Отрицательное число в дробной степени!

Автор темы antananarivu 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеМатематики, программисты, репетиторов (платформа SapioX)28.01.2021 12:47
ОбъявлениеИсследовательские гранты фонда «БАЗИС» 202118.02.2021 17:56
20.07.2006 23:28
Отрицательное число в дробной степени!
Здравствуйте, может быть вопрос покажется Вам наивным и все-таки:
с одной стороны, возведение отрицательного числа в дробную степень невозможна по определению школьного учебника, кроме того у этого правила есть своя логика - "...что же касается возведения отрицательных чисел в дробную степень, то попробуйте возвести, скажем, число -8 сперва в степень 1/3, а затем в степень 2/6. Казалось бы, ввиду равенства 1/3=2/6, результаты должны совпадать. Однако они различаются знаком. Более того, в зависимости от способа возведения в степень 2/6 (сперва в квадрат, затем корень шестой степени или наоборот), может вообще оказаться, что результат не определен. Похожая неприятность происходит при возведении отрицательного числа -1 в степени 1/2 и 2/4. При абсолютном равенстве дробей первое абсолютно невозможно а второе можно считать равным 1 (корень четвертой степени из (-1 в квадрате)). По этой причине отрицательные числа в дробной степени в школьной математике не рассматриваются."
Но с другой стороны функция "корень третьей степени из икс" определена на всей числовой прямой.
1. Откуда такое противоречие? Как его разрешить?
2. Допустим, в частности: если попадется уравнение (х)^3=-8, писать х=-2 или писать, что уравнение не имеет корней?

21.07.2006 00:25
Ответ на 1,2
1. Почитайте, как определяется возведение в степень для комплексных чисел. Функция там получается многозначная. Так же можно действовать и для действительных.
2. Безусловно, x=-2 -- корень ур-я x^3=-8
Проблемы возникают при использовании обозначений "кубический корень" и "степень 1/3".
Меня в школе учили, что f(x)=x^(1/3) определена для неотриц. чисел, а g(х)=sqrt[3](x) -- для всех. Некоторые считают иначе.

21.07.2006 08:59
Чтобы дополнить
Берем уравнение (Х-7)^(Х+2)=1 Решая его стандартным методом, т.е. логарифмируя обечасти ур-я по какому-то основанию a=const, a>0, a не=1 получаем что корнем является Х=8, однако посмотрев на это ур-е повнимательнее замечаем что при Х=6 и Х=-2 данное уравнения обращается в верное равенство. НО при этих корнях основание нашей функции становится отрицательным, чего быть не должно по определению показательной ф-ии. Таким образом ответ будет х=8. Но с другой стороны если бы это была степенная функция и уравнение бы было такое: (x-7)^8=1, то один из корней был бы законно равен - х=6. То есть в рамках показательной функции мы корень отбрасываем, как не попадающий по ОДЗ, а в рамках степенной функции законно его находим и выписываем в ответ. Разве это не противоречие? И потом вполне может попаться задача или система уравнений в которых нужно будет использовать оба этих уравнения, или вообще (правда не могу придумать хорошего примера) найдется такое задание, которое можно будет решить двумя различными способами - в одном случае сведя задачу к показательному уравнению, в другом случае к степенному - и тогда ответ вообще будет зависеть оттого какой из способов решения мы выберем! Прокомментируйте пожалуйста! Я не нахожу выхода!
21.07.2006 09:29
Мой вывод
Я так понимаю, что путанница связана с тем, что в школьной программе не проходится понятие комплексных чисел, из за этого упрощения и возникают такие казусы. Например, в одном моем учебнике, действительно написано, что корень третьей степени из отричательного числа существует, а в следующей главе, что для отрицательных чисел возведение в нецелочисленную степень не имеет смысла. Я так понимаю, что с этим несоответствием надо смириться и действовать так скажем в правовом поле предложенном нам, верно я мыслю? То есть если мы имеем дело с показательной функцией, мы с чистой совестью не рассматривает отрицательное основание, если же нам нужно извлечь корень третьей степени из -8, или продлить функцию y=корень третьей степени из х на отрицательные числа мы тоже с чистой совестью это делаем. Правильно я понял?
P.S. Правда все равно немножко непонятно, что же тогда делать с функцией y=x^1/3 при х<0. С одной стороны, она не имеет смысла, с другой стороны мы можем ее преобразовать к функции корень третьей степени из х и работать с ней на всей числовой прямой. А что делать например с функциями y=x^2/6 или y=x^2/3 тоже преобразовывать к корням и надеяться что все нормально или писать, что все таки они не имеют смысла?

24.07.2006 12:35
Жаль
Неужели эта тема настолько никому неинтересна? Или вопрос слишком банален? Жалко, очень бы хотел послушать мнения на этот счет!
25.07.2006 00:53
когда выражение a^b имеет смысл
выражение a^b для действительных a и b считается имеющим смысл в следующих случаях:
1) a>0
2) a=0, b>0
3) b целое

Некоторые придают ему смысл и в других случаях:
4) a отрицательно, b -- дробь с нечётным знаменателем.
5) a=b=0

Решая уравнения, надо разбирать случаи 123.

25.07.2006 09:12
Спасибо!
17.03.2007 18:06
Насчет уравнения
(Х-7)^(Х+2)=1
Кажется, при логарифмировании Вами был забыт модуль:
(X+2)*ln|x-7| = 0
x1 = -2
|x - 7| = 1
x2 = 8
x3 = 6
19.03.2007 11:26
Потому что это многозначная функция.
Вообще -1^sqrt(2) имеет счётное число комплекстных значений распределённых на единичной окружности.

Вообще -1=exp(Pi*I+2*Pi*I*n), где n - целое, далее возведём в степень sqrt(2), получится вот это:

-1^sqrt(2)=exp(Pi*I*sqrt(2)+2*sqrt(2)*Pi*I*n), для всех целых n это верно. Это счётное число значений!

Если же степень дробная, то число значений будет конечно.

a, b - целые.

-1^(a/b)=exp(Pi*I*a/b+2*Pi*I*a*n/b)

Если a/b не сократима, то значений будет b.

----------------------------------------------------------------

-8^(1/3)=2*(-1^(1/3))=2*exp(Pi*I/3+2*Pi*I*n/3)

Всего 3 значения.

2*exp(Pi*I/3) = 1+sqrt(3)*I
2*exp(Pi*I) = -2
2*exp(Pi*I*5/3) = 1-sqrt(3)*I

19.03.2007 14:06
очевидное
По-моему, все дело в обозначениях.
Если вы обозначаете кубический корень как 1/3, то не нужно учитывать абсолютное равенство 1/3=2/6=..., поскольку это просто обозначение, трактующее два действия, последовательность которых регулируется областью допустимых значений того, что возводится в степень. То есть равенство 1/3=2/6 в каком то случае будет в обе стороны, а в каком-то только в одну.
И правильно сказали, что все ответы раскрыты в комплексном анализе.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти