Интеграл от x/(sh x) от 0 до бесконечности

Автор темы aser (Ase) 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеHuawei - Research scientist (math)22.06.2021 11:25
04.01.2004 14:19
Интеграл от x/(sh x) от 0 до бесконечности
Народ, если будет свободное время, попробуйте посчитать, а? А то тут загрузили, а я чего-то уже Демидовича забыл, а, взяв, не нашёл нужное место :( А, может, и нет его там? Это не горит, но интересно просто. Он не считается без применения комплексного анализа (теоремы о вычетах) или это мы (несколько выпускников тервера) уже матан забыли?

Особая надежда на младшекуров и преподавателей! ;)
15.01.2004 14:16
ИСН
Да это просто.
\int(x/sh x)dx = 2\int(x*e^{-x})/(1-e^{-2x})dx = 2\sum\limits_0^\infty\int(x*e^{-(2n+1)x})dx =
2\sum\limits_0^\infty 1/(2n+1)^2 = \pi^2/4.

Комп то же самое говорит (в смысле, ответ, а не всю цепочку).
15.01.2004 17:01
Ase
Спасибо! (+)
Домножить на exp{-x} и развернуть в сумму геометрической прогрессии - это красиво! Единственно, не объясните, почему можно менять сумму и интеграл? Что-то не могу я тут равномерной сходимости ряда обнаружить...
И уж если будет время, не напомните ли, как доказывается, что сумма ряда \sum\limits_0^infty 1/n^2 равна \pi^2/6? Как я понимаю, именно это и используется в последнем равенстве.
15.01.2004 22:05
Хм, да...
...с доказательствами у меня всегда было не очень. Действительно, около x=0 сходимость не то чтобы равномерная. Не достаточно будет сказать, что у нас такая сходимость от \epsilon до \infty, а \epsilon можно сделать каким угодно маленьким?
Касательно \pi^2/6 - не помню способа проще, чем через ряды Фурье (хотя способ был). Будто бы этот факт как-то растёт из фурье-разложения для x^2.
17.01.2004 17:26
Basilisk
Еще способ...
\int{x/shx} заменить на \int{sh(ax)/shx} где 0<а<1, заменой он сводится к Эйлеровому ( вроде такой и в Демидовиче был) в итоге у меня получилось что-то вроде (pi/2)*tg{(a*pi)/2} делим на a и переходим к пределу a -> 0 это можно сделать т.к. все условия для этого выполнены и получим pi^2/4.
Таким образом еще и доказали что сумма обратных квадратов нечетных чисел равна pi^2/4 ;-).
А как же он с применением комплексного анализа считается? У подинтегральной ф-ции единственная особенность в бесконечности -- существенная?
18.01.2004 16:17
странно...
почему это мы x заменили на sh ?



Босс
20.01.2004 11:13
Basilisk
Так считать легче...
Может быть можно и не менять (наверно тоже получится)... Но после замены x на sh(ax), а затем после замены \exp{x}=t не будет логарифмов
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти