Автокатализ

Автор темы dashakiev 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий и рекламы в форуме26.03.2008 03:07
ОбъявлениеРекомендации по использованию теха в нашем форуме15.04.2017 21:40
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
04.04.2015 22:33
Автокатализ
$\left|\begin{array}{rr} -{k_1}{E_0}-{k_2}{S_0}-{k_3}-p & -{k_1}{E_0}-{k_2}{A_0} & {k_1}{K_0} \\ -{k_2}{S_0} & - {k_2}{A_0} -{k_3}-p & 0\\ {k_1}{E_0} & {k_1}{E_0} & -{k_1}{K_0}-p\end{array}\right|=0$

получилось такое характеристическое уравнение (немного кривовато)



Редактировалось 2 раз(а). Последний 04.04.2015 23:43.
04.04.2015 23:33
Автокатализ
Прибавляем к первой строке третью:
$\left|\begin{array}{rr} -{k_2}{S_0}-{k_3}-p & -{k_2}{A_0} & -p \\ -{k_2}{S_0} & - {k_2}{A_0} -{k_3}-p & 0\\ {k_1}{E_0} & {k_1}{E_0} & -{k_1}{K_0}-p\end{array}\right|=0$

далее умножаем вторую строку на $-1$ и прибавляем к первой строке:

$\left|\begin{array}{rr} -{k_3}-p & {k_3}+p & -p \\ -{k_2}{S_0} & - {k_2}{A_0} -{k_3}-p & 0\\ {k_1}{E_0} & {k_1}{E_0} & -{k_1}{K_0}-p\end{array}\right|=0$

теперь прибавляем ко второму столбцу первый:

$\left|\begin{array}{rr} -{k_3}-p & 0 & -p \\ -{k_2}{S_0} & - {k_2}(M-{K_0})-{k_3}-p & 0\\ {k_1}{E_0} & 2{k_1}{E_0} & -{k_1}{K_0}-p\end{array}\right|=0$

потом умножаем первый столбец на $-2$ и прибавляем к нему второй:

$\left|\begin{array}{rr} 2({k_3}+p) & 0 & -p \\ -{k_2}({A_0}-{S_0})-{k_3}-p & - {k_2}(M-{K_0})-{k_3}-p & 0\\ 0 & 2{k_1}{E_0} & -{k_1}{K_0}-p\end{array}\right|=0$

и наконец умножаем вторую строку и третий столбец на $-1$:

$\left|\begin{array}{rr} 2({k_3}+p) & 0 & p \\ {k_2}({A_0}-{S_0})+{k_3}+p & {k_2}(M-{K_0})+{k_3}+p & 0\\ 0 & 2{k_1}{E_0} & {k_1}{K_0}+p\end{array}\right|=0$

Коэффициенты находящиеся под знаком определителя неотрицательны. Для всех коэффициентов кроме одного это очевидно. "Подозрительный" коэфф находится на пересечении первого столбца и второй строки: ${k_2}({A_0}-{S_0})+{k_3}$, его неотрицательность нужно доказать:

из $S_0=M+A_0-\frac{q}{k_3}$ (см. 1-ю стр.) получаем $A_0-S_0=\frac{q}{k_3}-M$. С другой стороны ранее я уже вывела что $M\leq\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2}$ или $-\frac{k_3}{k_2}\leq\frac{q}{k_3}-M$ откуда
$-\frac{k_3}{k_2}+\theta =\frac{q}{k_3}-M$, где $\theta \geq0$. теперь можно расписать:
${k_2}({A_0}-{S_0})+{k_3}$
${k_2}(\frac{q}{k_3}-M)+{k_3}$
${k_2}(-\frac{k_3}{k_2}+\theta) +{k_3}\geq0$. Значит и ${k_2}({A_0}-{S_0})+{k_3}\geq0$, что и требовалось доказать



Редактировалось 2 раз(а). Последний 05.04.2015 16:11.
04.04.2015 23:58
Ответ
Цитата
dashakiev
у меня есть один вопрос: если система находится в стационарном состоянии (в физике говорят в состоянии динамического равновесия), то при малом возмущении устойчивые по Ляпунову системы но не устойчивые асиптотически просто переходят в новое близкое к предыдущему стационарное состояние. Правильно?
Не совсем. Новое решение не обязано быть стационарным, но все равно будет близким к первоначальному решению. Вот, скажем, уже упоминавшийся в теме пример уравнения $y'=-y$. Уравнение имеет единственное стационарное решение $y(t)=0$ с естественными условиями $y(0)=0$. Предположим, что система, первоначально находившаяся в этом стационарном состоянии, в момент времени $t_0=1$ подверглась небольшому возмущению такому, что ее начальные условия чуть поменялись, т.е. вместо $y(1)=0$, что соответствовало старому решению $y(t)=0$, оказалось $y(1)=a\ne0$, при этом $a$ мы не знаем, следовательно, новое решение, новое состояние системы уже будет отлично от старого и в соответствии с уравнением примет вид $y(t)=ae^{-(t-1)}$. Если нам нужно чтобы новое решение отличалось от старого по значениям, например, не более чем на $\epsilon=0.01$ (слова типа "норма" пока не употребляю), то, в данном случае, мы можем явно указать (в общем случае чаще просто оценить) насколько малым должно быть возмущение чтобы это произошло. Действительно, т.к. условию $y(1)=a$ отвечает решение уравнения $y(t)=ae^{-(t-1)}$, то при $|a|<0.01$ будет $|y(t)|=|ae^{-(t-1)}|<0.01$ при каждом $t>1$. Т.е. при каждом $-0.01<a<0.01$ значения соответствующего каждому такому $a$ решения уравнения отличаются от нуля не более чем на 0.01, т.е. $-0.01<y(t)<0.01$ при любом $t>1$, причем мы не знаем каким именно окажется новое решение при таком разбросе начальных данных (это может быть $y(t)=0.009e^{-(t-1)}$ или $y(t)=-0.005e^{-(t-1)}$ и т.п.), но мы знаем что оно недалеко от нулевого решения. Решение $y(t)=0$ можно объявить устойчивым к начальным условиям только если для любого $\epsilon>0$ (0.001, 0.00001 и т.д.) можно указать подобный диапазон для $a$ (для разных $\epsilon$ он может оказаться различным, важен сам факт его существования для каждого $\epsilon$), даже в случаях когда исследуемое решение не устойчиво асимптотически. Если решение $y_0(t)$ некоего уравнения соответствующее для простоты, например, такому нач. усл. $y_0(0)=0$, устойчиво асимптотически, то для него будет выполняться то же самое и оно автоматически также является просто устойчивым, но помимо этого для него существует такой универсальный диапазон для a: $-\delta<a<\delta$, что для любого решения $y(t)$ ур-я с начальными данными из этого диапазона $y(0)=a$ каким бы ни оказалось это решение справедливо $y(t)-y_0(t)\to0$ при $t\to+\infty$ (в частности, для рассматриваемого примера, очевидно, $ae^{-(t-1)}-0\to0$ при $t\to+\infty$ вообще при любом $a$, что, с учетом устойчивости нулевого решения, влечет также его асимптотическую устойчивость).
Цитата
dashakiev
Цитата
anton25
Я не совсем понял что означает Ваш случай a), ведь если система находится в стационарном состоянии, которое не зависит от времени, то без доп. возмущений она итак из него никогда не уйдет.
Дело в том что параметр $q$ хотя по условию и является константой в реальности подвержен небольшим случайным отклонениям. Константы $k_{1,2,3}$ в химии называются константами скорости реакции и на самом деле имеют функциональную зависимость от температуры. Т.к. температура окружающей среды даже при самых идеальных условиям тоже может слегка колебаться то вместе с ней "колеблются" константы скорости: все эти факторы приводят к тому что стационарная система все время "ощущает внешние толчки", которые пытаются вывести ее из состояния равновесия.
Ясно, спасибо. Боюсь, что это уже совсем другая устойчивость, точнее устойчивость не к начальным условиям, которую мы рассматриваем, а к параметрам системы, т.е. случай когда сама динамика, описывающая процесс, меняется. Немного другая задача.

Цитата
dashakiev
Давайте я покажу свое решение характеристического уравнения а вы поможете сделать правильные выводы из этого решения. Пока, к сожалению, мои познания в устойчивых-неустойчивых решениях крайне недостаточны.
Разумеется давайте, это уже чрезвычайно интересно (надеюсь, что обошлось без формул Кардано smile). Мне, к сожалению, не удалось явно решить это уравнение, но зато получилось доказать (если, конечно, нигде не ошибся), что при положительности K все его корни как раз имеют отрицательные вещественные части, что впоследствии позволяет разрешить и Вашу исходную задачу. Единственный, правда, случай не смотрел, когда K=0, который влечет q=0.
Насчет познаний, скажу, что я тоже последний раз имел дело с задачами на устойчивость достаточно давно, просто, к счастью, в памяти что-то сохранилось smile. В любом случае, это форум и если нас с Вами и уважаемым Father-ом немного поведет в сторону, то участники нас обязательно поправят. Отмечу, что со своими, как Вы выразились "крайне недостаточными познаниями" Вы добрались практически до самого конца задачи, да и выбранный Вами метод исследования, как оказалось, все таки приводит к полному успеху, несмотря на свою громоздкость. Также отмечу Ваше просто невероятное трудолюбие (что и, собственно, привлекло меня к теме) по отношению к задаче и форумному ТеХ-у. Удачи!

P.S.
Цитата
dashakiev
на олимпиаде по химии попалась следующая задача
А что за олимпиада? Какой-нибудь конкретный источник задачи можете привести (автора, кафедру или просто университет). Спрашиваю просто потому, что есть подозрение на какой-то хитрый трюк для этой задачи (может быть авторы нашли какую-то хорошую функцию Ляпунова или что-то в этом роде). Имеющееся решение чрезвычайно громоздко, хоть и формально идейно подпадает под стандарт и думается, что для его оформления студенту вряд ли хватит 4-х часов, с учетом того, что на очных олимпиадах никогда не дают только одну задачу. Если приводить источник неудобно, то тогда ладно.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 05.04.2015 03:02.
05.04.2015 00:02
...
Прошу прощения, долго оформлял пост и не заметил, что Вы уже начали расписывать решение. В принципе, можете сразу выписать конечный вид полинома (разбираться в процессе его получения можем, например, в случае подозрений, что его вид не такой). Это сэкономит Ваше время smile.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 05.04.2015 00:08.
05.04.2015 18:53
Автокатализ
Идем далее: 1)Коэффы в полученном определителе все неотрицательны 2) они расположены таким образом что раскрыв определитель мы получим слагаемые только со знаком $+$. Свободный член кубического уравнения строго положителен.
значит наше искомое уравнение соответствует приведенному уравнению вида $p^3+bp^2+cp+d=0$, где $b,c\geq0, d>0$. При $p=0$ данное кубическое уравнение пересекает ось OY над осью OX (точнее OP) и далее строго возрастает, Значит все действительные корни характеристического уравнения отрицательны. Остался случай когда характеристическое уравнение имеет один действительный корень и пару комплексных.
05.04.2015 19:56
Неточность
Немного приторможу процесс
Цитата
dashakiev
С другой стороны ранее я уже вывела что $M\leq\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2}$
Это неравенство у Вас нигде не доказывалось. Вы рассматривали
Цитата

$K+A\leqM$
...
или
$\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2}-M\leq\sqrt{(M-\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}}$
Для которого получили
Цитата
dashakiev
При $M\geq\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2}$ неравенство истинно т.к. слева будет отрицательная величина (а справа положительная)
...
После приведения подобных получается $0\leq\frac{2k_3}{k_2}$. Значит неравенство истинно и при $M\leq\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2}$
Т.е. неравенство ниоткуда не следует и не обязано выполняться. Более наглядно, контрпример: при $k_1=1$, $k_2=2$, $k_3=1$, $M=2$ и $q=1$ единственным стационарным решением исходной системы является $(K_0,A_0,S_0,E_0)=\left(\frac{5-\sqrt{17}}{2},\,\frac{\sqrt{17}-3}{4},\,\frac{\sqrt{17}+1}{4},\,\frac{\sqrt{17}+5}{4}\right)$, при этом $K_0,A_0,S_0,E_0>0$, $K_0+A_0+S_0=M$ и $M>\frac{q}{k_3}+\frac{k_3}{k_2}$, а самое главное $k_2(A_0-S_0)+k_3=-1<0$

т.о. у Вас есть лишь ограничение
Цитата
dashakiev
$M\geq\frac{q}{2k_3}+\frac{k_3}{k_2}$
Нужно сразу отметить следующее:
При $M-\frac{k_3}{k_2}\le0$, очевидно, $q\le0$, а при $M=\frac{q}{2k_3}+\frac{k_3}{k_2}$ справедливо $K=A=0$, из чего следует $q=0$ и оба этих случая противоречат используемому Вами $q>0$. Т.о., мы имеем ограничение на используемые параметры вида $M>\frac{k_3}{k_2}$ и ограничение на $q$ вида $0<q<\frac{2k_3(Mk_2-k_3)}{k_2}$. Данные ограничения означают, что для исследуемого решения (если оно решение) справедливо $K_0,A_0,S_0,E_0>0$ и $K_0+A_0+S_0=M$ (равенство нулю хотя бы одной из функций $K_0,A_0,S_0,E_0$ повлечет за собой $q\le0$). Более пока ничего нет (да и не надо).

P.S. Возможно будет полезно:
Критерием отрицательности вещественных частей всех корней полинома $p^3+bp^2+cp+d=0$, покрывающим все случаи (и комплексные в т.ч.) является выполнение $b,c,d>0$ и $bc>d$ (в общем случае пр-го полинома известен как "критерий Гурвица").



Редактировалось 3 раз(а). Последний 05.04.2015 20:01.
09.04.2015 22:42
Автокатализ
несколько замечаний последний определитель можно еще упростить, убрав 2 из
$\left|\begin{array}{rr} 2({k_3}+p) & 0 & p \\ {k_2}({A_0}-{S_0})+{k_3}+p & {k_2}(M-{K_0})+{k_3}+p & 0\\ 0 & 2{k_1}{E_0} & {k_1}{K_0}+p\end{array}\right|=0$


$\left|\begin{array}{rr} ({k_3}+p) & 0 & p \\ {k_2}({A_0}-{S_0})+{k_3}+p & {k_2}(M-{K_0})+{k_3}+p & 0\\ 0 & {k_1}{E_0} & {k_1}{K_0}+p\end{array}\right|=0$
09.04.2015 23:10
Автокатализ
Цитата
anton25
Нужно сразу отметить следующее:
при $M=\frac{q}{2k_3}+\frac{k_3}{k_2}$ справедливо $K=A=0$, из чего следует $q=0$ и оба этих случая противоречат используемому Вами $q>0$.
У меня при $M=\frac{q}{2k_3}+\frac{k_3}{k_2}$ и $q\ne0$ получилось $K_0=0,\,A_0=\frac{q}{2k_3},\,S_0=\frac{k_3}{k_2}$
10.04.2015 02:41
Ответ
Цитата
father
Цитата
anton25
Нужно сразу отметить следующее:
при $M=\frac{q}{2k_3}+\frac{k_3}{k_2}$ справедливо $K=A=0$, из чего следует $q=0$ и оба этих случая противоречат используемому Вами $q>0$.
У меня при $M=\frac{q}{2k_3}+\frac{k_3}{k_2}$ и $q\ne0$ получилось $K_0=0,\,A_0=\frac{q}{2k_3},\,S_0=\frac{k_3}{k_2}$
Противоречите уравнению
Цитата
dashakiev
$0 = q - k_1K_0E_0$
Вообще, наверное нужно отметить, что Вы в определенном смысле правы насчет данного утверждения. На самом деле, следствие $(M=\frac{q}{2k_3}+\frac{k_3}{k_2})\Rightarrow(q=K_0=A_0=0)$ справедливо только при априорном предположении $K_0,A_0,S_0,E_0\ge0$ и если это предположение убрать, то для данного $M$ могут возникать стационарные решения и при $q\ne0$, но для каждого из них будет справедливо $A_0<0$. Если честно, то доп. ограничения вроде $K_0,A_0,S_0,E_0\ge0$ и $K_0+A_0+S_0=M$ при глобальной фиксации $M$, введенные в самом начале, сильно сбивают с толку (по крайней мере меня) и даже приводят к некоторой неоднозначности выводов по полученным результатам, касаемых устойчивости. Например, малые окрестности нач. условий берутся не целиком, а только те точки этих окрестностей, сумма первых трех координат которых в точности равна M. Можно ли в таких случаях объявлять исследуемое решение устойчивым? Здесь, конечно, кому как удобней, вкусы у всех разные, но я, например, данные условия сразу убрал из исходной постановки и ввел их (точнее одно, другое само собой образовалось) в конце, после анализа общего случая, что избавило от некоторых неоднозначностей.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 10.04.2015 02:46.
10.04.2015 09:12
Автокатализ
Если предположить что $K_0$ не строго равно нулю а конечно малая положительная величина то из ур-ия $0=q-k_1K_0E_0$ следует что $E_0$ конечно большая положительная величина при которой система сохраняет стационарность. Меня заинтересовало поведение $K_0$ как функции от $q$. Пока $q$ пробегает свои значения от $0$ до $\frac{2k_3(Mk_2-k_3)}{k_2}$ ($0<q<\frac{2k_3(Mk_2-k_3)}{k_2}$), $K_0$ меняется от 0 до 0, тогда внутри промежутка $K_0$ имеет экстремальное значение (возможно не одно)
11.04.2015 00:42
...
Цитата
anton25
На самом деле, следствие $(M=\frac{q}{2k_3}+\frac{k_3}{k_2})\Rightarrow(q=K_0=A_0=0)$ справедливо только при априорном предположении $K_0,A_0,S_0,E_0\ge0$
Что-то мне тут некое противоречие пытается упорно подмигивать, так что на всякий случай лучше явно оговорить неявное. Во-первых, здесь полагалось, что $q$ не может быть отрицательным, а во-вторых, с учетом "во-первых", равенство $M=\frac{q}{2k_3}+\frac{k_3}{k_2}$ конечно накладывает ограничения и на параметры $M=\frac{k_3}{k_2}$.
Далее
Цитата
father
Меня заинтересовало поведение $K_0$ как функции от $q$. Пока $q$ пробегает свои значения от $0$ до $\frac{2k_3(Mk_2-k_3)}{k_2}$ ($0<q<\frac{2k_3(Mk_2-k_3)}{k_2}$), $K_0$ меняется от 0 до 0, тогда внутри промежутка $K_0$ имеет экстремальное значение (возможно не одно)
А это из чистого любопытства, или думаете, что из этого можно что-то выжать? Вы правы, здесь действительно есть ровно один экстремум (локальный максимум), достигаемый при $q_0=\frac{k_3(Mk_2-k_3)}{k_2}$ (середина интервала $\left(0;\frac{2k_3(Mk_2-k_3)}{k_2}\right)$) и $K_{max}=K_0(q_0)=\frac{\left(k_3-\sqrt{Mk_2k_3}\right)^2}{k_2k_3}$, причем график функции $K_0(q)$ симметричен относительно прямой $q=q_0$, да еще и вверх выпуклый на этом интервале. В общем, чистой воды парабола, но только не парабола biggrin.
Здесь, на самом деле, гораздо важнее сам интервал $\left(0;\frac{2k_3(Mk_2-k_3)}{k_2}\right)$ (разумеется $Mk_2-k_3>0$), поскольку (в предположении о $q>0$) именно он обеспечивает ответы на вопросы пропавшего автора темы. В частности, при $q>0$ система
$\left\{ \begin{array}{l} \frac{dA}{dt} = k_1(M-A-S)E - k_2AS - k_3A \\ \frac{dS}{dt} = - k_2AS + k_3(M-A-S) + k_3A \\ \frac{dE}{dt} = q - k_1(M-A-S)E \\ \end{array}$
имеет устойчивое стационарное решение только при $q\in\left(0;\frac{2k_3(Mk_2-k_3)}{k_2}\right)$, причем эти решения еще и асимптотически устойчивы. При прочих положительных $q$ все стационарные решения данной системы неустойчивы. Более того, здесь даже нет необходимости в предположении о неотрицательности $K_0,A_0,S_0,E_0$ ($K_0=M-A_0-S_0$), поскольку, на самом деле, критерием устойчивости любого стационарного решения данной системы (при $q>0$) как раз является строгая положительность его компонент, т.е. $K_0,A_0,S_0,E_0>0$, наличие которых и выливается в неравенства $0<q<\frac{2k_3(Mk_2-k_3)}{k_2}$.
По поводу исходной системы, ситуация сложнее. С точки зрения вопросов (и допущений!) автора темы, думаю что ответы уже имеются (хотя, может и нет, зависит от самого автора). Если для исходной системы отбираются только те ее решения (не только стационарные) для которых $K+A+S=M$ и считается, что другие решения "физико-химически" невозможны, то, очевидно, из асимптотической устойчивости ст. решения $(A_0,S_0,E_0)$ приведенной системы следует, что для соответствующего решения исходной системы $(K_0,A_0,S_0,E_0)$ достаточно малому изменению начальных данных, сохраняющему M, соответствует и малое изменение решения, причем еще и имеется такая окрестность $(K_0,A_0,S_0,E_0)$, что любое решение исходной системы с начальными условиями, сохраняющими M и лежащими в этой окрестности, стремится к данному стац. решению с увеличением t. При этом, из неустойчивости решения $(A_0,S_0,E_0)$ приведенной системы следует и неустойчивость во всех смыслах соответствующего решения исходной системы. Собственно то, что и нужно было автору темы (как я понял), но лично у меня язык просто не поворачивается назвать такие свойства "устойчивостью" и тем более "асимптотической устойчивостью", поскольку, как я уже упоминал, любая окрестность начальных данных содержит также и бесконечно много точек, не сохраняющих M, которые просто игнорируются. Т.е., чисто математически ситуация гораздо более сложная на мой взгляд и, если разрешить изменять M в окрестностях, то просто заявить об обычной устойчивости какого-нибудь решения исходной системы нельзя без какого-то дополнительного анализа или док-в (зато можно твердо заявить об асимптотической неустойчивости всех ее стац. решения).
Возможно, кто-то из участников выскажет свое мнение по поводу таких "условных устойчивостей" для исходной системы.

P.S. Такой неприятный момент, происходящий с этой темой. При загрузке темы в ней перестают отображаться формулы и приходится 5-6 раз обновлять страницу прежде чем они появятся. У меня одного возникает такая проблема или это явление всеобщее? Судя по кол-ву просмотров думается, что я не одинок в этой проблеме. Можно ли с этим что-то сделать?
11.04.2015 21:18
Раскрыла определитель
$\left|\begin{array}{rr} ({k_3}+p) & 0 & p \\ {k_2}({A_0}-{S_0})+{k_3}+p & {k_2}(M-{K_0})+{k_3}+p & 0\\ 0 & {k_1}{E_0} & {k_1}{K_0}+p\end{array}\right|=0$

но сначала делаю замену $}({A_0}-{S_0}$ на $\frac{q}{k_3}-M$ (из $S_0=M+A_0-\frac{q}{k_3}$ см. 1-ю стр.)

$\left|\begin{array}{rr} ({k_3}+p) & 0 & p \\ {k_2}(\frac{q}{k_3}-M)+{k_3}+p & {k_2}(M-{K_0})+{k_3}+p & 0\\ 0 & {k_1}{E_0} & {k_1}{K_0}+p\end{array}\right|=0$

теперь

$({k_3}+p)({k_3}(M-K_0)+k_3+p)({k_1}K_0+p)+({k_2}(\frac{q}{k_3}-M)+k_3+p){k_1}{E_0}p$

после раскрытия скобок приведения подобных (если не считать возможных ошибок) у меня получилось:

$p^3+(k_1K_0+k_2(M-K_0)+2k_3+k_1E_0)p^2+(k_1k_2(M-K_0)K_0+2k_3k_1K_0+k_3k_2(M-K_0)+{k_3}^2+k_1k_2(\frac{q}{k_3}-M)E_0+k_1k_3E_0)p+(k_3k_2(M-K_0)+{k_3}^2)k_1K_0=0$



Редактировалось 1 раз(а). Последний 11.04.2015 21:46.
14.04.2015 01:01
...
Полином верный. Дальнейший процесс застрял на чем-то?
14.04.2015 23:08
Изучаем коэффициент при p в первой степени
Цитата
anton25
Полином верный. Дальнейший процесс застрял на чем-то?
рассмотрим может ли коэффициент $k_1k_2(M-K_0)K_0+2k_3k_1K_0+k_3k_2(M-K_0)+{k_3}^2+k_1k_2(\frac{q}{k_3}-M)E_0+k_1k_3E_0$ при $p$ иметь отрицательное значение. Сначала выразим $E_0$ через $K_0$:

$k_1k_2(M-K_0)K_0+2k_3k_1K_0+k_3k_2(M-K_0)+{k_3}^2+k_2(\frac{q}{k_3}-M)\frac{q}{K_0}+k_3\frac{q}{K_0}$ (из $0=q-{k_1}K_0E_0$)
1) при $q=0+\theta_1\Rightarrow K_0=0+\theta_2$ ( где $\theta_1, \theta_2$ бесконечно малые положительные величины). Тогда коэффициент приобретает вид:

$k_3k_2M+{k_3}^2-k_2M\frac{q}{K_0}+k_3\frac{q}{K_0}$ (первые два слагаемых превратились в $0$). Здесь появилась неопределенность: $\fracqK_0=\frac00$.

Т.к. $K_0=\fracq{k_3}-2A_0$ откуда $K_0=M+\frac{k_3}{k_2}-\sqrt{(M-\fracq{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}k_2}$. теперь найдем предел:

$ \lim_{q \to 0}\frac{q}{K_0}=\lim_{q \to 0}\frac{q}{M+\frac{k_3}{k_2}-\sqrt{(M-\fracq{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}k_2}}$ (умножаю числитель и знаменатель на ${M+\frac{k_3}{k_2}+\sqrt{(M-\fracq{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}}}$)

$\lim_{q\to0}\frac{q(M+\frac{k_3}{k_2}+\sqrt{(M-\fracq{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}})}{(M+\frac{k_3}{k_2})^2-((M-\fracq{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2})}=\lim_{q\to0}\frac{q(M+\frac{k_3}{k_2}+\sqrt{(M-\fracq{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}})}{{-(-2(M+\frac{k_3}{k_2})\frac{q}{k_3}+\frac{q^2}{k_3^2}+\frac{4q}{k_2})$.

Теперь можно записать

Наконец сокращаем на $q$ и оставшиеся $q$ приравниваем к нулю:

$\lim_{q\to0}\frac{M+\frac{k_3}{k_2}+\sqrt{(M-\fracq{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}}}{2(M+\frac{k_3}{k_2})\frac{1}{k_3}-\frac{q}{k_3^2}-\frac{4}{k_2}}=\frac{2(M+\frac{k_3}{k_2})}{{2(M+\frac{k_3}{k_2})\frac{1}{k_3}-\frac{4}{k_2}$$=\frac{(M+\frac{k_3}{k_2})}{{(M+\frac{k_3}{k_2})\frac{1}{k_3}-\frac{2}{k_2}$$=\frac{{k_3}(M+\frac{k_3}{k_2})}{{(M-\frac{k_3}{k_2})$

Далее подставляем полученное значение в $k_3k_2M+{k_3}^2-k_2M\frac{q}{K_0}+k_3\frac{q}{K_0}$$={k_3}{k_2}M+{k_3}^2-({k_2}M-{k_3})\frac{q}{K_0}$. После сокращений получается $0$



Редактировалось 2 раз(а). Последний 14.04.2015 23:27.
15.04.2015 02:39
...
Все таки интересные у Вас подходы. Я правда не совсем понимаю что даст стремление этого коэффициента к нулю при $q\to0+$, тем более, что пока не очевидно с какой стороны это стремление происходит (положительной или отрицательной), но наверняка у Вас есть план smile. На всякий случай, исследуемый коэффициент не парабола по $q$ ($K_0=K_0(q)$). Не забывайте, что Вам для Вашего полинома $p^3+bp^2+cp+d$ при $q$ из исследуемого интервала помимо положительности коэффициентов еще придется доказывать $bc>d$.

P.S. Если по каким-то причинам Ваш план не сработает, то попроббуйте сделать вот что: подставьте в коэффициенты Вашего полинома $x^3+bx^2+cx+d$ (заменил p на x чтобы не было путаницы) вместо $K_0,A_0,S_0,E_0$ и $M=K_0+A_0+S_0$ уже упоминавшиеся формулы
Цитата

$K=\frac{q-2k_3p}{k_3}$, $A=p$, $S=\frac{q-k_3p}{k_2p}$ и $E=\frac{k_3q}{k_1(q-2k_3p)}$
и при фиксированном $p>0$ рассмотрите $b=b(q),c=c(q),d=d(q)$.

$K_0>0$ при $q>2k_3p$, поэтому, можно положить $q=2k_3p\alpha$ при $\alpha>1$ и расписать выражения
$b(2k_3p\alpha)$ и $b(2k_3p\alpha)c(2k_3p\alpha)-d(2k_3p\alpha)$.
Попробуйте в числителях полученных дробей выделить несколько полиномов от $\alpha$, т.е. записать вместо числителей что-то вроде $P_1(k_1,k_2,k_3,p)Q_1(\alpha)+P_2(k_1,k_2,k_3,p)Q_2(\alpha)+\ldots$
везде при этом будет $\alpha>1$. Процесс очень рутинный и возможно по ходу найдете действие попроще.
18.04.2015 20:49
Изучаем коэффициент при p в первой степени
спасибо Антон за подсказки. Вариант с $\alpha$ это будет план Б smile. Пока не уперлась в глухую стену буду действовать по плану А:
2) При малых положительных $q$ и $K_0$ можно записать:

$\theta_1\approx\frac{{k_3}{(M+\frac{k_3}{k_2})}}{(M-\frac{k_3}{k_2)}}\theta_2$ (из $\lim_{q\to0}\frac{M+\frac{k_3}{k_2}+\sqrt{(M-\fracq{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}}}{2(M+\frac{k_3}{k_2})\frac{1}{k_3}-\frac{q}{k_3^2}-\frac{4}{k_2}}$$=\frac{{k_3}(M+\frac{k_3}{k_2})}{{(M-\frac{k_3}{k_2})$, где $\theta_1$ малое положительное $q$, а $\theta_2$ соответственно малое $K_0$ ).

Теперь коэффициент при $p$ можно переписать следующим образом:

${k_1}{k_2}(M-\theta_2)\theta_2+2k_3k_1\theta_2+k_3k_2(M-\theta_2)+{k_3}^2+k_2(\frac{\theta_1}{k_3}-M)\frac{\theta_1}{\theta_2}+k_3\frac{\theta_1}{\theta_2}$.
Помятуя про конечный предел при $q$ стремящемся к 0 и про то что все конечные члены взаимно уничтожаются получаем:

${k_1}{k_2}M\theta_2+2k_3k_1\theta_2-k_3k_2\theta_2+k_2\frac{\theta_1}{k_3}\frac{\theta_1}{\theta_2}$ (членом второй малости пренебрегаем). Далее
${k_1}{k_2}M\theta_2+2k_3k_1\theta_2-k_3k_2\theta_2+k_2\frac{{\theta_1}{(M+\frac{k_3}{k_2})}}{(M-\frac{k_3}{k_2})}$ или
${k_1}{k_2}M\theta_2+2k_3k_1\theta_2-k_3k_2\theta_2+{k_2}{k_3}\frac{{\theta_2}{(M+\frac{k_3}{k_2})^2}}{(M-\frac{k_3}{k_2})^2}$. Наконец, полученное выражение можно еще сократить на положительное число $\theta_2$ которое на знак "больше-меньше" никак не влияет:
${k_1}{k_2}M+2k_3k_1-k_3k_2+{k_2}{k_3}\frac{{(M+\frac{k_3}{k_2})^2}}{(M-\frac{k_3}{k_2})^2}$. Коэффициент $k_1$ определен как положительный. никаких других ограничений он не имеет. Из выражения видно что чем больше $k_1$ тем дальше данное выражение по оси $Oy$ смещается вправо. предположим что $k_1$ настолько мало что двумя первыми слагаемыми тоже можно пренебречь. Тогда остается:
${k_2}{k_3}\frac{{(M+\frac{k_3}{k_2})^2}}{(M-\frac{k_3}{k_2})^2}-k_3k_2$. Сократив еще и на ${k_2}{k_3}$ окончательно получается: $\frac{{(M+\frac{k_3}{k_2})^2}}{(M-\frac{k_3}{k_2})^2}-1$.
Т.к. $\frac{{(M+\frac{k_3}{k_2})^2}}{(M-\frac{k_3}{k_2})^2}>1$, то отсюда следует что и весь коэффициент при $p$ в окрестностях значения $q=\theta_1\approx0$ положителен и возрастает.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 18.04.2015 20:51.
25.04.2015 21:30
Изучаем коэффициент при p в первой степени
Сначала выпишу важные выражения которые будут использованы в последней части доказательства положительности "коэффициента при $p$":
$K_0=M+\frac{k_3}{k_2}-\sqrt{(M-\fracq{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}k_2}$
$q\in\left(0;\frac{2k_3(Mk_2-k_3)}{k_2}\right)$
$M\geq\frac{q}{2k_3}+\frac{k_3}{k_2}$
Теперь перепишу еще раз сам коэффициент (уже избавившись от $E_0$):
$k_1k_2(M-K_0)K_0+2k_3k_1K_0+k_3k_2(M-K_0)+{k_3}^2+k_2(\frac{q}{k_3}-M)\frac{q}{K_0}+k_3\frac{q}{K_0}$
Здесь опять в силу неопределенности $k_1$, который может быть любым неотрицательным числом, допускаем для себя самый неблагоприятный вариант когда $k_1$ настоько мал что первые два (всегда положительных) слагаемых выражения
$k_1k_2(M-K_0)K_0+2k_3k_1K_0+k_3k_2(M-K_0)+{k_3}^2+k_2(\frac{q}{k_3}-M)\frac{q}{K_0}+k_3\frac{q}{K_0}$ пренебрежимо малы и их можно отбросить. Тогда остается:
$k_3k_2(M-K_0)+{k_3}^2+k_2(\frac{q}{k_3}-M)\frac{q}{K_0}+k_3\frac{q}{K_0}$. Преобразуем:
$k_3k_2(M-K_0+\frac{k_3}{k_2})+k_2(\frac{q}{k_3}-M+\frac{k_3}{k_2})\frac{q}{K_0}$


При различных $q$ это "коэффициент при $p$" будет иметь определенное числовое значение величина и знак которого будет зависеть от значения $q$. Обозначим его какой-нибудь буквой, например $L(q)$ (буква $q$ в скобках как раз показывает зависимость $L$ от $q$)



Редактировалось 1 раз(а). Последний 26.04.2015 17:49.
26.04.2015 18:16
Изучаем коэффициент при p в первой степени
В зависимости от $q$ число $L$ м.б. положительным, отрицательным или равным нулю. Ранее я показала что при $q=0+$ "коэфф. при р" положителен и возрастает. Теперь мне нужно показать что $L$ положительна на всем промежутке $q\in\left(0;\frac{2k_3(Mk_2-k_3)}{k_2}\right)$.
В выражении $k_3k_2(M-K_0+\frac{k_3}{k_2})+k_2(\frac{q}{k_3}-M+\frac{k_3}{k_2})\frac{q}{K_0}$, отрицательным может быть только второе слагаемое: $k_2(\frac{q}{k_3}-M+\frac{k_3}{k_2})\frac{q}{K_0}$ (при условии $\frac{q}{k_3} - M + \frac{k_3}{k_2}<0$ или $0<\frac{q}{k_3}<M-\frac{k_3}{k_2}$ откуда $q\in\left(0;\frac{k_3(Mk_2-k_3)}{k_2}\right)$, т.е. когда $q$ "проходит" первую половину "своего" интервала $\left(0;\frac{2k_3(Mk_2-k_3)}{k_2}\right)$)
26.04.2015 18:41
Изучаем коэффициент при p в первой степени
Далее сделаем еще ряд преобразований: умножим "коэфф. при р" на $K_0$ и разделим на ${k_3}{k_2}$. На знак числа $L$ это никак отразится. Получаем $(M-K_0+\frac{k_3}{k_2}){K_0}+(\frac{q}{k_3}-M+\frac{k_3}{k_2})\frac{q}{k_3}=\frac{K_0}{{k_3}{k_2}}L(q)={L_0}(q)$. Теперь подставляем в первое слагаемое $K_0=M+\frac{k_3}{k_2}-\sqrt{(M-\fracq{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}$, и окончательно получаем:
$(M+\frac{k_3}{k_2}-\sqrt{(M-\fracq{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}}){\sqrt{(M-\fracq{k_3}+\frac{k_3}{k_2})^2+\frac{4q}{k_2}}+(\frac{q}{k_3}-M+\frac{k_3}{k_2})\frac{q}{k_3}={L_0}(q)$.
29.04.2015 00:24
Изучаем коэффициент при p в первой степени
Еще хочу сделать замену $\frac{k_3}{k_2}=\psi $ и $\frac{q}{k_3}=z$ что бы избавится от дробей:
$(M+\psi-\sqrt{(M-z+\psi)^2+4\psi{z}}){\sqrt{(M-z+\psi)^2+4\psi{z}}+(z-M+\psi)z={L_0}(q)={L_0}({k_3}y)=\mathcal{L_0}(y))$
сразу же перепишем важные соотношения:
$z\in\left(0;2(M-\psi)\right)$
$M\geq\frac{z}2+\psi$
Для того что бы непрерывная ф-ция, которая в начальной точке положительна и возрастает в своем развитии стала отрицательной, она где-то на промежутке между двумя этими событиями должна иметь первую производную равную нулю. Проверяем имеет ли наша "функция" данное свойство:
$\mathcal{L_0}'(y)=0=-\frac{(M+\psi)(M-z+\psi-2\psi)}{\sqrt{{(M-z+\psi)^2}+4\psi{z}}}+2(M-z+\psi-2\psi)+z+z-M+\psi$
$0=-\frac{(M+\psi)(M-z-\psi)}{\sqrt{{(M-z+\psi)^2}+4\psi{z}}}+2M-2z-2\psi+2z-M+\psi$
$0=-\frac{(M+\psi)(M-z-\psi)}{\sqrt{{(M-z+\psi)^2}+4\psi{z}}}+M-\psi$

для интересующего нас интервала $z\in\left(0;(M-\psi)\right)$ можно записать $\sqrt{{(M-z+\psi)^2}+4\psi{z}}=(M-z+\psi)+\lambda(z)$, (где $\lambda(z)>0$ на интервале $z\in\left(0;(M-\psi)\right)$) отсюда:
$0=-{(M+\psi)(M-z-\psi)}+(M-\psi)(M-z+\psi+\lambda(z))$



Редактировалось 2 раз(а). Последний 29.04.2015 08:02.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти