Автокатализ

Автор темы dashakiev 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий и рекламы в форуме26.03.2008 03:07
ОбъявлениеРекомендации по использованию теха в нашем форуме15.04.2017 21:40
ОбъявлениеВычисление параметров смешанной модели15.11.2017 16:57
22.03.2015 22:23
Автокатализ
Здравствуйте, на олимпиаде по химии попалась следующая задача:

В системе находится некоторое количество катализатора (K) и субстрата (S). В эту систему так же с постоянной скоростью q (на ед. объема) поступает вещество E, которое реагирует с K, превращая его в вещество A (ни S, ни K, ни A из системы не уходят).
Вещество A в свою очередь реагирует с S , образуя в-во K. Кроме того в-ва A и K подвержены самопревращению в в-во S. Эти реакции описываются такими химическими формулами:

$K + E\to^{k_1}\toA$

$A + S\to^{k_2}\to2K$

$K\to^{k_3}\toS$

$A\to^{k_3}\toS$

Здесь${k_1}\,,{k_2}\,,{k_3}$ коэффициенты скоростей соответствующих реакций.
Математическая модель этих реакций записывается следующей системой дифференциальных уравнений:

$\left{\begin{array}{l}\frac{{dK}}{{dt}} = - {k_1}KE + 2{k_2}AS - {k_3}K \\ \frac{{dA}}{{dt}} = {k_1}KE - {k_2}AS - {k_3}A \\ \frac{{dS}}{{dt}} = - {k_2}AS + {k_3}K + {k_3}A \\ \frac{{dE}}{{dt}} = q - {k_1}KE \\ \end{array}$

Надо выяснить существуют ли у данной системы устойчивые стационарные решения и если существуют, то при каких допустимых значениях q.

Буду признательна за любую помощь.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 27.03.2015 00:02.
23.03.2015 20:32
Автокатализ
Данная система уравнений нелинейна, поэтому решить ее в общем виде не представляется возможным (по крайней мере у меня не получилось). Здесь достаточно описать поведение системы при t стремящемся к бесконечности. Интересует именно ее устойчивость.
25.03.2015 11:55
Автокатализ
Попробуйте для начала найти значения переменных K, A, S в стационарном режиме.
25.03.2015 22:58
Автокатализ
Цитата
father
Попробуйте для начала найти значения переменных K, A, S в стационарном режиме.

В стационарном режиме $\frac{dK}{dt}=\frac{dA}{dt}=\frac{dS}{dt}=0$
Тогда последнее дифф. уравнение можно переписать:
$0=q-{k_1}\,KE$, откуда $q={k_1}\,KE$. Если теперь записать первые три дифф. ур-ия, то получится:

$\left{\begin{array}{l}0 = -q + 2{k_2}AS - {k_3}K \\ 0 = q - {k_2}AS - {k_3}A \\ 0 = - {k_2}AS + {k_3}K + {k_3}A \\ \end{array}$.
Умножив второе ур-ие на 2 и сложив с первым получаем:

$0=q-{k_3}\,K-2{k_3}\,A$. Отсюда можно выразить K через A:

$K=\frac{q}{k_3}-2A$.

Из $\frac{dK}{dt}=\frac{dA}{dt}=\frac{dS}{dt}=0$ следует $K+A+S=M\,(const)$.

Тогда $S+A+\frac{q}{k_3}-2A=M$ или $S+\frac{q}{k_3}-A=M$.

Тогда $S=M+A-\frac{q}{k_3}$

Остальное решение завтра-послезавтра wink



Редактировалось 1 раз(а). Последний 01.04.2017 20:41.
26.03.2015 23:58
Автокатализ
Теперь можно подставить замены во второе уравнение системы дифф. ур-ий:

$0=q-{k_2}\,A(M+A-\frac{q}{k_3})-{k_3}\,A$

$0=\frac{q}{k_3}-\frac{k_2}{k_3}\,A(M+A-\frac{q}{k_3})-A$

умножаем на $\frac{k_3}{k_2}$ , получаем

$0=\frac{q}{k_2}-MA+A^2-\frac{q}{k_3}A-\frac{k_3}{k_2}A$

$0=\frac{q}{k_2}-A^2+(\frac{q}{k_3}-M-\frac{k_3}{k_2})A$ или

$A^2-(\frac{q}{k_3}-M-\frac{k_3}{k_2})A-\frac{q}{k_2}=0$. Еще одно маленькое преобразование

$A^2+(M-\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})A-\frac{q}{k_2}=0$

Дискриминант этого квадратного уравнения равен:

$D=(M-\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}$

при любых допустимых значениях $M и q\, (M>0, q>0)$ значение дискриминанта положительно

Решением этого уравнения есть два корня:

$A_1=\frac{-(M-\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})-\sqrt{(M-\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}}}{2}$

$A_2=\frac{-(M-\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})+\sqrt{(M-\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}}}{2}$

Продолжение следует...
27.03.2015 12:12
Автокатализ
Первый корень посторонний так как при любых допустимых значениях $M$ и $q$ значение $A$ будет отрицательно.
27.03.2015 12:15
Автокатализ
И, наоборот, при любых допустимых значениях $M$ и $q$ второй корень всегда положительный.
27.03.2015 12:38
Автокатализ
Но второй корень по условиям задачи должен быть не больше $M$.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 27.03.2015 12:39.
27.03.2015 13:00
Автокатализ
Еще одно ограничение $K+A\leqM$ или $\frac{q}{k_3}-2A+A\leqM$, и окончательно

$\frac{q}{k_3}-A\leqM$
28.03.2015 00:34
Автокатализ
Цитата
father
Еще одно ограничение $K+A\leqM$ или $\frac{q}{k_3}-2A+A\leqM$, и окончательно

$\frac{q}{k_3}-A\leqM$

Согласна. Упорядочим области значений переменных $A,\,K,\, S$

т.к. переменная $S$ определяется заданной величиной $M$ и переменными $А$ и $K$, то необходимо и достаточно найти области значений переменных $А$ и $K$ при которых выполняются следующие неравенства:

$0\leqK$;

$0\leqA$;

$K+A\leqM$

Во втором ур-ии переменная $A$ всегда положительна, если она является одним из решений квадратного уравнения приведенного выше.

Переменную $K$ можно выразить через $A$: $K=\frac{q}{k_3}-2A$. Тогда $\frac{q}{k_3}-2A\geq0$
28.03.2015 14:32
Автокатализ
или $\frac{q}{k_3}-2\frac{-(M-\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})+\sqrt{(M-\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}}}{2}\geq0$.

Приведем подобные и перенесем выражение под квадратным корнем в правую часть. Получаем:

$M+\frac{k_3}{k_2}\geq\sqrt{(M-\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}}$. Возведем в квадрат обе части:

$(M+\frac{k_3}{k_2})^2\geq{(M+\frac{k_3}{k_2}-\frac{q}{k_3})^2+\frac{4q}{k_2}}$ или

$(M+\frac{k_3}{k_2})^2\geq({(M+\frac{k_3}{k_2})^2-2\frac{q}{k_3}(M+\frac{k_3}{k_2})+\frac{q^2}{k_3^2}+\frac{4q}{k_2}}$. Упрощаем:

$2\frac{q}{k_3}(M+\frac{k_3}{k_2})\geq\frac{q^2}{k_3^2}+\frac{4q}{k_2}$. Окончательно:

$M\geq\frac{q}{2k_3}+\frac{k_3}{k_2}$
28.03.2015 15:14
Автокатализ
Последнее неравенство является условием при котором $K$ больше нуля.

Наконец рассмотрим неравенство $K+A\leqM$ или $\frac{q}{k_3}-2A+A\leqM$, откуда

$\frac{q}{k_3}-A\leqM$. Подставляем $A$:

$\frac{q}{k_3}-\frac{-(M-\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})+\sqrt{(M-\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}}}{2}\leqM$. После упрощений получается

$\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2}-\sqrt{(M-\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}}\leqM$ или

$\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2}-M\leq\sqrt{(M-\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}}$

При $M\geq\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2}$ неравенство истинно т.к. слева будет отрицательная величина (а справа положительная).

При $M\leq\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2}$ обе части неравенства положительны и что бы избавиться от квадратного корня каждую нужно возвести в квадрат:

$(\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2}-M)^2\leq{(M-(\frac{q}{k_3}-\frac{k_3}{k_2}))^2+\frac{4q}{k_2}$

После раскрытия скобок получаем:

$(\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2-2M(\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})+M^2\leqM^2-2M(\frac{q}{k_3}-\frac{k_3}{k_2})+(\frac{q}{k_3}-\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}$.

Т.к. $(\frac{q}{k_3}-\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}=(\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2$, то последнее неравенство можно переписать так:

$(\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2-2M(\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})+M^2\leqM^2-2M(\frac{q}{k_3}-\frac{k_3}{k_2})+(\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2$.

После приведения подобных получается $0\leq\frac{2k_3}{k_2}$. Значит неравенство истинно и при $M\leq\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2}$.

Ранее уже был получен результат $M\geq\frac{q}{2k_3}+\frac{k_3}{k_2}$. Т.о. при выполнении последнего неравенства все значения $K,A,S$ в стационарном состоянии системы будут неотрицательны, а сумма любых двух переменных будет не больше $М$ (сумма всех трех переменных по условию равна $M$).



Редактировалось 4 раз(а). Последний 29.03.2015 16:16.
29.03.2015 16:25
Автокатализ
Теперь осталось 1) доказать что если наша система очутилась в стационарном состоянии, то она может находится в нем сколь угодно долго (устойчива по Ляпунову) и 2) найти дополнительные условия (если они есть), при которых исследуемая система в течении конечного времени окажется в таком стационарном (равновесном) состоянии. Начну с устойчивости по Ляпунову.
Про устойчивость по Ляпунову я прочитала в книге Я.Б. Зельдовича и А.Д. Мышкиса "Элементы прикладной математики" (издание третье, изд-во "Наука".М.1972г. стр.230-235, 247-249)



Редактировалось 1 раз(а). Последний 29.03.2015 16:35.
29.03.2015 19:37
Автокатализ
Система

$\left{\begin{array}{l}\frac{{dK}}{{dt}} = - {k_1}KE + 2{k_2}AS - {k_3}K \\ \frac{{dA}}{{dt}} = {k_1}KE - {k_2}AS - {k_3}A \\ \frac{{dS}}{{dt}} = - {k_2}AS + {k_3}K + {k_3}A \\ \frac{{dE}}{{dt}} = q - {k_1}KE \\ \end{array}$

в стационарном состоянии приобретает вид

$\left{\begin{array}{l}0 = - {k_1}{K_0}{E_0} + 2{k_2}{A_0}{S_0} - {k_3}{K_0} \\ 0 = {k_1}{K_0}{E_0} - {k_2}{A_0}{S_0} - {k_3}{A_0} \\ 0 = - {k_2}{A_0}{S_0} + {k_3}{K_0} + {k_3}{A_0} \\ 0 = q - {k_1}{K_0}{E_0} \\ \end{array}$

здесь ${K_0},\,{A_0},\,{S_0}$ значения переменных когда система находится в стационарном режиме.

Если сложить три первых уравнения получим тождество $0\equiv0$. Другими словами одно из этих уравнений лишнее и его можно исключить, а исключенную переменную выразить через две других. Я выбрала переменную $K$. ($K=M-A-S$). Теперь можно написать новую систему ур-ий:

$\left{\begin{array}{l}0 = {k_1}(M-S_0-A_0){E_0} - {k_2}{A_0}{S_0} - {k_3}{A_0} \\ 0 = - {k_2}{A_0}{S_0} + {k_3}(M-S_0-A_0) + {k_3}{A_0} \\ 0 = q - {k_1}(M-S_0-A_0){E_0} \\ \end{array}$

Дальше нужно составить характеристическое уравнение:

$\left| {({P_A}^')_0}-p\,\,\,\,\, {({P_S}^')_0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{({P_E}^')_0}\,\,\,\,\, \right|$
$\left| {({Q_A}^')_0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, {({Q_S}^')_0}-p\,\,\,\,\,\,{({Q_E}^')_0}\,\,\,\,\, \right|=0$
$\left| {({W_A}^')_0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, {({W_S}^')_0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,{(W_E}^')_0}-p\right|$

где

${({P_A}^')_0}=-{k_1}{E_0}-{k_2}{S_0}-{k_3}$
${({P_S}^')_0}=-{k_1}{E_0}-{k_2}{A_0}$
${({P_E}^')_0}={k_1}{(M-S_0-A_0)}={k_1}{K_0}$
$ {({Q_A}^')_0}=- {k_2}{S_0}$
${({Q_S}^')_0}=- {k_2}{A_0} -{k_3}$
${({Q_E}^')_0}=0$
${({W_A}^')_0}={k_1}{E_0}$
${({W_S}^')_0}={k_1}{E_0}$
${({W_E}^')_0}=-{k_1}(M-S_0-A_0)=-{k_1}{K_0}$



Редактировалось 4 раз(а). Последний 29.03.2015 20:55.
29.03.2015 21:17
Вопросы
Пытаюсь разобраться с происходящим, но возникает ряд вопросов:
1) Вот этот момент
Цитата
dashakiev
Здесь достаточно описать поведение системы при t стремящемся к бесконечности. Интересует именно ее устойчивость.
как следует понимать? Интересует именно асимптотическая устойчивость или же просто устойчивость по Ляпунову?
2) Явно это не оговаривается, поэтому на всякий случай лучше уточнить: какие ограничения накладываются на параметры и функции? Верно ли, что $k_{1,2,3}>0$, $K,A,S,E\ge0$? В промежуточных вычислениях заметил предложение отбросить один из корней уравнения
Цитата
dashakiev
$A^2-(\frac{q}{k_3}-M-\frac{k_3}{k_2})A-\frac{q}{k_2}=0$
из-за разных знаков двух корней, что автоматически влечет $q\ge0$ при $k_2>0$, так ли это?
3) Насколько я понял, $M=K+A+S$ (кстати, $K+A+S=const$ выполняется и в нестационарном режиме). Чем вызвана необходимость использовать именно такой параметр для стационарного режима (применяете какой-то конкретный метод)? Спрашиваю просто потому что параметр выглядит сильно неудобным и приводит даже к появлению радикалов, что лишь осложнит дальнейший анализ. Например, взяв в качестве исходного параметра $A=p$, можно получить более адекватную серию решений для стационарного режима:
$K=\frac{q-2k_3p}{k_3}$, $A=p$, $S=\frac{q-k_3p}{k_2p}$ и $E=\frac{k_3q}{k_1(q-2k_3p)}$ при $p\ne0$ и $p\ne\frac{q}{2k_3}$ и любом q
или побочный случай, который может возникнуть только при $q=0$:
$K=0$, $A=0$, $S=a$ и $E=b$, a и b - любые

И еще, если в последнем посте Вы анализируете устойчивость в первом приближении стандартным путем (может быть используете какой-то модифицированный метод?), то сначала нужно ввести замены в исходное уравнение так, чтобы исследуемое решение оказалось нулевым в новой системе.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 29.03.2015 21:26.
01.04.2015 00:06
Автокатализ
Цитата
anton25
Пытаюсь разобраться с происходящим, но возникает ряд вопросов:
1) Интересует именно асимптотическая устойчивость или же просто устойчивость по Ляпунову?

Вы знаете, не могу вам прямо ответить на этот вопрос, по причине того что не владею материалом достаточно хорошо. Я понимаю что между устойчивостью по Ляпунову и асимптотической устойчивостью должно быть какое-то различие но в чем оно заключается для конкретного примера пока не улавливаю. Мне нужно просто показать что при попадании системы в стационарное состояние она а) будет находится в нем бесконечно долго б) при небольших случайных отклонениях в системе возникают "силы" снова возвращающие ее в состояние стационарности.
Цитата
anton25
2) Явно это не оговаривается, поэтому на всякий случай лучше уточнить: какие ограничения накладываются на параметры и функции? Верно ли, что $k_{1,2,3}>0$, $K,A,S,E\ge0$? В промежуточных вычислениях заметил предложение отбросить один из корней уравнения
.
Простите, забыла записать это в условиях задачи. Данная система дифф. уравнений моделирует химические процессы в которых все переменные - это вещества, значения которых не отрицательны, а константы скоростей реакций строго положительны. $q$- это поток "энергетика" $E$ в систему, который активизируют катализатор $K$. На самом деле $A, K, S$ это различные формы одного и того же вещества количество которого постоянно, равно $M$ и является заданным параметром. Поэтому отрицательные значения переменных здесь - посторонние решения, а $M=A+K+S$ для любого момента времени (t).
Цитата
anton25
3) Насколько я понял, $M=K+A+S$ (кстати, $K+A+S=const$ выполняется и в нестационарном режиме). Чем вызвана необходимость использовать именно такой параметр для стационарного режима (применяете какой-то конкретный метод)? Спрашиваю просто потому что параметр выглядит сильно неудобным и приводит даже к появлению радикалов, что лишь осложнит дальнейший анализ. Например, взяв в качестве исходного параметра $A=p$, можно получить более адекватную серию решений для стационарного режима:
$K=\frac{q-2k_3p}{k_3}$, $A=p$, $S=\frac{q-k_3p}{k_2p}$ и $E=\frac{k_3q}{k_1(q-2k_3p)}$ при $p\ne0$ и $p\ne\frac{q}{2k_3}$ и любом q
или побочный случай, который может возникнуть только при $q=0$:
$K=0$, $A=0$, $S=a$ и $E=b$, a и b - любые
Действительно, так выглядит намного проще. Возможно так и нужно сделать.
Цитата
anton25
И еще, если в последнем посте Вы анализируете устойчивость в первом приближении стандартным путем (может быть используете какой-то модифицированный метод?), то сначала нужно ввести замены в исходное уравнение так, чтобы исследуемое решение оказалось нулевым в новой системе.
Я хотела показать свое решение характеристического уравнения, но пока не разобралась каким образом на этом форуме в TeX записывать определитель.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 01.04.2015 07:55.
01.04.2015 22:19
О различии
Цитата
dashakiev
... Я понимаю что между устойчивостью по Ляпунову и асимптотической устойчивостью должно быть какое-то различие но в чем оно заключается для конкретного примера пока не улавливаю. Мне нужно просто показать что при попадании системы в стационарное состояние она а) будет находится в нем бесконечно долго б) при небольших случайных отклонениях в системе возникают "силы" снова возвращающие ее в состояние стационарности.
Про различие: система (диффуров) имеет бесконечно много решений, но для каждого конкретного набора начальных данных (значений Ваших функций в начальный момент времени) она имеет только одно единственное решение и если эти самые начальные данные хотя бы немного поменяются, то поменяется и решение системы. Обычная устойчивость (по Ляпунову относительно начальных условий) конкретного решения системы (решения для каких-то фиксированных начальных данных) означает, что достаточно малому изменению его начальных данных соответствует и достаточно малое изменение решения, т.е. мы можем указать такую окрестность исходных начальных данных, что решение системы, соответствующее любой точке этой окрестности будет сколь угодно мало отличаться от исследуемого нами решения при любом $t>t_0$, причем это “сколь угодно мало” мы выбираем сами (после чего указываем окрестность). Асимптотически устойчивое решение подчиняется тому же самому (т.е. является устойчивым), но дополнительно требует существования такой окрестности своих начальных данных, что решение системы, соответствующее любой точке этой окрестности, в пределе при $t\to+\infty$ совпадало с исследуемым решением. Например, произвольное решение системы $\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt}=-x+y \\ \frac{dy}{dt}=x-y \end{array}$, соответствующее начальным данным $x(t_0)=a$ и $y(t_0)=b$ имеет вид $\left(\begin{array}{r}x_a(t)\\y_b(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} \frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}e^{-2(t-t_0)} \\ \frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}e^{-2(t-t_0)} \end{array}\right)$. Стационарное решение $\left(\begin{array}{r}x_0(t)\\y_0(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0\\0\end{array}\right)$, соответствующее естественным начальным условиям $x_0(t_0)=0$ и $y_0(t_0)=0$ является устойчивым, поскольку, например, при любых a и b таких, что $\left|\left(\begin{array}{r}x_0(t_0)\\y_0(t_0)\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}a\\b\end{array}\right)\right|<\epsilon$ и при любом $t>t_0$ выполняется $\left|\left(\begin{array}{r}x_0(t)\\y_0(t)\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}x_a(t)\\y_b(t)\end{array}\right)\right|<\epsilon$ для любого $\epsilon>0$. Однако это решение не является асимптотически устойчивым, т.к. $\lim_{t\to+\infty}\left|\left(\begin{array}{r}x_0(t)\\y_0(t)\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}x_a(t)\\y_b(t)\end{array}\right)\right|=\frac{a+b}{\sqrt{2}}\ne0$. Другой пример, нулевое решение уравнения $\frac{dy}{dt}=-y$ аналогичным образом является устойчивым и даже асимптотически устойчивым, в силу $\lim_{t\to+\infty}(0-Ce^{-t})=0$

Я не совсем понял что означает Ваш случай a), ведь если система находится в стационарном состоянии, которое не зависит от времени, то без доп. возмущений она итак из него никогда не уйдет. Может быть здесь как раз имеется в виду обычная устойчивость, т.е. при малом возмущении новое состояние системы будет мало отличаться от ее прежнего стационарного состояния. Случай б) это как раз асимптотическая устойчивость, т.е. даже если решение поменяется в результате достаточно малого изменения начальных данных, то каким бы оно ни стало, с увеличением t оно все равно будет стремиться к прежнему стационарному решению. Отмечу, что исследование устойчивости в первом приближении, которое Вы применяете (с определителем) не может идентифицировать обычную устойчивость. Как вы наверняка знаете, если все вещественные части всех собственных чисел соотв. матрицы отрицательны, то решение асимптотически устойчиво, а если имеется хотя бы одно собственное число с положительной вещественной частью, то решение неустойчиво (в обычном смысле и соответственно в асимптотическом). Однако, если исследуемое решение устойчиво, но не асимптотически устойчиво, то данный метод не даст никакого результата. Хотя, вполне возможно, что в процессе решения такой ситуации и не возникнет, т.е. при всех значениях параметров (скорость и т.п.) вещественная часть собственного числа с наибольшей вещественной частью будет отлична от нуля.

P.S. определитель в ТеХе (как и матрица)
\left|\begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array}\right|
вид:
$\left|\begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array}\right|$



Редактировалось 3 раз(а). Последний 02.04.2015 00:30.
01.04.2015 23:40
Про "М"
Цитата
dashakiev
... На самом деле $A, K, S$ это различные формы одного и того же вещества количество которого постоянно, равно $M$ и является заданным параметром. Поэтому отрицательные значения переменных здесь - посторонние решения, а $M=A+K+S$ для любого момента времени (t).
Т.е., как я понял, M сродни параметрам $k_i$ и не меняется даже при изменениях начальных условий?
Если все так, то возникает совсем иная ситуация и формулы которые я приводил не применимы (по крайней мере не все). Дело в том, что если бы M изменялась с возмущением, то относительно Вашей исходной системы
Цитата
dashakiev
$\left{\begin{array}{l}\frac{{dK}}{{dt}} = - {k_1}KE + 2{k_2}AS - {k_3}K \\ \frac{{dA}}{{dt}} = {k_1}KE - {k_2}AS - {k_3}A \\ \frac{{dS}}{{dt}} = - {k_2}AS + {k_3}K + {k_3}A \\ \frac{{dE}}{{dt}} = q - {k_1}KE \\ \end{array}$
все стационарные решения описывались бы приведенными мной формулами и, как Вы можете видеть, их (решений) бесконечно много, а функция их определяющая непрерывна по параметру p в своей области определения (все действительные числа без двух точек, пока без учета неотрицательности функций). Из этого следует, что для любого стационарного решения всегда найдется сколь угодно близкое к нему (но не совпадающее с ним) другое стационарное решение, что автоматически влечет отсутствие асимптотической устойчивости. Аналогично и с серией решений параметризованной через a и b, т.е. все стационарные решения системы асимптотически неустойчивы (но не обязательно просто неустойчивы) при любом q.
Однако, если M неизменно даже при возмущении, то это накладывает дополнительное условие, которое будет связывать исходные начальные данные и отклоненные, поэтому лучше сразу избавиться от этой ситуации, переписав исходную систему, и анализировать на устойчивость уже новую систему вида
$\left\{ \begin{array}{l} \frac{dA}{dt} = k_1(M-A-S)E - k_2AS - k_3A \\ \frac{dS}{dt} = - k_2AS + k_3(M-A-S) + k_3A \\ \frac{dE}{dt} = q - k_1(M-A-S)E \\ \end{array}$
(что Вы, собственно, и начали делать), решением которой будут векторы $\left(\begin{array}{rr} A \\ S \\ E \end{array}\right)$. При этом, для бесконечных серий решений
Цитата

$K=\frac{q-2k_3p}{k_3}$, $A=p$, $S=\frac{q-k_3p}{k_2p}$ и $E=\frac{k_3q}{k_1(q-2k_3p)}$ при $p\ne0$ и $p\ne\frac{q}{2k_3}$ и любом q
или побочный случай, который может возникнуть только при $q=0$:
$K=0$, $A=0$, $S=a$ и $E=b$, a и b - любые
при помощи условия K+A+S=M первая серия преобразуется только в одно (максимум 2) решение (параметр p явно выражается через M), вторая серия (может возникать только при q=0) преобразуется к виду $A=0$, $S=M$ и $E=b$, т.е. остается серией. Ну и можно наложить условие неотрицательности на решение и т.п. Вообще, можно использовать p и заменить потом его на конкретное значение в самом конце.

P.S. Имеется еще один вопрос: параметры $k_{1,2,3}$ и $M$ до самого конца остаются параметрами, или для них все таки имеются какие-то числовые значения?



Редактировалось 2 раз(а). Последний 01.04.2015 23:43.
04.04.2015 20:58
Автокатализ
Спасибо за пояснения, у меня есть один вопрос: если система находится в стационарном состоянии (в физике говорят в состоянии динамического равновесия), то при малом возмущении устойчивые по Ляпунову системы но не устойчивые асиптотически просто переходят в новое близкое к предыдущему стационарное состояние. Правильно?
Цитата
anton25
Я не совсем понял что означает Ваш случай a), ведь если система находится в стационарном состоянии, которое не зависит от времени, то без доп. возмущений она итак из него никогда не уйдет.
Дело в том что параметр $q$ хотя по условию и является константой в реальности подвержен небольшим случайным отклонениям. Константы $k_{1,2,3}$ в химии называются константами скорости реакции и на самом деле имеют функциональную зависимость от температуры. Т.к. температура окружающей среды даже при самых идеальных условиям тоже может слегка колебаться то вместе с ней "колеблются" константы скорости: все эти факторы приводят к тому что стационарная система все время "ощущает внешние толчки", которые пытаются вывести ее из состояния равновесия.
Цитата
anton25
Может быть здесь как раз имеется в виду обычная устойчивость, т.е. при малом возмущении новое состояние системы будет мало отличаться от ее прежнего стационарного состояния. Случай б) это как раз асимптотическая устойчивость, т.е. даже если решение поменяется в результате достаточно малого изменения начальных данных, то каким бы оно ни стало, с увеличением t оно все равно будет стремиться к прежнему стационарному решению. Отмечу, что исследование устойчивости в первом приближении, которое Вы применяете (с определителем) не может идентифицировать обычную устойчивость. Как вы наверняка знаете, если все вещественные части всех собственных чисел соотв. матрицы отрицательны, то решение асимптотически устойчиво, а если имеется хотя бы одно собственное число с положительной вещественной частью, то решение неустойчиво (в обычном смысле и соответственно в асимптотическом). Однако, если исследуемое решение устойчиво, но не асимптотически устойчиво, то данный метод не даст никакого результата. Хотя, вполне возможно, что в процессе решения такой ситуации и не возникнет, т.е. при всех значениях параметров (скорость и т.п.) вещественная часть собственного числа с наибольшей вещественной частью будет отлична от нуля.
Давайте я покажу свое решение характеристического уравнения а вы поможете сделать правильные выводы из этого решения. Пока, к сожалению, мои познания в устойчивых-неустойчивых решениях крайне недостаточны.
04.04.2015 21:04
Автокатализ
Цитата
anton25
[P.S. Имеется еще один вопрос: параметры $k_{1,2,3}$ и $M$ до самого конца остаются параметрами, или для них все таки имеются какие-то числовые значения?
Числовых значений нет, я пытаюсь решить эту задачу в самом общем виде.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 04.04.2015 22:05.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти