Wiles A. Modular elliptic curve and Fermat׳s last theorem, Ann. of Math., 141:3 (1995), 443-551.
2. Taylor R. and Wiles A. Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras, Ann. of Math., 141:3 (1995), 553-572.
3. Сингх С. Великая теорема Ферма. -М.: МЦНМО, 2000. -288 с.
4. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. -М.: Мир, 1980. -486 с.
5. Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. -М.: Наука, 1978. -130 с.
6. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Математические заметки. -2007. -№82:3. -С. 395-400.

Уважаемая госпожа shwedka!

Для обеспечения пунктуальной чёткости сведу Ваши возражения в последовательность реплик и моих контраргументов.
Реплика 1.

Цитата

Ваше понятие 'разложения' …не содержит единственности разложения. Вы не доказываете (и не сможете доказать), что для данного P разложение только одно.

Ответ на реплику 1.
Вы абсолютно правы, отмечая, что введённое мной понятие
$P=\sum_{i=m}^0 q_i\cdot Q^i$, где $P, Q\in N$ и $P>Q$
"не содержит единственности разложения". Действительно, нельзя исключать наличия и других разложений, например:
$P=\sum_{i=n}^0 l_i\cdot L^i$, где $P, L\in N$ и $P>L$.
Введённое мной понятие означает лишь то и только то, что любое натуральное число $P$ можно разложить в ряд по степеням другого, меньшего, натурального числа. О единственности такого разложения в этом введённом понятии речи НЕТ! Единственность разложения следует из конкретного вида раскладываемого в ряд натурального числа.
Поясним это двумя примерами.
Пример 1.
Пусть число $P$ имеет такой вид: $P=Q^2-L^2 $, где $Q,L\in N$ и $Q>L$. Скажите, можно ли говорить о единственности разложения числа $P$ таким рядом по $Q$:
$P=q_{1}\cdot Q^1+q_{0}\cdot Q^0$ ?
ДА! Ибо такая единственность вытекает из представления числа $P$ следующим тождеством:
$P=Q^2-L^2=(Q-L)\cdot (Q+L)=(Q-L)\cdot Q^1+(Q-L)\cdotL\cdot Q^0$.
В нашем случае: в ряд раскладывается гипотетическое натуральное число вида $X^3=Z^3-Y^3$. Из представления этого числа тождеством
$X^3=Z^3-Y^3 = (Z-Y)\cdot (Z^2+Z\cdot Y+Y^2)=(Z-Y)\cdot Z^2+(Z-Y)\cdot Y\cdot Z+Y^2$
следует единственность его разложения в такой ряд по $Z$:
$X^3=Z^3-Y^3= x^*_2\cdot Z^2+x^*_1\cdot Z +x^*_0$ $\left (\frac {*}{*} \right)$
Пример 2.
Имеется гипотетическое целочисленное равенство
$X^3+Y^3=Z^3$ (*)
В результате перехода к $Z$-ричной позиционной системе счисления равенство (*) преобразуется в такое равенство:
$(X^3)_{z}+(Y^3)_{Z}=(1000)_{z}$ (**).
Из этого гипотетического равенства однозначно следует, что по крайней мере одно из слагаемых должно иметь три $Z$-ричных разряда. Не уменьшая общности, будем считать, что таким слагаемым является $(X^3)_{z}$. В этом случае из равенства (**) неизбежно следует, что количественный эквивалент числа $(X^3)_{z}$ должен иметь такое единственно возможное разложение в ряд по $Z$:
$X^3= x_{2}\cdot Z^2+x_{1}\cdot Z +x_{0}$, $\left (\frac {**}{**} \right)$
где $x_{2}, x_{1}, x_{0}$ меньше $Z$.
Реплика 2.

Цитата

Из многих возможных разложений, есть одно, избранное, представленное в Q -ичной системе счисления. Для него, и только для него Вы доказываете 'Следствие 2'. Для других возможных разложений Следствие 2 не доказано.

Ответ на реплику 2.
Следствие 2 доказано не для разложения, а для гипотетического равенства $X^n+Y^n=Z^n$, где $X, Y, Z \in N$.
Необходимое и достаточное условие выполнения этого равенства при $n=3$ выглядит так:
$X^3=x_2\cdot Z^2+x_1\cdot Z+x_0$
$Y^3=y_2\cdot Z^2+y_1\cdot Z+y_0$
$x_2+y_2+1=x_1+y_1+1=x_0+y_0=Z$,
где $x_2, x_1, x_0$ и $y_2, y_1, y_0$ - суть натуральные числа, меньшие $Z$.
Следствие 2 утверждает, что число $Z$, имеющее большую степень, должно быть больше суммы всех слагаемых разложения с мeньшими степенями $Z$.
Теперь прямой ответ на Вашу реплику 2: если целочисленное равенство выполняется в некоторой позиционной системе счисления (ПСС), то оно должно выполняться во всех ПСС. Если целочисленное равенство не выполняется хотя бы в одной ПСС, то оно не выполнится ни в каких других ПСС.
Пример 1:
Имеется равенство $3^2+4^2=5^2$.
В двоичной ПСС оно примет такой вид: $1001+10000=11001$;
в троичной ПСС: $100+121=221$;
в четырёхричной ПСС: $21+100=121$;
в пятиричной ПСС: $14+31=100$
То есть независимо от ПСС равенство сохраняется.
Пример 2:
Имеется неравенство, которое в десятичной ПСС выглядит так:
$3^2+4^2\ne 7^2$
Посмотрим, сохранится ли оно при переходе в другие ПСС.
В двоичной ПСС: $1001+10000\ne110001$;
в троичной ПСС: $100+121\ne1211$;
в четырёхричной ПСС: $21+100\ne 301$;
в пятиричной ПСС: $14+31\ne144$;
в семиричной ПСС: $12+22\ne100$.
То есть независимо от ПСС неравенство сохраняется.
Этими простыми примерами, носящими иллюстративный характер и не претендующими на строгую доказательность, я хотел показать лишь одно аксиоматизируемое утверждение: любое равенство (в частности и гипотетическое $X^3+Y^3=Z^3$), не выполняющееся в $Z$-ричной ПСС, не выполнится ни в какой иной ПСС, в том числе и в привычной для нас десятичной ПСС. Переход к $Z$- ричной ПСС удобен тем, что правая часть гипотетического равенства $X^n+Y^n=Z^n$ превращается в единицу с последующими $n$ нулями, что позволяет наложить дополнительные ограничения на числа $X$ и $Y$.
Реплика 3.

Цитата

А потом Вы рассматриваете разложение 37, про которое не доказано, что оно избранное.

Ответ на реплику 3.
Напомню, разложение (37) имеет такой вид:
$X^3=Z^3-Y^3=(Z-Y)\cdot (Z^2+Z\cdot Y+Y^2)=x^*_2\cdot Z^2+x^*_1\cdot Z +x^*_0$
Представляется некорректной постановка вопроса о доказательстве избранности разложения $Z^3-Y^3$. Именно такое разложение и никакое иное нужно рассматривать при исследовании гипотетического равенства $X^3+Y^3=Z^3$, в котором $X, Y, Z\in N$.
Реплика 4.

Цитата

Следствие 2 доказано для одного разложения, а Вы его опровергаете для другого.

Ответ на реплику 4.
Следствие 2 доказывает, что в соответствии с необходимым и достаточным условием выполнения равенства $X^3+Y^3=Z^3$ в ненулевых целых числах $X, Y, Z$ в разложении числа $X^3$ по $Z$, имеющего вид $\left (\frac {**}{**} \right)$, число $Z$ с большей степенью должно быть больше суммы всех слагаемых разложения с мeньшими степенями $Z$.
С другой стороны, в разложении $\left (\frac {*}{*} \right)$ того же числа $X^3$ по $Z$ число $Z$ с большей степенью оказывается меньше суммы всех слагаемых разложения с мeньшими степенями $Z$. Таким образом, получается, что одно и то же число рассматриваемого гипотетического равенства допускает противоречащие друг другу разложения по $Z$, чего быть не может!
Реплика 5.

Цитата

... раньше, так или иначе, Вы пытались протолкнуть идею, что "разложение" только одно.

Ответ на реплику 5.
Раньше я не увидел этого противоречия и искал противоречивый характер не в том месте.

С искренним уважением и большой благодарностью,
valeryag

Модератор повелел рассмотреть только случай $n=3$ , после чего ферманьяк агафонцев спокойненько пишет про произвольные $n$. агафонцев читать не обучен, или у него здесь особый статус? На dxdy его за нарушения быстренько забанили, а здесь ему все можно?

Цитата

Выражение (37) является разложением числа $X^3$ по степеням Z

. Выражение (37) очевидно не является таким разложением. (где все три коэффиента меньше Z). Вы же сами это показали. Оставим пока $Х^3$ в покое (как и Вы, между прочим)
По вашему "разложению" в десятичной системе счисления число $10^3-2^3=8\cdot 10^2+16\cdot 10 + 32$, оно конечно верно, но 992 записывается иначе..

Уважаемая госпожа shwedka!

Позвольте заметить ошибочность Вашей реплики

Цитата
shwedka
из post «разложение»

…представление в $Q$ -ичной системе счисления имеет вид
$P=\sum_{j=0}^n{x_jQ^j},\, \, \, (1)$

Это не есть представление числа $P$ в $Q$-ичной позиционной системе счисления.
В соответствии с Вашим выражением (1) запись числа $P$ в $Q$-ичной позиционной системе счисления должна иметь такой вид:
$P=(x_{n}x_{n-1}…x_{1}x_{0})_{Q}$, где $ 0\le x_{j}<Q$
А теперь посмотрите на Ваше выражение (2).

Цитата
shwedka
из post «разложение»
$P=\sum_{j=0}^n{q_jQ^j},\, \, \, (2)$

где

$...q_0=x_0+Q^n$

Может ли число $P$ в $Q$-ичной позиционной системе счисления иметь такую запись: $P=(q_{n}q_{n-1}...q_{1}q_{0})_{Q}$, если в этой записи $q_{0}>Q$? Конечно же, НЕТ, так как при записи чисел в $Q$-ичной позиционной системе счисления должно выполняться свято соотношение: $ 0\le q_{j}<Q$, то есть значение каждого разряда должно быть меньше основания $Q$ позиционной системы счисления. А у Вас получается $q_{0}>Q$. Чего быть не может!

Приведённые Вами выражения (1) и (2) полностью соответствуют введённому мной понятию разложения, то есть представляют собой разложение числа $P$ в ряд по $Q$. Но между выражениями (1) и (2) есть большая разница:
выражение (1) является количественным эквивалентом, соответствующим $Q$ -ичной записи $(x_{n}x_{n-1}...x_{1}x_{0})_{Q}$;
выражение (2) НЕ является количественным эквивалентом $Q$ -ичной записи $(q_{n}q_{n-1}...q_{1}q_{0})_{Q}$, так как в $Q$ -ичной позиционной системе счисления такой записи быть не может по той причине, что $q_{0}$ не может быть равно или больше $Q$.

Отметим, что число $P$ может иметь единственное представление в $Q$- ичной позиционной системе счисления. Из $Q$ -ичной записи числа следует единственность (однозначность) записи его количественного эквивалента.

Теперь ещё раз вернёмся к нашему случаю, точнее, к сути, ускользающей от Вашего внимания.
У нас из гипотетического равенства
$X^3+Y^3=Z^3$ (*)
однозначно вытекает его $Z$- ричная запись:
$(X^3)_{Z}+(Y^3)_{Z}=(1000)_{Z}$. (**)
Из равенства (**) следует необходимость представления одного из двух $Z$- ричных чисел $(X^3)_{Z}$ или $(Y^3)_{Z}$ тремя $Z$-ричными разрядами. Не уменьшая общности, полагаем, что
$(X^3)_{Z}=(x_{2}x_{1}x_{0})_{Z}$. (***)
От $Z$- ричного представления переходим к записи количественного эквивалента:
$X^3=x_{2}\cdot Z^2+x_{1}\cdot Z+x_{0}$, (****)
где $x_{2}, x_{1}, x_{0}<Z$.
Запись количественного эквивалента равенством (****) является однозначной. Для равенства (****) выполняется следствие 2, вытекающее из необходимого и достаточного условия выполнения гипотетического равенства (*) в ненулевых целых взаимно простых числах.
Следствие 2 утверждает, что число $Z$, имеющее большую степень, должно быть больше суммы всех слагаемых разложения с мeньшими степенями $Z$.
Применительно к нашему случаю:
$Z^2>x_{1}\cdot Z+x_{0}$ и, значит, следствие 2 выполняется.
С другой стороны, из равенства (*) следует:
$X^3= Z^3-Y^3=(Z-Y)\cdot Z^2+(Z-Y)\cdot Y\cdot Z+ (Z-Y)\cdot Y^2=x^*_{2}\cdot Z^2+x^*_{1}\cdot Z+x^*_{0}$. (*****)
В равенстве (*****):
$Z^2<x^*_{1}\cdot Z+x^*_{0}$ и, значит, следствие 2 не выполняется.
Противоречие!


С искренним уважением и неизменной большой благодарностью,
valeryag

Уважаемая госпожа shwedka!

Вы предлагаете:

Цитата
shwedka

Повторите Ваше определение 'разложения'...

В который раз повторяю: введённое мной понятие разложения натурального числа $P$ по степеням натурального числа $Q$ ($P>Q$) означает запись $P$ рядом
$P=\sum_{i=m}^0 q_i\cdot Q^i$,
в котором $q_i$ - любое натуральное число. 'Любое' означает возможность таких случаев:
1) $q_{i}<Q$,
2) $q_{i}\ge Q$.

В моём определении 'разложения' важно лишь то и только то, что в записи числа $P$ степень числа $Q$ должна изменяться от $m$ до $0$.

Продолжу. Внял Вашему совету:

Цитата
shwedka

Только следите за своими руками!

Так вот, чётко контролируя движения своих рук, без всяких напёрсточных трюков, двумя примерами покажу ошибочность Вашей реплики:

Цитата
shwedka

Неверно!
Не разложения, а записи в Z-ичной системе счисления.

высказанной Вами по поводу cледствия 2, утверждающего, что число $Z$, имеющее большую степень, должно быть больше суммы всех слагаемых разложения с мeньшими степенями $Z$.

Пример 1.
Имеется следующая запись в позиционной системе счисления с основанием $Z=10$
$\underbrace {3999}_{запись}}$=$\underbrace {3\cdot 10^3+9\cdot 10^2+9\cdot 10^1+9\cdot 10^0}_{количественный \,\, \, эквивалент}}$

Нетрудно видеть, что
$10^3>9\cdot 10^2+9\cdot 10^1+9\cdot 10^0$
То есть число $Z$, имеющее большую степень (у нас это число $10^3$) будет больше суммы всех слагаемых с меньшими степенями $Z$, даже, если сумма этих слагаемых максимальна.

Пример 2.
Пусть в равенстве $X^2+Y^2=Z^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, X=20, Y=21, Z=29$. В девятиричной позиционной системе счисления при этих значениях $X, Y, Z$ данное равенство запишется следующим образом:
$(484)_{9}+(540)_{9}=(1134)_{9}$
Исходя из девятиричной записи, количественный эквивалент числа $X^2$ должен (обязан!) записываться так:
$X^2=4\cdot 9^2+8\cdot 9^1+4\cdot 9^0=400$

Нетрудно видеть, что
$9^2>8\cdot 9^1+4\cdot 9^0$
То есть число $Z$, имеющее большую степень (у нас это число $9^2$) будет больше суммы всех слагаемых с меньшими степенями $Z$.

Уважаемая госпожа shwedka!

Предлагаю договориться об "аксиомах" нашей дискуссии:
1. Не сотрясать воздух высказываниями типа:

Цитата
shwedka
Только следите за своими руками!

Цитата
shwedka
...знайте, что будете пойманы.

2. Реагировать на ответы по каждому задаваемому вопросу, аргументируя своё несогласие или согласие. Обратите внимание: когда Вы задаёте вопросы, я на них аргументировано отвечаю. Ваша же реакция на каждый мой ответ во многих случаях отсутствует. При такой форме построения дискуссии мы никогда не приблизимся к истине.

Уважаемая госпожа shwedka!

Наша дискуссия будет результативной, если Вы найдёте хотя бы одну логическую ошибку в небольшой цепи умозаключений, приведённых мной в предыдущем post с названием «ошибка-с» и составляющих квинтэссенцию моего доказательства. Повторю эту цепочку:

Из гипотетического равенства
$X^3+Y^3=Z^3$ (*)
однозначно вытекает его $Z$- ричная запись:
$(X^3)_{Z}+(Y^3)_{Z}=(1000)_{Z}$. (**)
Из равенства (**) следует необходимость записи одного из двух $Z$- ричных чисел $(X^3)_{Z}$ или $(Y^3)_{Z}$ тремя $Z$-ричными разрядами. Не уменьшая общности, полагаем, что
$(X^3)_{Z}=(x_{2}x_{1}x_{0})_{Z}$. (***)
От $Z$- ричного представления переходим к записи количественного эквивалента, который должен (обязан!) записываться так:
$X^3=x_{2}\cdot Z^2+x_{1}\cdot Z+x_{0}$, (****)
где $x_{2}, x_{1}, x_{0}<Z$.
Для равенства (****) выполняется следствие 2, вытекающее из необходимого и достаточного условия выполнения гипотетического равенства (*) в ненулевых целых взаимно простых числах.
Следствие 2 утверждает, что число $Z$, имеющее большую степень, должно быть больше суммы всех слагаемых разложения с мeньшими степенями $Z$.
Применительно к нашему случаю:
$Z^2>x_{1}\cdot Z+x_{0}$ и, значит, следствие 2 выполняется.
С другой стороны, из равенства (*) следует:
$X^3= Z^3-Y^3=(Z-Y)\cdot Z^2+(Z-Y)\cdot Y\cdot Z+ (Z-Y)\cdot Y^2=x^*_{2}\cdot Z^2+x^*_{1}\cdot Z+x^*_{0}$. (*****)
В равенстве (*****):
$Z^2<x^*_{1}\cdot Z+x^*_{0}$ и, значит, следствие 2 не выполняется.
Противоречие!

Примечание. Следуя известной поговорке страны Вашего нынешнего пребывания (Швеции), заявляю "также чётко, как и «аминь» в церкви": равенство (****)
$X^3=x_{2}\cdot Z^2+x_{1}\cdot Z+x_{0}$,
как и равенство (*****)
$X^3=x^*_{2}\cdot Z^2+x^*_{1}\cdot Z+x^*_{0}$,
соответствуют введённому мной понятию разложения натурального числа $P$ по степеням натурального числа $Q$ ($P>Q$).

С искренним уважением и большой благодарностью,
valeryag

Уважаемая госпожа shwedka!

Пунктуально отвечу на все Ваши вопросы из post «не считается».

Цитата
shwedka

1. повторите определение разложения. Вы это сделали, но повторите.
И, для согласования обозначений со следствием, раскладывайте не по степеням $Q$, a по степеням $Z$

Ответ на вопрос: под разложением натурального числа $P$ по степеням натурального числа $Z$ ($P>Z$) понимается запись $P$ рядом
$P=\sum_{k=0}^n p_{k}\cdot Z^k$,
в котором $p_k$ - любое натуральное число, включая $0$. Исключение: $p_{n}\ne 0$. 'Любое' означает возможность таких случаев:
1) $p_{k}<Z$,
2) $p_{k}\ge Z$.

Цитата
shwedka

2. Дайте точную формулировку и ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 'следствия 2'.
Этого Вы не сделали. Примеры доказательством служить не могут.

Ответ на вопрос: Точная формулировка и доказательство 'следствия 2' даны в той части стартового варианта темы, где речь идёт о выводах из необходимого и достаточного условия выполнения гипотетического равенства $X^3+Y^3=Z^3$ в ненулевых целых взаимно простых числах. Воспроизведу эту часть.
1. В разложении каждого из чисел $X^3$ и $Y^3$ по степеням целого числа $Z$ должно быть ровно три слагаемых.
2. Число $Z$, имеющее большую степень, должно быть больше суммы всех слагаемых разложения с мeньшими степенями $Z$.
Справедливость следствия 1 очевидна. Докажем справедливость следствия 2, то есть того, что
$Z^2>x_1\cdot Z+x_0$ (35)
$Z^2>y_1\cdot Z+y_0$ (36)
Учитывая, что $(Z-1)\ge x_1,y_1$ и $Z>x_0,y_0$, получим:
$Z^2=(Z-1)\cdot Z+Z>x_1\cdot Z+x_0$
$Z^2=(Z-1)\cdot Z+Z>y_1\cdot Z+y_0$
Справедливость следствия 2 доказана.

Теперь о последней части Вашего post «не считается».

Цитата
shwedka

Давайте, я напишу oпределение и формулировку ... Поправьте, если что не так...
Определение.
Разложением натурального числа $P$ по степеням натурального числа $Z$ называется ЛЮБАЯ запись
$P=\sum_{k=0}^{n} p_kZ^k$
где $p_k$ - натуральные числа.

(да, вопрос: считаете ли Вы ноль натуральным числом? Не надо аргументации. Только ответ!)

Следствие 2.
В ЛЮБОМ разложении числа $P$ по степеням числа $Z$ ,
слагаемое, имеющее большую степень $Z$, больше суммы всех слагаемых разложения с мeньшими степенями $Z$.

Ответ на эту часть: 1) определение 'разложения' дано выше;
2) в формулировке 'следствия 2' использован приём, называемый в логике ПОДМЕНОЙ тезиса. В жизни этот приём можно назвать приёмом напёрсточника. Действительно, 'следствие 2' относится не к ЛЮБОМУ разложению числа $P$ по степеням числа $Z$, а к разложению числа $P$, принимающего значения $X^3$ и $Y^3$ из гипотетического равенства $X^3+Y^3=Z^3$.
3) в 'следствии 2' термин "большая степень" означает старшую степень числа $Z$.

Уважаемая госпожа shwedka!
После таких пунктуальных ответов на Ваши вопросы, пожалуйста, сделайте одолжение и ответьте на мой единственный, неоднократно задаваемый Вам вопрос о нахождении хотя бы одной логической ошибки в небольшой цепочке умозаключений, составляющих квинтэссенцию моего доказательства. Повторю эту цепочку:

Из гипотетического равенства
$X^3+Y^3=Z^3$ (*)
однозначно вытекает его $Z$- ричная запись:
$(X^3)_{Z}+(Y^3)_{Z}=(1000)_{Z}$. (**)
Из равенства (**) следует необходимость записи одного из двух $Z$- ричных чисел $(X^3)_{Z}$ или $(Y^3)_{Z}$ тремя $Z$-ричными разрядами. Не уменьшая общности, полагаем, что
$(X^3)_{Z}=(x_{2}x_{1}x_{0})_{Z}$. (***)
От $Z$- ричного представления переходим к записи количественного эквивалента, который должен (обязан!) записываться так:
$X^3=x_{2}\cdot Z^2+x_{1}\cdot Z+x_{0}$, (****)
где $x_{2}, x_{1}, x_{0}<Z$.
Для равенства (****) выполняется следствие 2, вытекающее из необходимого и достаточного условия выполнения гипотетического равенства (*) в ненулевых целых взаимно простых числах.
Следствие 2 утверждает, что число $Z$, имеющее большую степень, должно быть больше суммы всех слагаемых разложения с мeньшими степенями $Z$.
Применительно к нашему случаю:
$Z^2>x_{1}\cdot Z+x_{0}$ и, значит, следствие 2 выполняется.
С другой стороны, из равенства (*) следует:
$X^3= Z^3-Y^3=(Z-Y)\cdot Z^2+(Z-Y)\cdot Y\cdot Z+ (Z-Y)\cdot Y^2=x^*_{2}\cdot Z^2+x^*_{1}\cdot Z+x^*_{0}$. (*****)
В равенстве (*****):
$Z^2<x^*_{1}\cdot Z+x^*_{0}$ и, значит, следствие 2 не выполняется.
Противоречие!


С искренним уважением и большой благодарностью,
valeryag

Уважаемая госпожа shwedka!

Выражаясь в афористике Козьмы Пруткова, хочу сказать, что Вы зрите в корень! Вы правы!!!
Расскажу, каким простым путём я пришёл к пониманию Ваших (справедливых в главном) реплик.

Исходя из того, что математическое доказательство представимо последовательностью импликаций, выписал цепочку умозаключений, составляющих квинтэссенцию моего доказательства. Вот эта цепочка:

1. Если имеется равенство $X^3+Y^3=Z^3$, (1) в котором $X, Y, Z$ - ненулевые целые взаимно простые числа,
то однозначно вытекает его $Z$- ричная запись:
$(X^3)_{Z}+(Y^3)_{Z}=(1000)_{Z}$. (2)
2. Если выполняется равенство (2),
то хотя бы одно из двух $Z$- ричных чисел $(X^3)_{Z}$ или $(Y^3)_{Z}$ запишется тремя $Z$-ричными разрядами. Не уменьшая общности, полагаем, что
$(X^3)_{Z}=(x_{2}x_{1}x_{0})_{Z}$. (3)
3. Если выполняется равенство (3),
то число $X^3$ однозначно представимо такой числовой знакоположительной степенной относительно $Z$ суммой:
$X^3=x_{2}\cdot Z^2+x_{1}\cdot Z+x_{0}$, (4)
где $x_{2}, x_{1}, x_{0}<Z$, $x_{2}\ne 0$.
4. Если выполняются равенства (1) и (4),
то число $Y^3$ однозначно представимо такой числовой знакоположительной степенной относительно $Z$ суммой:
$Y^3=y_{2}\cdot Z^2+y_{1}\cdot Z+y_{0}$, (5)
где $y_{2}, y_{1}, y_{0}<Z$, $y_{2}\ne 0$.
5. Если выполняется равенство (1),
то в числовой знакоположительной степенной относительно $Z$ сумме, равной числу $X^3$, число $Z$, имеющее большую (старшую) степень, должно быть больше суммы всех слагаемых с мeньшими степенями $Z$.
6. Если выполняется равенство (1),
то выполняется равенство $X^3=Z^3-Y^3$. (6)
7. Если выполняется равенство (6),
то число $X^3$ представляется такой числовой знакоположительной степенной относительно $Z$ суммой: $X^3=x^*_{2}\cdot Z^2+x^*_{1}\cdot Z+x^*_{0}$.
8. Если выполняется равенство (1),
то в числовой знакоположительной степенной относительно $Z$ сумме, равной числу $X^3$, число $Z$, имеющее большую (старшую) степень, должно быть меньше суммы всех слагаемых разложения с мeньшими степенями $Z$.

В импликативных высказываниях пунктов 5 и 8 антецедентные части одинаковы, а консеквентные части - противоположные. Налицо противоречие!

Решил проверить квинтэссенцию моего доказательства на её непротиворечивость на равенстве $X^2+Y^2=Z^2$ и, в частности, на примере пифагоровой тройки $15^2+8^2=17^2$. Выполняется вся цепочка импликаций, точно также налицо противоречие в импликативных высказываниях пунктов 5 и 8, но это противоречие не может быть истолковано, как невыполнимость равенства $X^2+Y^2=Z^2$. Такая же ситуация возможна и с гипотетическим равенством $X^3+Y^3=Z^3$.
Пришёл к выводу об истинности Вашей реплики:

Цитата
shwedka

Повторяю указание на ошибку.
1. Вы доказываете 'следствие 2' НЕ ДЛЯ ВСЕХ РАЗЛОЖЕНИЙ, а только для некоторых.
2. Вы применяете СЛЕДСТВИЕ 2 к такому разложению, для которого оно не доказано.

Уважаемая госпожа shwedka!

Как Вы убедились, я восприимчив к умным репликам оппонентов, тем более, что эти реплики высказываются в корректной форме. Обращаюсь к Вам с большой просьбой: посмотреть моё доказательство по Последней теореме Ферма, утверждающее, что не существует решений уравнения Ферма в ненулевых целых числах для показателей степени больших того, для которого (кем-то, когда-то) было доказано отсутствие таких решений. Это доказательство (в отличие от разгромленного Вами и ранее нигде не публиковавшегося доказательства для $n=3$) было опубликовано в трёх источниках. Не исключаю того, что рецензирование не было такого высокого уровня, как Ваш. Отмечу, что у того моего доказательства есть один серьёзный и вменяемый оппонент- bot, оформивший свои возражения в математической форме (в виде софизма). Но на этот софизм у меня есть контраргументы. Короче, очень интересно Ваше мнение. Прошу поддержать меня в обращении к модератору с тем, чтобы он разрешил выложить текст в данной теме.

С искренним уважением и большой благодарностью,
valeryag

Цитата
valeryag
....Это доказательство (в отличие от разгромленного Вами и ранее нигде не публиковавшегося доказательства для $n=3$) было опубликовано в трёх источниках. Не исключаю того, что рецензирование не было такого высокого уровня, как Ваш. ...

Вместо того, чтобы честно написать : "все мои "публикации" никто не рецензировал, я просто заплатил за них тем, кто опубликует за деньги любой бред", этот типчик выкаблучивается, всячески стараясь придать своим так называемым "публикациям" хоть какую-то значимость.
Смешно читать про такие "публикации".

Цитата

Неужели не видно, что в цепочке умозаключений они относятся к представлению числа X3, исходя из единственности его записи в Z- ричной позиционной системе счисления

Вот именно, не видно. Я упорно, с самого начала, от Вас добивалась, чтобы Вы это написали явно, но только сейчас добилась.

Ладно, если Модератор не запретит,
то я соглашаюсь посмотреть еще на ОДНО Ваше 'доказательство.' Только:
само рассуждение-- не нужно введений, истории вопроса, примеров и тп.'
Если чего-то будет недоставать, я спрошу.

Что важно- пишите точно. Если речь идет о каком-то представлении числа, не поленитесь написать, какого числа и какое представление. Если Вы пишете, что

Цитата

в котором число Z, имеющее большую (старшую) степень, будет больше суммы всех слагаемых с мeньшими степенями Z.

то знайте, что слова число Z, имеющее большую (старшую) степень смысла не имеют. НУжно писать
'слагаемое этого представления, имеющее большую (старшую) степень'.

Наконец, у высказывания .

Цитата

Имеющиеся публикации я не рассматриваю в качестве аргумента в пользу моего 'доказательства' для n=3.

правильная формулировка:

Имеющиеся публикации не рассматриваются в качестве аргумента в пользу 'доказательства'

Опять, пишите точно!