Автокатализ

Автор темы dashakiev 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий и рекламы в форуме26.03.2008 03:07
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеВычисление параметров смешанной модели15.11.2017 16:57
28.04.2016 00:25
Продолжение
Теперь рассмотрим эту систему в состоянии равновесия:

$\left\{\begin{array}{l}0=-k_1(K_0+\gamma{R_0})E_0+2k_2(A_0+\gamma{B_0})S_0-k_3(K_0+\gamma{R_0}) \\ 0=k_1(K_0+\gamma{R_0})E_0-k_2(A_0+\gamma{B_0})S_0-k_3(A_0+\gamma{B_0})\\ 0=q-k_1(K_0+\gamma{R_0})E_0 \\ 0=k_3(K_0+\gamma{R_0})+k_3(A_0+\gamma{B_0})-k_2(A_0+\gamma{B_0})S_0 \\ M=A+K+B+R+S \end{array}$

11.05.16

Дальше тупикmad Попробую решить этот случай, после решения общего. А сейчас напишу решение старой системы:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{dK}}{{dt}} = - {k_1}KE + 2{k_2}AS - {k_3}K \\ \frac{{dA}}{{dt}} = {k_1}KE - {k_2}AS - {k_3}A \\ \frac{{dS}}{{dt}} = - {k_2}AS + {k_3}K + {k_3}A \\ \frac{{dE}}{{dt}} = q - {k_1}KE \\ \end{array}$ (1)
но в этот раз "избавившись" от переменной $S$

При $q>0$ все стационарные решения этой системы имеют вид
$ \left(K_0,\,A_0,\,S_0,\,E_0\right)= \left(\frac{q-2k_3p}{k_3},\,p,\,\frac{q-k_3p}{k_2p},\,\frac{k_3q}{k_1(q-2k_3p)}\right) $ (2)

При $K+A+S=M=const>0$ (заданная постоянная) имеем систему

$ \left\{\begin{array}{l} \frac{dK}{dt}=-k_1KE+2k_2A(M-A-K)-k_3K \\ \frac{dA}{dt}=k_1KE-k_2A(M-A-K)-k_3A \\ \frac{dE}{dt}=q-k_1KE\end{array} $ (3)

(здесь и далее постараюсь придерживаться стилистики и методов решения которые в этой теме предложил anton25 (спасибо ему за этоsmile)

стационарные решения системы (3) ($K_0,\, A_0,\, E_0$) будем исследовать на устойчивость по первому приближению. Характеристический полином матрицы Якоби для последней системы принимает вид
$P(\lambda)= \lambda^3+a\lambda^2+b\lambda+c$.
Теперь найдем значения $a,\,b,\,c$.
Для этого найдем частные производные каждого уравнения системы (3) в точке равновесия и построим определитель матрицы Якоби:
Пусть:
$W(K,A,E)=-k_1KE+2k_2A(M-A-K)-k_3K$,
$Q(K,A,E)=k_1KE-k_2A(M-A-K)-k_3A$,
$P(K,A,E)=q-k_1KE$.

13.05.16
Отсюда:
$(W_{K}^')_0=-k_1E_0-2k_2A_0-k_3$;
$(W_{A}^')_0=2k_2(S_0-A_0)$;
$(W_{E}^')_0=-k_1K_0$;
$(Q_{K}^')_0=k_1E_0+k_2A_0$;
$(Q_{A}^')_0=-k_2(S_0-A_0)-k_3$;
$(Q_{E}^')_0=k_1K_0$;
$(P_{K}^')_0=-k_1E_0$;
$(P_{A}^')_0=0$;
$(P_{E}^')_0=-k_1K_0$.

14.05.16

Теперь запиываем определитель:
$\left|\begin{array}{ccc} -k_1E_0-2k_2A_0-k_3-\lambda & 2k_2(S_0-A_0) & -k_1K_0 \\ k_1E_0+k_2A_0 & -k_2(S_0-A_0)-k_3-\lambda & k_1K_0 \\ -k_1E_0 & 0 & -k_1K_0-\lambda \end{array} \right|$

Умножаем вторую строку на 2 и прибавляем к первой:

$\left|\begin{array}{ccc} k_1E_0-k_3-\lambda & -2k_3-2\lambda & k_1K_0 \\ k_1E_0+k_2A_0 & -k_2(S_0-A_0)-k_3-\lambda & k_1K_0 \\ -k_1E_0 & 0 & -k_1K_0-\lambda \end{array} \right|$

Теперь умножаем первую строку на (-1) и прибавляем ко второй:

$\left|\begin{array}{ccc} k_1E_0-k_3-\lambda & -2k_3-2\lambda & k_1K_0 \\ k_2A_0 +k_3+\lambda & -k_2(S_0-A_0)+k_3+\lambda & 0 \\ -k_1E_0 & 0 & -k_1K_0-\lambda \end{array} \right|$

Наконец, умножаем второй столбик на (-1) и прибавляем к первому столбику:

$\left|\begin{array}{ccc} k_1E_0+k_3+\lambda & -2k_3-2\lambda & k_1K_0 \\ k_2S_0 & -k_2(S_0-A_0)+k_3+\lambda & 0 \\ -k_1E_0 & 0 & -k_1K_0-\lambda \end{array} \right|$

Теперь раскрываем определитель:
$-[(k_1(E_0+k_3)+\lambda][(k_2(A_0-S_0)+k_3)+\lambda](k_1K_0)+k_1E_0[k_2(A_0-S_0)+k_3)+\lambda]k_1K_0-2k_2S_0(K_3+\lambda)(k_1K_0+\lambda)=0$.

Что бы иметь при наивысшей степени положительный коэффициент умножаем выражение на (-1):

$[(k_1(E_0+k_3)+\lambda][(k_2(A_0-S_0)+k_3)+\lambda](k_1K_0)-k_1E_0[k_2(A_0-S_0)+k_3)+\lambda]k_1K_0+2k_2S_0(K_3+\lambda)(k_1K_0+\lambda)=0$.

Далее расскрываем скобки и приводим подобные:

$(k_1K_0(k_1E_0+k_3)+(k_1K_0+k_1E_0+k_3)\lambda+\lambda^2)[(k_2(A_0-S_0)+k_3)+\lambda]-k_1E_0k_1K_0[(k_2(A_0-S_0)+k_3)+\lambda]+2k_2S_0(k_3+\lambda)(k_1K_0+\lambda)=$
$=(k_1K_0k_3+(k_1K_0+k_3+k_1E_0)\lambda+\lambda^2)[(k_2(A_0-S_0)+k_3)+\lambda]+2k_2S_0(k_3+\lambda)(k_1K_0+\lambda)=$
$=k_1K_0k_3[(k_2(A_0-S_0)+k_3]+(k_1K_0+k_1E_0+k_3)[(k_2(A_0-S_0)+k_3]\lambda+[(k_2(A_0-S_0)+k_3]\lambda^2+k_1K_0k_3\lambda+(k_1K_0+k_1E_0+k_3)\lambda^2+\lambda^3+2k_2S_0(k_1k_3K_0+(k_1K_0+k_3)\lambda+\lambda^2)=$
$=\lambda^3+(k_1K_0+k_1E_0+k_3+k_2(A_0-S_0)+k_3+2k_2S_0)\lambda^2+[(k_1K_0+k_1E_0+k_3)(k_2(A_0-S_0)+k_3)+k_1k_3K_0+2k_2S_0(k_1K_0+k_3)]\lambda+k_1k_3K_0[(k_2(A_0-S_0)+k_3]+2k_2S_0k_1k_3K_0$.

Отсюда
$a=k_1K_0+k_1E_0+k_2(A_0+S_0)+2k_3$

$b=k_1k_2K_0(A_0-S_0)+k_1k_2E_0(A_0-S_0)+k_1k_3K_0+k_1k_3E_0+k_1k_3K_0+2k_2S_0k_1K_0+2k_2k_3S_0=$
$=k_1k_2K_0(A_0+S_0)+k_1k_2E_0(A_0-S_0)+2k_1k_3K_0+k_1k_3E_0+2k_2k_3S_0+k_2k_3(A_0-S_0)+{k_3}^2=k_3(k_3+k_1(2K_0+E_0)+k_2(A_0+S_0))+k_1k_2(K_0A_0+K_0S_0+E_0A_0-E_0S_0)$

$c=k_1k_3K_0[k_2(A_0+S_0)+k_3]$

Получились точно такие же коэффициенты характеристического уравнения какие раньше получились и у anton'a25. Далее он красиво доказывает устойчивость этой системы ( с доказательством можно ознакомиться на предыдущей странице), поэтому здесь я не буду повторятся.



Редактировалось 16 раз(а). Последний 14.05.2016 23:32.
20.05.2016 00:35
Мутация (Продолжение)
19.05.2016
Рассмотрим систему (I):
$ \left\{\begin{array}{l} \frac{dK}{dt}=-k_1KE+2k_2AS-k_3K \\ \frac{dA}{dt}=k_1KE-k_2AS-k_3A \\ \frac{dS}{dt}=-k_2AS-r_2BS+k_3K+k_3A+r_3R+r_3B \\ \frac{dE}{dt}=q-k_1KE-r_1RE \\ \frac{dR}{dt}=-r_1RE+2r_2BS-r_3R \\ \frac{dB}{dt}=r_1RE-r_2BS-r_3B\end{array} $
Где $A+B+K+R+S=M(const)$

"Выбрасываем" из системы ур-ие $ \frac{dS}{dt}=-k_2AS-r_2BS+k_3K+k_3A+r_3R+r_3B$ и выражаем $S$ через другие неизвестные ($S=M-A-K-B-R$). Получаем:
$ \left\{\begin{array}{l} \frac{dK}{dt}=-k_1KE+2k_2A(M-A-K-B-R)-k_3K \\ \frac{dA}{dt}=k_1KE-k_2A(M-A-K-B-R)--k_3A \\ \frac{dE}{dt}=q-k_1KE-r_1RE \\ \frac{dR}{dt}=-r_1RE+2r_2B(M-A-K-B-R)-r_3R \\ \frac{dB}{dt}=r_1RE-r_2B(M-A-K-B-R)-r_3B\end{array} $ (1.1)
Пусть теперь:

$ \left\{\begin{array}{l} \frac{dK}{dt}={W(K,\, A,\, R,\, B)} \\ \frac{dA}{dt}={P(K,\, A,\, R,\, B)} \\ \frac{dE}{dt}={Q(K,\, A,\, R,\, B)} \\ \frac{dR}{dt}={Y(K,\, A,\, R,\, B)} \\ \frac{dB}{dt}={Z(K,\, A,\, R,\, B)}\end{array} $
характеристический полином матрицы Якоби для системы (1.1) имеет вид:

$\left|\begin{array}{lllll} {(W^'_K)}_0-\lambda & {(W^'_A)}_0 & {(W^'_E)}_0 & {(W^'_R)}_0 & {(W^'_B)}_0\\ {(P^'_K)}_0 & {(P^'_A)}_0-\lambda & {(P^'_E)}_0 & {(P^'_R)}_0 & {(P^'_B)}_0\\ {(Q^'_K)}_0 & {(Q^'_A)}_0 &{(Q^'_E)}_0-\lambda & {(Q^'_R)}_0 &{(Q^'_B)}_0 \\ {(Y^'_K)}_0 & {(Y^'_A)}_0 & {(Y^'_E)}_0 & {(Y^'_R)}_0-\lambda & {(Y^'_B)}_0 \\ {(Z^'_K)}_0 & {(Z^'_A)}_0 & {(Z^'_E)}_0 & {(Z^'_R)}_0 & {(Z^'_B)}_0-\lambda\end{array}\right|=0$. (1.2)

Здесь:
${(W^'_K)}_0=-k_1E_0-2k_2A_0-k_3$
${(W^'_A)}_0=2k_2(S_0-A_0)$
${(W^'_E)}_0=-k_1K_0$
${(W^'_R)}_0=-2k_2A_0$
${(W^'_B)}_0=-2k_2A_0$

${(P^'_K)}_0=k_1E_0+k_2A_0$
${(P^'_A)}_0=-k_2(S_0-A_0)-k_3$
${(P^'_E)}_0=k_1K_0$
${(P^'_R)}_0=k_2A_0$
${(P^'_B)}_0=k_2A_0$

${(Q^'_K)}_0=-k_1E_0$
${(Q^'_A)}_0=0$
${(Q^'_E)}_0=-k_1K_0-r_1R_0$
${(Q^'_R)}_0=-r_1E_0$
${(Q^'_B)}_0=0$

${(Y^'_K)}_0=-2r_2B_0$
${(Y^'_A)}_0=-2r_2B_0$
${(Y^'_E)}_0=-r_1R_0$
${(Y^'_R)}_0=-r_1E_0-2r_2B_0-r_3$
${(Y^'_B)}_0=2r_2(S_0-B_0)$

${(Z^'_K)}_0=r_2B_0$
${(Z^'_A)}_0=r_2B_0$
${(Z^'_E)}_0=r_1R_0$
${(Z^'_R)}_0=r_1E_0+r_2B_0$
${(Z^'_B)}_0=-r_2(S_0-B_0)-r_3$
22.05.2016 12:21
Мутация (Продолжение)
Теперь "собираем" определитель:

$\left|\begin{array}{ccccc} -k_1E_0-2k_2A_0-k_3-\lambda & 2k_2(S_0-A_0) & -k_1K_0 & -2k_2A_0 & -2k_2A_0 \\ k_1E_0+k_2A_0 & -k_2(S_0-A_0)-k_3-\lambda & k_1K_0 & k_2A_0 & k_2A_0 \\ -k_1E_0 & 0 & -k_1K_0-r_1R_0-\lambda & -r_1E_0 & 0 \\ -2r_2B_0 & -2r_2B_0 & -r_1R_0 & -r_1E_0-2r_2B_0-r_3 -\lambda & 2r_2(S_0-B_0) \\ r_2B_0 & r_2B_0 & r_1R_0 & r_1E_0+r_2B_0 & -r_2(S_0-B_0)-r_3-\lambda \end{array}\right| $

Умножаем на "2" 2-ю и 5-ю строки и прибавляем их к 1-й и 4-й строке соответственно. Получаем:

$\left|\begin{array}{ccccc} k_1E_0-k_3-\lambda & -2(k_3+\lambda) & k_1K_0 & 0 & 0 \\ k_1E_0+k_2A_0 & -k_2(S_0-A_0)-k_3-\lambda & k_1K_0 & k_2A_0 & k_2A_0 \\ -k_1E_0 & 0 & -k_1K_0-r_1R_0-\lambda & -r_1E_0 & 0 \\ 0 & 0 & r_1R_0 & r_1E_0-r_3 -\lambda & -2(r_3+\lambda) \\ r_2B_0 & r_2B_0 & r_1R_0 & r_1E_0+r_2B_0 & -r_2(S_0-B_0)-r_3-\lambda \end{array}\right| $

Далее умножаем на "-1" 1-ю и 4-ю строки и прибавляем ко 2-й и 5-й строкам соответственно. Получаем:

$\left|\begin{array}{ccccc} k_1E_0-k_3-\lambda & -2(k_3+\lambda) & k_1K_0 & 0 & 0 \\ k_2A_0+k_3+\lambda & -k_2(S_0-A_0)+k_3+\lambda & 0 & k_2A_0 & k_2A_0 \\ -k_1E_0 & 0 & -k_1K_0-r_1R_0-\lambda & -r_1E_0 & 0 \\ 0 & 0 & r_1R_0 & r_1E_0-r_3 -\lambda & -2(r_3+\lambda) \\ r_2B_0 & r_2B_0 & 0 & r_2B_0+r_3+\lambda & -r_2(S_0-B_0)+r_3+\lambda \end{array}\right| $

Наконец, умножаем на "-1" 2-й и 5-й столбец и прибавляем к 1-му и 4-му соответственно. Получаем:

$\left|\begin{array}{ccccc} k_1E_0+k_3+\lambda & -2(k_3+\lambda) & k_1K_0 & 0 & 0 \\ k_2S_0 & -k_2(S_0-A_0)+k_3+\lambda & 0 & 0 & k_2A_0 \\ -k_1E_0 & 0 & -k_1K_0-r_1R_0-\lambda & -r_1E_0 & 0 \\ 0 & 0 & r_1R_0 & r_1E_0+r_3 +\lambda & -2(r_3+\lambda) \\ 0 & r_2B_0 & 0 & r_2S_0 & -r_2(S_0-B_0)+r_3+\lambda \end{array}\right| $

Что бы определитель получил "симметричную" форму, сначала меняем местами 4-ю и 5-ю строку, затем переставляем 4-й и 5-й столбик. В итоге имеем:

$\left|\begin{array}{ccccc} k_1E_0+k_3+\lambda & -2(k_3+\lambda) & k_1K_0 & 0 & 0 \\ k_2S_0 & -k_2(S_0-A_0)+k_3+\lambda & 0 & k_2A_0 & 0 \\ -k_1E_0 & 0 & -k_1K_0-r_1R_0-\lambda & 0 & -r_1E_0 \\ 0 & r_2B_0 & 0 & -r_2(S_0-B_0)+r_3+\lambda & r_2S_0 \\ 0 & 0 & r_1R_0 & -2(r_3+\lambda) & r_1E_0+r_3 +\lambda \end{array}\right| $.

Теперь, множив, 1-й и 5-й столбики на два прибавляем 1-й ко 2-му, а 5-й к 4-му:

$\left|\begin{array}{ccccc} k_1E_0+k_3+\lambda & 2k_1E_0 & k_1K_0 & 0 & 0 \\ k_2S_0 & k_2(S_0+A_0)+k_3+\lambda & 0 & k_2A_0 & 0 \\ -k_1E_0 & -2k_1E_0 & -k_1K_0-r_1R_0-\lambda & -2r_1E_0 & -r_1E_0 \\ 0 & r_2B_0 & 0 & r_2(S_0+B_0)+r_3+\lambda & r_2S_0 \\ 0 & 0 & r_1R_0 & 2r_1E_0 & r_1E_0+r_3 +\lambda \end{array}\right| $

Далее прибавляем 1-ю и 2-ю строку к 3-й:

$\left|\begin{array}{ccccc} k_1E_0+k_3+\lambda & 2k_1E_0 & k_1K_0 & 0 & 0 \\ k_2S_0 & k_2(S_0+A_0)+k_3+\lambda & 0 & k_2A_0 & 0 \\ k_3+\lambda & 0 & -\lambda & 0 & r_3+\lambda \\ 0 & r_2B_0 & 0 & r_2(S_0+B_0)+r_3+\lambda & r_2S_0 \\ 0 & 0 & r_1R_0 & 2r_1E_0 & r_1E_0+r_3 +\lambda \end{array}\right| $

Умножаем 1-ю и 5-ю строку соответственно на $\frac{1}{k_1K_0}$ и $\frac{1}{r_1R_0}$:

$\left|\begin{array}{ccccc} \frac{E_0}{K_0}+\frac{k_3}{k_1K_0}+\frac{\lambda}{k_1K_0} & \frac{2E_0}{K_0} & 1 & 0 & 0 \\ k_2S_0 & k_2(S_0+A_0)+k_3+\lambda & 0 & k_2A_0 & 0 \\ k_3+\lambda & 0 & -\lambda & 0 & r_3+\lambda \\ 0 & r_2B_0 & 0 & r_2(S_0+B_0)+r_3+\lambda & r_2S_0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2E_0}{R_0} & \frac{E_0}{R_0}+\frac{r_3}{r_1R_0} +\frac{\lambda}{r_1R_0} \end{array}\right| $

Теперь надо умножить второй и третий столбец соответственно на $\frac{K_0}{2E_0}$ и $\frac{R_0}{2E_0}$ получаем:
$\left|\begin{array}{ccccc} \frac{E_0}{K_0}+\frac{k_3}{k_1K_0}+\frac{\lambda}{k_1K_0} & 1 & 1 & 0 & 0 \\ k_2S_0 & k_2\frac{K_0}{2E_0}(S_0+A_0)+k_3\frac{K_0}{2E_0}+\frac{K_0}{2E_0}\lambda & 0 & \frac{k_2A_0R_0}{2E_0} & 0 \\ k_3+\lambda & 0 & -\lambda & 0 & r_3+\lambda \\ 0 & \frac{r_2B_0K_0}{2E_0} & 0 & r_2\frac{R_0}{2E_0}(S_0+B_0)+r_3\frac{R_0}{2E_0}+\frac{R_0}{2E_0}\lambda & r_2S_0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \frac{E_0}{R_0}+\frac{r_3}{r_1R_0} +\frac{\lambda}{r_1R_0} \end{array}\right| $

Далее вторую и четвертую строку соответственно умножаем на $\frac{2E_0}{k_2A_0R_0}$ и $\frac{2E_0}{r_2B_0K_0}$, имеем:

$\left|\begin{array}{ccccc} \frac{E_0}{K_0}+\frac{k_3}{k_1K_0}+\frac{\lambda}{k_1K_0} & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{2S_0E_0}{A_0R_0} & \frac{K_0}{A_0R_0}(S_0+A_0)+\frac{k_3K_0}{k_2A_0R_0}+\frac{K_0}{k_2A_0R_0}\lambda & 0 &1 & 0 \\ k_3+\lambda & 0 & -\lambda & 0 & r_3+\lambda \\ 0 & 1 & 0 & \frac{R_0}{B_0K_0}(S_0+B_0)+\frac{r_3R_0}{r_2B_0K_0}+\frac{R_0}{r_2B_0K_0}\lambda & \frac{2S_0E_0}{B_0K_0} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \frac{E_0}{R_0}+\frac{r_3}{r_1R_0} +\frac{\lambda}{r_1R_0} \end{array}\right| $

Наконец, последнее преобразование определителя - умножаем первый и пятый столбец соответственно на $\frac{A_0R_0}{2S_0E_0}$ и $\frac{B_0K_0}{2S_0E_0}$. Окончательно получаем:
$\left|\begin{array}{ccccc} \frac{A_0R_0}{2K_0S_0}+\frac{k_3A_0R_0}{2k_1K_0S_0E_0}+\frac{A_0R_0}{2k_1K_0S_0E_0}\lambda & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & \frac{K_0}{A_0R_0}(S_0+A_0)+\frac{k_3K_0}{k_2A_0R_0}+\frac{K_0}{k_2A_0R_0}\lambda & 0 &1 & 0 \\ k_3\frac{A_0R_0}{2S_0E_0}+\frac{A_0R_0}{2S_0E_0}\lambda & 0 & -\lambda & 0 & r_3\frac{B_0K_0}{2S_0E_0}+\frac{B_0K_0}{2S_0E_0}\lambda \\ 0 & 1 & 0 & \frac{R_0}{B_0K_0}(S_0+B_0)+\frac{r_3R_0}{r_2B_0K_0}+\frac{R_0}{r_2B_0K_0}\lambda & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \frac{B_0K_0}{2R_0S_0}+\frac{r_3B_0K_0}{2r_1R_0S_0E_0} +\frac{B_0K_0}{2r_1R_0S_0E_0}\lambda \end{array}\right| $

Вспомнив про ранее полученные равенства:
$K_0=(\beta{y_{+1}}-1)A_0$ и $R_0=({y_{+1}}-1)B_0$ в последний раз перепишем определитель:

$\left|\begin{array}{ccccc} \frac{R_0}{2(\beta{y_{+1}}-1)S_0}+\frac{k_3R_0}{2k_1(\beta{y_{+1}}-1)S_0E_0}+\frac{R_0}{2k_1(\beta{y_{+1}}-1)S_0E_0}\lambda & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & \frac{(\beta{y_{+1}}-1)}{R_0}(S_0+A_0)+\frac{k_3(\beta{y_{+1}}-1)}{k_2R_0}+\frac{(\beta{y_{+1}}-1)}{k_2R_0}\lambda & 0 &1 & 0 \\ k_3\frac{A_0R_0}{2S_0E_0}+\frac{A_0R_0}{2S_0E_0}\lambda & 0 & -\lambda & 0 & r_3\frac{B_0K_0}{2S_0E_0}+\frac{B_0K_0}{2S_0E_0}\lambda \\ 0 & 1 & 0 & \frac{({y_{+1}}-1)}{K_0}(S_0+B_0)+\frac{r_3({y_{+1}}-1)}{r_2K_0}+\frac{({y_{+1}}-1)}{r_2K_0}\lambda & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \frac{K_0}{2({y_{+1}}-1)S_0}+\frac{r_3K_0}{2r_1({y_{+1}}-1)S_0E_0} +\frac{K_0}{2r_1({y_{+1}}-1)S_0E_0}\lambda \end{array}\right| $



Редактировалось 7 раз(а). Последний 06.08.2016 22:16.
20.06.2016 23:25
Мутация (Продолжение)
Перепишем полученный определитель в форме:

$\left|\begin{array}{ccccc} a_{11}+b_{11}\lambda & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & a_{22}+b_{22}\lambda & 0 &1 & 0 \\ a_{31}+b_{31}\lambda & 0 & -\lambda & 0 & a_{35}+b_{35}\lambda \\ 0 & 1 & 0 & a_{44}+b_{44}\lambda & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & a_{55} +b_{55}\lambda \end{array}\right| $

где

$a_{11}= \frac{R_0}{2(\beta{y_{+1}}-1)S_0}+\frac{k_3R_0}{2k_1(\beta{y_{+1}}-1)S_0E_0}=\frac{R_0}{2(\betay_{+1}-1)S_0}\left(1+\frac{\betay_{+1}-1}{\betay_{+1}+1}\right)=\frac{k_2R_0}{k_3(\betay_{+1}-1)(\betay_{+1}+1)}{$;
$b_{11}=\frac{R_0}{2k_1(\beta{y_{+1}}-1)S_0E_0}$;
$a_{22}=\frac{(\beta{y_{+1}}-1)}{R_0}(S_0+A_0)+\frac{k_3(\beta{y_{+1}}-1)}{k_2R_0}=\frac{(\betay_{+1}-1)}{R_0}\left(\frac{k_3}{k_2}(\betay_{+1}+1)+A_0\right)$;
$b_{22}=\frac{(\beta{y_{+1}}-1)}{k_2R_0}$;
$a_{31}= k_3\frac{A_0R_0}{2S_0E_0}$;
$b_{31}=\frac{A_0R_0}{2S_0E_0}$;
$a_{35}= r_3\frac{B_0K_0}{2S_0E_0}$;
$b_{35}=\frac{B_0K_0}{2S_0E_0}$;
$a_{44}=\frac{({y_{+1}}-1)}{K_0}(S_0+B_0)+\frac{r_3({y_{+1}}-1)}{r_2K_0}=\frac{y_{+1}-1}{K_0}\left(\frac{r_3}{r_2}(y_{+1}+1)+B_0\right)$;
$b_{44}=\frac{({y_{+1}}-1)}{r_2K_0}$;
$a_{55}= \frac{K_0}{2({y_{+1}}-1)S_0}+\frac{r_3K_0}{2r_1({y_{+1}}-1)S_0E_0}=\frac{K_0}{2(y_{+1}-1)S_0}\left(1+\frac{y_{+1}-1}{y_{+1}+1}\right)=\frac{r_2K_0}{r_3(y_{+1}-1)(y_{+1}+1)}$;
$b_{55}=\frac{K_0}{2r_1({y_{+1}}-1)S_0E_0}$

$a_{11}a_{22}=1+\frac{\frac{k_2}{k_3}A_0}{\betay_{+1}+1}$
$a_{44}a_{55}=1+\frac{\frac{r_2}{r_3}B_0}{y_{+1}+1}$

Разложим последний определитель по третьей строке:

$(a_{31}+b_{31}\lambda)\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ a_{22}+b_{22}\lambda & 0 &1 & 0 \\1 & 0 & a_{44}+b_{44}\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 1 & a_{55} +b_{55}\lambda \end{array}\right|+(a_{35}+b_{35}\lambda)\left|\begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11}\lambda & 1 & 1 & 0 \\ 1 & a_{22}+b_{22}\lambda & 0 &1 \\ 0 & 1 & 0 & a_{44}+b_{44}\lambda \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right|-\lambda\left|\begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11}\lambda & 1 & 0 & 0 \\ 1 & a_{22}+b_{22}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a_{44}+b_{44}\lambda & 1 \\ 0 & 0 & 1 & a_{55} +b_{55}\lambda \end{array}\right|$

Далее первый определитель раскладываем по 2-му столбцу, второй - по 3-му столбцу, третий - по 1-му столбцу:

$-(a_{31}+b_{31}\lambda)\left|\begin{array}{ccc} a_{22}+b_{22}\lambda & 1 & 0 \\1 & a_{44}+b_{44}\lambda & 1 \\ 0 & 1 & a_{55} +b_{55}\lambda \end{array}\right| + (a_{31}+b_{31}\lambda)\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ a_{22}+b_{22}\lambda & 1 & 0 \\1 & a_{44}+b_{44}\lambda & 1 \end{array}\right|+(a_{35}+b_{35}\lambda)\left|\begin{array}{ccc} 1 & a_{22}+b_{22}\lambda &1 \\ 0 & 1 & a_{44}+b_{44}\lambda \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|-(a_{35}+b_{35}\lambda)\left|\begin{array}{ccc} a_{11}+b_{11}\lambda & 1 & 0 \\ 1 & a_{22}+b_{22}\lambda &1 \\ 0 & 1 & a_{44}+b_{44}\lambda \end{array}\right|-$
$-\lambda(a_{11}+b_{11}\lambda)\left|\begin{array}{ccc} a_{22}+b_{22}\lambda & 1 & 0 \\ 1 & a_{44}+b_{44}\lambda & 1 \\ 0 & 1 & a_{55} +b_{55}\lambda \end{array}\right|+\lambda\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 & a_{44}+b_{44}\lambda & 1 \\ 0 & 1 & a_{55} +b_{55}\lambda \end{array}\right|=\mbox {/расскрываем определители/}=$

$=-(a_{31}+b_{31}\lambda)(a_{22}+b_{22}\lambda)(a_{44}+b_{44}\lambda)(a_{55}+b_{55}\lambda)+(a_{31}+b_{31}\lambda)(a_{22}+b_{22}\lambda)+(a_{31}+b_{31}\lambda)(a_{55}+b_{55}\lambda)+(a_{31}+b_{31}\lambda)+(a_{35}+b_{35}\lambda)-(a_{35}+b_{35}\lambda)(a_{11}+b_{11}\lambda)(a_{22}+b_{22}\lambda)(a_{44}+b_{44}\lambda)+(a_{35}+b_{35}\lambda)(a_{11}+b_{11}\lambda)+$
$+(a_{35}+b_{35}\lambda)(a_{44}+b_{44}\lambda)-\lambda(a_{11}+b_{11}\lambda)(a_{22}+b_{22}\lambda)(a_{44}+b_{44}\lambda)(a_{55}+b_{55}\lambda)+\lambda(a_{11}+b_{11}\lambda)(a_{22}+b_{22}\lambda)+\lambda(a_{11}+b_{11}\lambda)(a_{55}+b_{55}\lambda)+\lambda(a_{44}+b_{44}\lambda)(a_{55}+b_{55}\lambda)-\lambda$

Теперь раскрываем скобки и приведем подобные:

$\mbox{для}\,\lambda^5\mbox{:}\,-b_{11}b_{22}b_{44}b_{55}\mbox{;}$

$\mbox{для}\,\lambda^4\mbox{:}\,-b_{31}b_{22}b_{44}b_{55}-b_{35}b_{11}b_{22}b_{44}-a_{11}b_{22}b_{44}b_{55}-b_{11}a_{22}b_{44}b_{55}-b_{11}b_{22}a_{44}b_{55}-b_{11}b_{22}b_{44}a_{55}\mbox{;}$

$\mbox{для}\,\lambda^3\mbox{:}\,-a_{31}b_{22}b_{44}b_{55}-b_{31}a_{22}b_{44}b_{55}-b_{31}b_{22}a_{44}b_{55}-b_{31}b_{22}b_{44}a_{55}-a_{35}b_{11}b_{22}b_{44}-b_{35}a_{11}b_{22}b_{44}-b_{35}b_{11}a_{22}b_{44}-b_{35}b_{11}b_{22}a_{44}-a_{11}a_{22}b_{44}b_{55}-a_{11}b_{22}a_{44}b_{55}-a_{11}b_{22}b_{44}a_{55}-b_{11}a_{22}a_{44}b_{55}-b_{11}a_{22}b_{44}a_{55}-b_{11}b_{22}a_{44}a_{55}+$
$+b_{11}b_{22}+b_{11}b_{55}+b_{44}b_{55}\mbox{;}$

$\mbox{для}\,\lambda^2\mbox{:}\,-a_{31}a_{22}b_{44}b_{55}-a_{31}b_{22}a_{44}b_{55}-a_{31}b_{22}b_{44}a_{55}-b_{31}a_{22}a_{44}b_{55}-b_{31}a_{22}b_{44}a_{55}-b_{31}b_{22}a_{44}a_{55}+b_{31}b_{22}+b_{31}b_{55}-a_{35}a_{11}b_{22}b_{44}-a_{35}b_{11}a_{22}b_{44}-a_{35}b_{11}b_{22}a_{44}-b_{35}a_{11}a_{22}b_{44}-b_{35}a_{11}b_{22}a_{44}-b_{35}b_{11}a_{22}a_{44}+b_{35}b_{11}+$
$+b_{35}b_{44}-a_{11}a_{22}a_{44}b_{55}-a_{11}a_{22}b_{44}a_{55}-a_{11}b_{22}a_{44}a_{55}-b_{11}a_{22}a_{44}a_{55}+a_{11}b_{22}+b_{11}a_{22}+a_{11}b_{55}+b_{11}a_{55}+a_{44}b_{55}+b_{44}a_{55}\mbox{;}$

$\mbox{для}\,\lambda^1\mbox{:}\,-a_{35}a_{11}a_{22}b_{44}-a_{35}a_{11}b_{22}a_{44}-a_{35}b_{11}a_{22}a_{44}-b_{35}a_{11}a_{22}a_{44}+a_{31}b_{22}+b_{31}a_{22}+a_{31}b_{55}+b_{31}a_{55}-a_{31}a_{22}a_{44}b_{55}-a_{31}a_{22}b_{44}a_{55}-a_{31}b_{22}a_{44}a_{55}-b_{31}a_{22}a_{44}a_{55}+a_{35}b_{11}+b_{35}a_{11}+a_{35}b_{44}+b_{35}a_{44}-a_{11}a_{22}a_{44}a_{55}+$
$+a_{11}a_{22}+a_{11}a_{55}+a_{44}a_{55}-1+b_{31}+b_{35}\mbox{;}$

$\mbox{для}\,\lambda^0\mbox{:}\,-a_{35}a_{11}a_{22}a_{44}+a_{35}a_{11}+a_{35}a_{44}-a_{31}a_{22}a_{44}a_{55}+a_{31}a_{22}+a_{31}a_{55}+a_{31}+a_{35}\mbox{;}$

Все значения $a\,\mbox{и}\,b$ положительны поэтому коэффициент при 5-й степени $\lambda$ отрицателен. Тогда неодходимым условием устойчивости исследуемой системы является отрицательность всех коэффициентов характеристического уравнения.



Редактировалось 12 раз(а). Последний 16.02.2019 14:25.
10.08.2016 23:46
Мутация (Продолжение 2)
Последний коэффициент (при $\lambda^0$) имеет 2 отрицательных слагаемых и 4 положительных. Найдем его знак, для этого перепишем выражение в виде:

$(1-a_{22}a_{44})(a_{35}a_{11}+a_{31}a_{55})+a_{35}a_{44}+a_{31}a_{22}+a_{31}+a_{35}$. Делаем замены:

$\left(1-\left(\frac{(\beta{y_{+1}}-1)}{R_0}(S_0+A_0)+\frac{k_3(\beta{y_{+1}}-1)}{k_2R_0}\right) \left(\frac{({y_{+1}}-1)}{K_0}(S_0+B_0)+\frac{r_3({y_{+1}}-1)}{r_2K_0}\right)\right)\left( r_3\frac{B_0K_0}{2S_0E_0}\left(\frac{R_0}{2(\beta{y_{+1}}-1)S_0}+\frac{k_3R_0}{2k_1(\beta{y_{+1}}-1)S_0E_0}\right)+ k_3\frac{A_0R_0}{2S_0E_0} \left(\frac{K_0}{2({y_{+1}}-1)S_0}+\frac{r_3K_0}{2r_1({y_{+1}}-1)S_0E_0}\right)\right)+ $
$+r_3\frac{B_0K_0}{2S_0E_0}\left(\frac{({y_{+1}}-1)}{K_0}(S_0+B_0)+\frac{r_3({y_{+1}}-1)}{r_2K_0}\right)+k_3\frac{A_0R_0}{2S_0E_0}\left(\frac{(\beta{y_{+1}}-1)}{R_0}(S_0+A_0)+\frac{k_3(\beta{y_{+1}}-1)}{k_2R_0}\right)+ k_3\frac{A_0R_0}{2S_0E_0}+r_3\frac{B_0K_0}{2S_0E_0}=$

$=\left(1-\frac{\beta{y_{+1}}-1}{R_0}\frac{{y_{+1}}-1}{K_0}\left((S_0+A_0)+\frac{k_3}{k_2}\right) \left((S_0+B_0)+\frac{r_3}{r_2}\right)\right)\left( r_3\frac{B_0K_0R_0}{4S_0^2E_0(\beta{y_{+1}}-1)}\left(1+\frac{k_3}{k_1E_0}\right)+ k_3\frac{A_0R_0K_0}{4S_0^2E_0({y_{+1}}-1)} \left(1+\frac{r_3}{r_1E_0}\right)\right)+r_3\frac{B_0({y_{+1}}-1)}{2S_0E_0}\left((S_0+B_0)+\frac{r_3}{r_2}\right)+k_3\frac{A_0(\beta{y_{+1}}-1)}{2S_0E_0}\left((S_0+A_0)+\frac{k_3}{k_2}\right)+ k_3\frac{A_0R_0}{2S_0E_0}+$

$+r_3\frac{B_0K_0}{2S_0E_0}=\left(1-\frac{1}{B_0}\frac{1}{A_0}\left(S_0+\frac{k_3}{k_2}+A_0\right) \left(S_0+\frac{r_3}{r_2}+B_0\right)\right)\left( r_3\frac{B_0A_0R_0}{4S_0^2E_0}\left(1+\frac{\betay_{+1}-1}{\betay_{+1}+1}\right)+ k_3\frac{A_0B_0K_0}{4S_0^2E_0} \left(1+\frac{y_{+1}-1}{y_{+1}+1}\right)\right)+r_3\frac{R_0}{2S_0E_0}\left(S_0+\frac{r_3}{r_2}+B_0\right)+k_3\frac{K_0}{2S_0E_0}\left(S_0+\frac{k_3}{k_2}+A_0\right)+ k_3\frac{A_0R_0}{2S_0E_0}+r_3\frac{B_0K_0}{2S_0E_0}=$

$=\frac{1}{2S_0E_0}\left[\left(B_0A_0-\left(S_0+\frac{k_3}{k_2}+A_0\right) \left(S_0+\frac{r_3}{r_2}+B_0\right)\right)\left( r_3\frac{R_0}{2S_0}\left(\frac{2\betay_{+1}}{\betay_{+1}+1}\right)+ k_3\frac{K_0}{2S_0} \left(\frac{2y_{+1}}{y_{+1}+1}\right)\right)+r_3{R_0}\left(S_0+\frac{r_3}{r_2}+B_0\right)+k_3{K_0}\left(S_0+\frac{k_3}{k_2}+A_0\right)+ k_3{A_0R_0}+r_3{B_0K_0}\right]$

Выражение $\frac{1}{2S_0E_0}$ можно опустить также будем учитывать что $S_0+\frac{k_3}{k_2}=\frac{k_3}{k_2}(\betay_{+1}+1)$ и $S_0+\frac{r_3}{r_2}=\frac{r_3}{r_2}(y_{+1}+1)$

$=-\left(\frac{k_3r_3}{k_2r_2}\left(\betay_{+1}+1\right)\left(y_{+1}+1\right)+\frac{k_3}{k_2}\left(\betay_{+1}+1\right)B_0+\frac{r_3}{r_2}\left(y_{+1}+1\right)A_0\right)\left( r_2\frac{\betaR_0}{\betay_{+1}+1}+ k_2\frac{K_0} {\beta(y_{+1}+1)}\right)+\frac{r_{3}^2}{r_2}R_0(y_{+1}+1)+\frac{k_{3}^2}{k_2}K_0(\betay_{+1}+1)+r_3R_0B_0+k_3K_0A_0+ k_3{A_0R_0}+r_3{B_0K_0}=$

$=-\left(\frac{k_3r_3}{k_2}\beta(y_{+1}+1)R_0+\frac{k_3r_3}{\betar_2}(\betay_{+1}+1)K_0+\frac{k_3r_2}{k_2}\betaR_0B_0+k_3\frac{(\betay_{+1}+1)}{\beta(y_{+1}+1)}B_0K_0+r_3\frac{\beta(y_{+1}+1)}{\betay_{+1}+1}A_0R_0+\frac{r_3k_2}{\betar_2}K_0A_0\right)+\frac{r_{3}^2}{r_2}R_0(y_{+1}+1)+\frac{k_{3}^2}{k_2}K_0(\betay_{+1}+1)+r_3R_0B_0+k_3K_0A_0+ k_3{A_0R_0}+r_3{B_0K_0}$

Вспоминая что $\beta=\frac{r_3k_2}{r_2k_3}$ последнее выражение после несложных преобразований можно представить в ввиде:

$-\left(\frac{r_3^2}{r_2}R_0(y_{+1}+1)+\frac{k_3^2}{k_2}K_0(\betay_{+1}+1)+{r_3}R_0B_0+k_3\frac{(\betay_{+1}+1)}{\beta(y_{+1}+1)}B_0K_0+r_3\frac{\beta(y_{+1}+1)}{\betay_{+1}+1}A_0R_0+{k_3}K_0A_0\right)+\frac{r_{3}^2}{r_2}R_0(y_{+1}+1)+\frac{k_{3}^2}{k_2}K_0(\betay_{+1}+1)+r_3R_0B_0+k_3K_0A_0+ k_3{A_0R_0}+r_3{B_0K_0}=$

$=-k_3\frac{(\betay_{+1}+1)}{\beta(y_{+1}+1)}B_0K_0-r_3\frac{\beta(y_{+1}+1)}{\betay_{+1}+1}A_0R_0+ k_3{A_0R_0}+r_3{B_0K_0}=\frac{k_3(\betay_{+1}+1)-r_3\beta(y_{+1}+1)}{\betay_{+1}+1}A_0R_0-\frac{k_3(\betay_{+1}+1)-r_3\beta(y_{+1}+1)}{\beta(y_{+1}+1)}B_0K_0=$

$=\left(k_3(\betay_{+1}+1)-r_3\beta(y_{+1}+1)\right)\left(\frac{A_0R_0}{\betay_{+1}+1}-\frac{B_0K_0}{\beta(y_{+1}+1)}\right)=A_0B_0\left(k_3(\betay_{+1}+1)-r_3\beta(y_{+1}+1)\right)\left(\frac{y_{+1}-1}{\betay_{+1}+1}-\frac{\betay_{+1}-1}{\beta(y_{+1}+1)}\right)=A_0B_0\left(k_3(\betay_{+1}+1)-r_3\beta(y_{+1}+1)\right)\frac{\beta{y^2}_{+1}-\beta-\beta^2{y^2}_{+1}+1}{\beta(\betay_{+1}+1)(y_{+1}+1)}=$

$=A_0B_0\left(k_3(\betay_{+1}+1)-r_3\beta(y_{+1}+1)\right)\frac{\beta(1-\beta){y^2}_{+1}+1-\beta}{\beta(\betay_{+1}+1)(y_{+1}+1)}=A_0B_0\left(k_3(\betay_{+1}+1)-r_3\beta(y_{+1}+1)\right)\frac{(\beta{y^2}_{+1}+1)(1-\beta)}{\beta(\betay_{+1}+1)(y_{+1}+1)}$

Тогда для того что бы коэффициент при $\lambda^0$ был отрицательным необходимо что бы при $\beta>1\Rightarrow\left(k_3(\betay_{+1}+1)-r_3\beta(y_{+1}+1)\right)>0$, а при $0<\beta<1\Rightarrow\left(k_3(\betay_{+1}+1)-r_3\beta(y_{+1}+1)\right)<0$
теперь рассмотрим коэффициент при $\lambda^3$: он состоит из 17 слагаемых из которых 14 слагаемых отрицательные и всего лишь 3 положительные. Приведем выражение коэффициетнта к следующему виду:
$-a_{31}b_{22}b_{44}b_{55}-b_{31}a_{22}b_{44}b_{55}-b_{31}b_{22}a_{44}b_{55}-b_{31}b_{22}b_{44}a_{55}-a_{35}b_{11}b_{22}b_{44}-b_{35}a_{11}b_{22}b_{44}-b_{35}b_{11}a_{22}b_{44}-b_{35}b_{11}b_{22}a_{44}+(1-a_{11}a_{22})b_{44}b_{55}-a_{11}b_{22}a_{44}b_{55}-a_{11}b_{22}b_{44}a_{55}+(1-a_{22}a_{44})b_{11}b_{55}-$
$-b_{11}a_{22}b_{44}a_{55}+(1-a_{44}a_{55})b_{11}b_{22}$
Покажем что все произведения: $a_{11}a_{22},\,a_{22}a_{44},\,a_{44}a_{55}$ больше 1.
$a_{11}a_{22}=\left(\frac{R_{0}}{2(\betay_{+1}-1)}+\frac{k_{3}R_{0}}{2k_{1}(\betay{+1}-1)S_{0}E_{0}}\right)\left(\frac{(\betay_{+1}-1)}{R_{0}}(S_{0}+A_{0})+\frac{k_{3}(\betay_{+1}-1)}{k_{2}R_{0}}\right)=\left(\frac{S_{0}+A_{0}}{2S_{0}}+\frac{k_{3}(S_{0}+A_{0})}{2k_{1}S_{0}E_{0}}+\frac{k_{3}}{2k_{2}S_{0}}+\frac{k_{3}^2}{2k_{1}k_{2}S_{0}E_{0}}\right)=$
$=\left(\frac{k_{2}(S_{0}+A_{0})+k_{3}}{2k_{2}S_{0}}+\frac{k_{3}k_{2}(S_{0}+A_{0})+k_{3}^2}{2k_{1}k_{2}S_{0}E_{0}}\right)=\frac{k_{2}(S_{0}+A_{0})+k_{3}}{2k_{2}S_{0}}\left(1+\frac{k_{3}}{k_{1}E_{0}}\right)=\frac{\betay_{+1}+1+\frac{k_{2}}{k_{3}}A_{0}}{2\betay_{+1}}\left(1+\frac{\betay_{+1}-1}{\betay_{+1}+1}\right)=1+\frac{\frac{k_{2}}{k_{3}}A_{0}}{\betay_{+1}+1}=1+\frac{A_{0}}{S_{0}+\frac{k_{3}}{k_{2}}$
Аналогично $a_{44}a_{55}=1+\frac{B_{0}}{S_{0}+\frac{r_{3}}{r_{2}}$
Наконец, найдем знак $a_{22}a_{44}$
$a_{22}a_{44}=\left(\frac{\betay_{+1}-1}{R_{0}}(S_{0}+A_{0})+\frac{k_{3}(\betay_{+1}-1)}{k_{2}R_{0}}\right)\left(\frac{y_{+1}-1}{K_{0}}(S_{0}+B_{0})+\frac{r_{3}(y_{+1}-1)}{r_{2}K_{0}}\right)=\frac{1}{A_{0}B_{0}}(S_{0}+A_{0})(S_{0}+B_{0})+\frac{r_{3}}{r_{2}A_{0}B_{0}}(S_{0}+A_{0})+\frac{k_{3}}{k_{2}A_{0}B_{0}}(S_{0}+B_{0})+\frac{r_{3}k_{3}}{r_{2}k_{2}A_{0}B_{0}}=$
$=\frac{S_{0}^2}{A_{0}B_{0}}+S_{0}(\frac{1}{A_{0}}+\frac{1}{B_{0}})+1+\frac{r_{3}}{r_{2}A_{0}B_{0}}(S_{0}+A_{0})+\frac{k_{3}}{k_{2}A_{0}B_{0}}(S_{0}+B_{0})+\frac{r_{3}k_{3}}{r_{2}k_{2}A_{0}B_{0}}>1$
Т.о. коэффициент при $\lambda^3$ при любых допустимых значениях состоит только из отрицательных слагаемых.



Редактировалось 12 раз(а). Последний 03.05.2019 00:29.
15.08.2016 00:17
Мутация (Продолжение 3)
Ранее было получено два уравнения: $M_y=\frac{\betaK_0}{\betay_{+1}-1}+\frac{R_0}{y_{+1}-1}$ и $\frac{q}{E_0}=r_1R_0+k_1K_0$

Составим систему из этих уравнений и найдем $R_0,\,K_0$ (а заодно и $B_0,\,A_0$):

$\left\{ \begin{array}{l} M_y=\frac{\betaK_0}{\betay_{+1}-1}+\frac{R_0}{y_{+1}-1} \\ \frac{q}{E_0}=r_1R_0+k_1K_0 \end{array}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} K_0=\frac{M_y(\betay_{+1}-1)}{\beta}-\frac{R_0(\betay_{+1}-1)}{\beta(y_{+1}-1)} \\ K_0=\frac{q}{k_1E_0}-\frac{r_1}{k_1}R_0 \end{array}\Rightarrow\frac{M_y(\betay_{+1}-1)}{\beta}-\frac{\betay_{+1}-1}{\beta(y_{+1}-1)}R_0=\frac{q}{k_1E_0}-\frac{r_1}{k_1}R_0\Rightarrow\frac{M_y(\betay_{+1}-1)}{\beta}-\frac{q}{k_1E_0}=\left(\frac{\betay_{+1}-1}{\beta(y_{+1}-1)}-\frac{r_1}{k_1}\right)R_0\Rightarrow$

$\Rightarrow\frac{k_1M_yE_0(\betay_{+1}-1)-\betaq}{k_1\betaE_0}=\frac{k_1(\betay_{+1}-1)-r_1\beta(y_{+1}-1)}{k_1\beta(y_{+1}-1)}R_0\RightarrowR_0=\frac{\left(k_1M_yE_0(\betay_{+1}-1)-\betaq\right)(y_{+1}-1)}{E_0\left(k_1(\betay_{+1}-1)-r_1\beta(y_{+1}-1)\right)}\Rightarrow$

$\RightarrowR_0=\frac{\left(k_3M_y(\betay_{+1}+1)-\betaq\right)(y_{+1}-1)}{k_3(\betay_{+1}+1)-r_3\beta(y_{+1}+1)\right)}$

(т.к. $E_0=\frac{r_3}{r_1}\frac{y_{+1}+1}{y_{+1}-1}=\frac{k_3}{k_1}\frac{\betay_{+1}+1}{\betay_{+1}-1}$ )

Теперь легко найти и $B_0$

$B_0=\frac{\left(k_3M_y(\betay_{+1}+1)-\betaq\right)}{k_3(\betay_{+1}+1)-r_3\beta(y_{+1}+1)\right)}$

Находим $K_0$

$\left\{ \begin{array}{l} M_y=\frac{\betaK_0}{\betay_{+1}-1}+\frac{R_0}{y_{+1}-1} \\ \frac{q}{E_0}=r_1R_0+k_1K_0 \end{array}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} R_0={M_y(y_{+1}-1)}-\frac{\betaK_0(y_{+1}-1)}{\betay_{+1}-1} \\ R_0=\frac{q}{r_1E_0}-\frac{k_1}{r_1}K_0 \end{array}\Rightarrow{M_y(y_{+1}-1)}-\frac{\beta(y_{+1}-1)}{\betay_{+1}-1}K_0=\frac{q}{r_1E_0}-\frac{k_1}{r_1}K_0\Rightarrow{M_y(y_{+1}-1)}-\frac{q}{r_1E_0}=\left(\frac{\beta(y_{+1}-1)}{\betay_{+1}-1)}-\frac{k_1}{r_1}\right)K_0\Rightarrow$

$\Rightarrow\frac{r_3M_y(y_{+1}+1)-q}{r_1E_0}=\frac{\betar_1(y_{+1}-1)-k_1(\betay_{+1}-1)}{r_1(\betay_{+1}-1)}K_0$

Откуда окончательно $K_0=\frac{\left(q-r_3M_y(y_{+1}+1)\right)(\betay_{+1}-1)}{k_3(\betay_{+1}+1)-\betar_3(y_{+1}+1)}$

Соответственно $A_0=\frac{\left(q-r_3M_y(y_{+1}+1)\right)}{k_3(\betay_{+1}+1)-\betar_3(y_{+1}+1)}$



Редактировалось 1 раз(а). Последний 28.08.2016 21:21.
18.10.2016 00:32
Мутация (Продолжение 4)
Была уверенность что данная система при $B_0,\,R_0,\,K_0,\,A_0$ строго больших нуля глобально неустойчива. Однако это не так. Можно подобрать такие $k_{i},\, r_{j}$ при которых все критерии устойчивости Гурвица для характеристического уравнения 5-ой степени выполняются. (Например $k_1=1,\,k_2=6,\,k_3=3,\,r_1=2,\,r_2=5,\,r_3=2,7,\,q=270,\,M=50,\,A_0=26,17750226,\,B_0=18,1439309,\,K_0=3,927194905,\,R_0=1,176361052,\,S_0=0,575010879,\,E_0=42,99419876$) и таким образом в этой точке четырехмерного пространства исходная система дифф. ур-ий будет устойчива.confused

Рассмотрим ситуацию когда система при определенных значениях $K_0,\,A_0,\,S_0,\,E_0$ уже находится в состоянии устойчивого равновесия и в ней происходит точечная мутация с появлением нового "вида" (переменные $R_0,\,B_0$, а характеристическое уравнение третьей степени превращается в уравнение 5-й степени). Найдем условия при которых мутация элиминирует (биолог.) и система остается в первоначальном устойчивом равновесии. Запишем еще раз определитель матрицы пятого ранга который уже ранее рассматривали:

$\left|\begin{array}{ccccc} -k_1E_0-2k_2A_0-k_3-\lambda & 2k_2(S_0-A_0) & -k_1K_0 & -2k_2A_0 & -2k_2A_0 \\ k_1E_0+k_2A_0 & -k_2(S_0-A_0)-k_3-\lambda & k_1K_0 & k_2A_0 & k_2A_0 \\ -k_1E_0 & 0 & -k_1K_0-r_1R_0-\lambda & -r_1E_0 & 0 \\ -2r_2B_0 & -2r_2B_0 & -r_1R_0 & -r_1E_0-2r_2B_0-r_3 -\lambda & 2r_2(S_0-B_0) \\ r_2B_0 & r_2B_0 & r_1R_0 & r_1E_0+r_2B_0 & -r_2(S_0-B_0)-r_3-\lambda \end{array}\right| $.

Т.к. теперь у нас при начальные условиях $B_0=0,\,R_0=0$, определитель можно привести к виду:

$\left|\begin{array}{ccccc} -k_1E_0-2k_2A_0-k_3-\lambda & 2k_2(S_0-A_0) & -k_1K_0 & -2k_2A_0 & -2k_2A_0 \\ k_1E_0+k_2A_0 & -k_2(S_0-A_0)-k_3-\lambda & k_1K_0 & k_2A_0 & k_2A_0 \\ -k_1E_0 & 0 & -k_1K_0-\lambda & -r_1E_0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r_1E_0-r_3 -\lambda & 2r_2S_0 \\ 0 & 0 & 0 & r_1E_0 & -r_2S-r_3-\lambda \end{array}\right| $

проделав с этим определителем те же преобразования что и с его "оригиналом" выходим на определитель:

$\left|\begin{array}{ccccc} k_1E_0+k_3+\lambda & 2k_1E_0 & k_1K_0 & 0 & 0 \\ k_2S_0 & k_2(S_0+A_0)+k_3+\lambda & 0 & k_2A_0 & 0 \\ k_3+\lambda & 0 & -\lambda & 0 & r_3+\lambda \\ 0 & 0 & 0 & r_2S_0+r_3+\lambda & r_2S_0 \\ 0 & 0 & 0 & 2r_1E_0 & r_1E_0+r_3 +\lambda \end{array}\right| $

Умножаем 1-ю строку на $\frac{1}{k_1K_0}$, а 5-ю на $\frac{1}{r_1}$:

$\left|\begin{array}{ccccc} \frac{E_0}{K_0}+\frac{k_3}{k_1K_0}+\frac{\lambda}{k_1K_0} & \frac{2E_0}{K_0} & 1 & 0 & 0 \\ k_2S_0 & k_2(S_0+A_0)+k_3+\lambda & 0 & k_2A_0 & 0 \\ k_3+\lambda & 0 & -\lambda & 0 & r_3+\lambda \\ 0 & 0 & 0 & r_2S_0+r_3+\lambda & r_2S_0 \\ 0 & 0 & 0 & 2E_0 & E_0+\frac{r_3}{r_1} +\frac{\lambda}{r_1} \end{array}\right| $

далее 2-й и 4-й столбец соответственно на $\frac{K_0}{2E_0}$ и $\frac{1}{2E_0}$:

$\left|\begin{array}{ccccc} \frac{E_0}{K_0}+\frac{k_3}{k_1K_0}+\frac{\lambda}{k_1K_0} & 1 & 1 & 0 & 0 \\ k_2S_0 & \frac{k_2K_0}{2E_0}(S_0+A_0)+\frac{k_3K_0}{2E_0}+ \frac{K_0\lambda}{2E_0} & 0 & \frac{k_2A_0}{2E_0} & 0 \\ k_3+\lambda & 0 & -\lambda & 0 & r_3+\lambda \\ 0 & 0 & 0 & \frac{r_2S_0}{2E_0}+\frac{r_3}{2E_0}+\frac{\lambda}{2E_0} & r_2S_0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & E_0+\frac{r_3}{r_1} +\frac{\lambda}{r_1} \end{array}\right| $

2-ю строку умножаем на $\frac{2E_0}{k_2A_0$, 4-ю на $\frac{2E_0}{r_2}$:

$\left|\begin{array}{ccccc} \frac{E_0}{K_0}+\frac{k_3}{k_1K_0}+\frac{\lambda}{k_1K_0} & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{2E_0S_0}{A_0} & \frac{K_0}{A_0}(S_0+A_0)+\frac{k_3K_0}{k_2A_0}+ \frac{K_0\lambda}{k_2A_0} & 0 & 1 & 0 \\ k_3+\lambda & 0 & -\lambda & 0 & r_3+\lambda \\ 0 & 0 & 0 & S_0+\frac{r_3}{r_2}+\frac{\lambda}{r_2} & 2E_0S_0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & E_0+\frac{r_3}{r_1} +\frac{\lambda}{r_1} \end{array}\right| $.

$\left|\begin{array}{ccccc} \frac{E_0}{K_0}+\frac{k_3}{k_1K_0}+\frac{\lambda}{k_1K_0} & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{2E_0S_0}{A_0} & \frac{K_0}{A_0}(S_0+A_0)+\frac{k_3K_0}{k_2A_0}+ \frac{K_0\lambda}{k_2A_0} & 0 & 1 & 0 \\ k_3+\lambda & 0 & -\lambda & 0 & r_3+\lambda \\ 0 & 0 & 0 & S_0+\frac{r_3}{r_2}+\frac{\lambda}{r_2} & 2E_0S_0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & E_0+\frac{r_3}{r_1} +\frac{\lambda}{r_1} \end{array}\right| $.


Наконец, умножаем 1-й столбец на $\frac{A_0}{2E_0S_0}$, 5-й столбец на $\frac{1}{2E_0S_0}$:

$\left|\begin{array}{ccccc} \frac{A_0}{2K_0S_0}+\frac{k_3A_0}{2k_1K_0S_0E_0}+\frac{A_0\lambda}{2k_1K_0S_0E_0} & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & \frac{K_0}{A_0}(S_0+A_0)+\frac{k_3K_0}{k_2A_0}+ \frac{K_0\lambda}{k_2A_0} & 0 & 1 & 0 \\ \frac{k_3A_0}{2S_0E_0}+\frac{A_0\lambda}{2S_0E_0} & 0 & -\lambda & 0 & \frac{r_3}{2S_0E_0}+\frac{\lambda}{2S_0E_0} \\ 0 & 0 & 0 & S_0+\frac{r_3}{r_2}+\frac{\lambda}{r_2} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2S_0}+\frac{r_3}{2r_1S_0E_0} +\frac{\lambda}{2r_1S_0E_0} \end{array}\right| $.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 23.10.2016 19:17.
15.04.2017 22:36
Критерий оптимальности
Разделим пополам первоначальную систему находящуюся в состоянии динамического равновесия непроницаемой перегородкой. У нас станет две системы с теми же значениями что и раньше, но с двое меньшими объемами (значения привязаны к концентрациям, но не к объему). Допустим у нас есть два демона, один из которых в состоянии перебросить часть вещества $\DeltaM$ из одной половинки системы в другую, а другой часть потока $\Deltaq$. Так как наши демоны очень маленькие, то и количества веществ, которые они могут переместить из одной части в другую тоже маленькие (если быть точным: такими, что при разложении в ряд Тейлора функций, в которые входят эти переменные, членами третьего порядка малости можно будет пренебречь).
После того как демоны сделают свое черное дело, в двух половинках установится равновесие. В каждой половинке свое, со своими пусть и близкими значениями. Если перегородку убрать, то в силу устойчивости системы в целом значения каждого равновесного параметра снова вернуться к начальным.
03.02.2019 23:47
Некоторые уточнения по коэффициенту лямбда в степени 0
Ранее было показано что для того что бы коэффициент при $\lambda^0$ был отрицательным необходимо что бы при $\beta>1\Rightarrow\left(k_3(\betay_{+1}+1)-r_3\beta(y_{+1}+1)\right)>0$, а при $0<\beta<1\Rightarrow\left(k_3(\betay_{+1}+1)-r_3\beta(y_{+1}+1)\right)<0$

Рассмотрим это утверждение полее подробно:
при $\beta>1$ из $\Rightarrow\left(k_3(\betay_{+1}+1)-r_3\beta(y_{+1}+1)\right)>0$ путем несложных преобразований можно получить:
$\frac{k_3}{r_3}-1>\frac{\beta-1}{\betay_{+1}+1}$
$1)$При $\frac{k_3}{r_3}\le1$ неравенство решений не имеет т.к. справа выражение больше нуля при любых допустимых значениях $\beta$ и $y_{+1}$;
$2)$ т.к. $y_{+1}>1,\beta>1$ (по условию), то $\frac{\beta-1}{\betay_{+1}+1}$ не может быть больше или равным $1$, тогда заменив данное неравенство на $\frac{k_3}{r_3}-1\ge1$ можно заключить что при $\frac{k_3}{r_3}\ge2$ первоначальное неравенство при любых допустимых значениях $\lambda$ и $y_{+1}$ истинно.
$3)$Наконец при $1<\frac{k_3}{r_3}<2$ первоначальное неравенство выполняется при $\frac{k_3}{r_3}>\frac{\beta(y_{+1}+1)}{\betay_{+1}+1}$

Аналогично при $0<\beta<1\Rightarrow\left(k_3(\betay_{+1}+1)-r_3\beta(y_{+1}+1)\right)<0$:
$\frac{k_3}{r_3}-1<\frac{\beta-1}{\betay_{+1}+1}$ или $1-\frac{k_3}{r_3}>\frac{1-\beta}{\betay_{+1}+1}$.Тогда
$1)$При $\frac{k_3}{r_3}\ge1$ неравенство ложно при любых допустимых значениях $\beta (0<\beta<1)$ и $y_{+1}$;
$2)$ т.к. $\betay_{+1}>1,0<\beta<1$ (по условию), то $\frac{1-\beta}{\betay_{+1}+1}$ не может быть больше или равным $1/2$, тогда заменив данное неравенство на $1-\frac{k_3}{r_3}\ge1/2$ можно заключить что при $\frac{k_3}{r_3}\le1/2$ первоначальное неравенство имеет решение при любых допустимых значениях $\beta (0<\beta<1)$ и $y_{+1}$.
$3)$Наконец при $1/2<\frac{k_3}{r_3}<1$ первоначальное неравенство выполняется при $\frac{k_3}{r_3}<\frac{\beta(y_{+1}+1)}{\betay_{+1}+1}$



Редактировалось 2 раз(а). Последний 09.03.2019 20:27.
10.02.2019 11:49
Коэффициент лямбда в степени 1
$\lambda^1=-a_{35}a_{11}a_{22}b_{44}-a_{35}a_{11}b_{22}a_{44}-a_{35}b_{11}a_{22}a_{44}-b_{35}a_{11}a_{22}a_{44}+a_{31}b_{22}+b_{31}a_{22}+a_{31}b_{55}+b_{31}a_{55}-a_{31}a_{22}a_{44}b_{55}-a_{31}a_{22}b_{44}a_{55}-a_{31}b_{22}a_{44}a_{55}-b_{31}a_{22}a_{44}a_{55}+a_{35}b_{11}+b_{35}a_{11}+a_{35}b_{44}+b_{35}a_{44}-a_{11}a_{22}a_{44}a_{55}+$
$+a_{11}a_{22}+a_{11}a_{55}+a_{44}a_{55}-1+b_{31}+b_{35}$

Рассмотрим вначале часть этого выражения: $-a_{11}a_{22}a_{44}a_{55}+a_{11}a_{22}+a_{11}a_{55}+a_{44}a_{55}-1=a_{11}a_{22}(1-a_{44}a_{55})-(1-a_{44}a_{55})+a_{11}a_{55}=-(1-a_{11}a_{22})(1-a_{44}a_{55})+a_{11}a_{55}$

Найдем $a_{11}a_{55}=\left(\frac{R_0}{2(\betay_{+1}-1)S_0}+\frac{k_{3}R_0}{2k_1(\betay_{+1}-1)S_0E_0}\right)\left(\frac{K_0}{2(y_{+1}-1)S_0}+\frac{r_3K_0}{2r_1(y_{+1}-1)S_0E_0}\right)=\frac{R_0}{2S_0}\left(\frac{1}{\betay_{+1}-1}+\frac{1}{\betay_{+1}}\right)\frac{K_0}{2S_0}\left(\frac{1}{y_{+1}-1}+\frac{1}{y_{+1}+1}\right)=$
$\frac{R_0K_0}{4{S_0}^2}\left(\frac{2\betay_{+1}}{(\betay_{+1}-1)(\betay_{+1})}\right)\left(\frac{2y_{+1}}{(y_{+1}-1)(y_{+1}+1)}\right)=R_0K_0\frac{{k_2}/{k_3}}{(\betay_{+1}-1)(\betay_{+1}+1)}\frac{r_2/r_3}{(y_{+1}-1)(y_{+1}+1)}=A_0B_0\frac{k_2/k_3}{(\betay_{+1}+1)}\cdot\frac{r_2/r_3}{(y_{+1}+1)}=\frac{k_2/k_3A_0}{(\betay_{+1}+1)}\cdot\frac{r_2/r_3B_0}{(y_{+1}+1)}$

С другой стороны: $-a_{11}a_{22}a_{44}a_{55}+a_{11}a_{22}+a_{11}a_{55}+a_{44}a_{55}-1=a_{11}a_{22}(1-a_{44}a_{55})-(1-a_{44}a_{55})+a_{11}a_{55}=-\frac{k_2/k_3A_0}{(\betay_{+1}+1)}\cdot\frac{r_2/r_3B_0}{(y_{+1}+1)}=0$;

Отсюда: $-a_{11}a_{22}a_{44}a_{55}+a_{11}a_{22}+a_{11}a_{55}+a_{44}a_{55}-1=0$

Теперь найдем какой знак имеет остаток многочлена $\lambda^1$:
$-a_{35}a_{11}a_{22}b_{44}-a_{35}a_{11}b_{22}a_{44}-a_{35}b_{11}a_{22}a_{44}-b_{35}a_{11}a_{22}a_{44}+a_{31}b_{22}+b_{31}a_{22}+a_{31}b_{55}+b_{31}a_{55}-a_{31}a_{22}a_{44}b_{55}-a_{31}a_{22}b_{44}a_{55}-a_{31}b_{22}a_{44}a_{55}-b_{31}a_{22}a_{44}a_{55}+a_{35}b_{11}+b_{35}a_{11}+a_{35}b_{44}+b_{35}a_{44} +b_{31}+b_{35}=$
$=b_{35}a_{11}(1-a_{22}a_{44})+b_{31}a_{55}(1-a_{22}a_{44})+b_{35}a_{44}+b_{31}a_{22}+b_{31}+b_{35}-a_{35}a_{11}a_{22}b_{44}-a_{35}a_{11}b_{22}a_{44}-a_{35}b_{11}a_{22}a_{44}+a_{31}b_{22}+a_{31}b_{55}-a_{31}a_{22}a_{44}b_{55}-a_{31}a_{22}b_{44}a_{55}-a_{31}b_{22}a_{44}a_{55}+a_{35}b_{11}+a_{35}b_{44}=$
$=(1-a_{22}a_{44})(b_{35}a_{11}+b_{31}a_{55})+b_{35}a_{44}+b_{31}a_{22}+b_{31}+b_{35}-a_{35}a_{11}a_{22}b_{44}-a_{35}a_{11}b_{22}a_{44}-a_{35}b_{11}a_{22}a_{44}+a_{31}b_{22}+a_{31}b_{55}-a_{31}a_{22}a_{44}b_{55}-a_{31}a_{22}b_{44}a_{55}-a_{31}b_{22}a_{44}a_{55}+a_{35}b_{11}+a_{35}b_{44}=$
$=\left\{1-\left(\frac{(\betay_{+1}-1)}{R_0}\cdot(S_0+A_0)+\frac{k_3(\betay_{+1}-1)}{k_2R_0}\right)\cdot\left(\frac{(y_{+1}-1)}{K_0}\cdot(S_0+B_0)+\frac{r_3(y_{+1}-1)}{r_2K_0}\right)\right\}\cdot\left\{\frac{B_{0}K_{0}}{2S_{0}E_{0}}\cdot\left(\frac{R_{0}}{2(\betay_{+1}-1)S_{0}}+\frac{k_{3}R_{0}}{2k_{1}(\betay_{+1}-1)S_{0}E_{0}}\right)+\frac{A_{0}R_{0}}{2S_{0}E_{0}}\cdot\left(\frac{K_{0}}{2(y_{+1}-1)S_{0}}+\frac{r_{3}K_{0}}{2r_{1}(y_{+1}-1)S_{0}E_{0}}\right)\right\}+$
$+\frac{B_{0}K_{0}}{2S_{0}E_{0}}\cdot\left(\frac{y_{+1}-1}{K_{0}}\cdot(S_{0}+B_{0})+\frac{r_{3}(y_{+1}-1)}{r_{2}K_{0}}\right)+\frac{A_{0}R_{0}}{2S_{0}E_{0}}\cdot\left(\frac{\betay_{+1}-1}{R_{0}}\cdot(S_{0}+A_{0})+\frac{k_{3}(\betay_{+1}-1)}{k_{2}R_{0}}\right)+\frac{A_{0}R_{0}}{2S_{0}E_{0}}+\frac{B_{0}K_{0}}{2S_{0}E_{0}}+$
$+a_{32}b_{44}(1-a_{11}a_{22})-a_{35}a_{11}b_{22}a_{44}+a_{35}b_{11}(1-a_{22}a_{44})+a_{31}b_{22}(1-a_{44}a_{55})+a_{31}b_{55}(1-a_{22}a_{44})-a_{31}a_{22}b_{44}a_{55}$

"Хвост" $a_{32}b_{44}(1-a_{11}a_{22})-a_{35}a_{11}b_{22}a_{44}+a_{35}b_{11}(1-a_{22}a_{44})+a_{31}b_{22}(1-a_{44}a_{55})+a_{31}b_{55}(1-a_{22}a_{44})-a_{31}a_{22}b_{44}a_{55}<0$, т.к. $a_{11}a_{22}>1,a_{22}a_{44}>1,{44}a_{55}>1$

Преобразуем остаток $\left\{1-\left(\frac{(\betay_{+1}-1)}{R_0}\cdot(S_0+A_0)+\frac{k_3(\betay_{+1}-1)}{k_2R_0}\right)\cdot\left(\frac{(y_{+1}-1)}{K_0}\cdot(S_0+B_0)+\frac{r_3(y_{+1}-1)}{r_2K_0}\right)\right\}\cdot\left\{\frac{B_{0}K_{0}}{2S_{0}E_{0}}\cdot\left(\frac{R_{0}}{2(\betay_{+1}-1)S_{0}}+\frac{k_{3}R_{0}}{2k_{1}(\betay_{+1}-1)S_{0}E_{0}}\right)+\frac{A_{0}R_{0}}{2S_{0}E_{0}}\cdot\left(\frac{K_{0}}{2(y_{+1}-1)S_{0}}+\frac{r_{3}K_{0}}{2r_{1}(y_{+1}-1)S_{0}E_{0}}\right)\right\}+$
$+\frac{B_{0}K_{0}}{2S_{0}E_{0}}\cdot\left(\frac{y_{+1}-1}{K_{0}}\cdot(S_{0}+B_{0})+\frac{r_{3}(y_{+1}-1)}{r_{2}K_{0}}\right)+\frac{A_{0}R_{0}}{2S_{0}E_{0}}\cdot\left(\frac{\betay_{+1}-1}{R_{0}}\cdot(S_{0}+A_{0})+\frac{k_{3}(\betay_{+1}-1)}{k_{2}R_{0}}\right)+\frac{A_{0}R_{0}}{2S_{0}E_{0}}+\frac{B_{0}K_{0}}{2S_{0}E_{0}}=\left\{1-\frac{(\betay_{+1}-1)(y_{+1}-1)}{R_{0}K_{0}}\left(S_{0}+A_{0}+\frac{k_{3}}{k_{2}}\right)\cdot\left(S_{0}+B_{0}+\frac{r_{3}}{r_{2}}\right)\right\}\times$
$\times\left\{\frac{B_{0}K_{0}R_{0}}{4{S^2}_{0}E_{0}(\betay_{+1}-1)}\left(1+\frac{k_{3}}{k_{1}E_{0}}\right)+\frac{A_{0}K_{0}R_{0}}{4{S^2}_{0}E_{0}(y_{+1}-1)}\left(1+\frac{r_{3}}{r_{1}E_{0}}\right)\right\}+\frac{B_{0}(y_{+1}-1)}{2S_{0}E_{0}}\left(S_{0}+B_{0}+\frac{r_{3}}{r_{2}}\right)+\frac{A_{0}(\betay_{+1}-1)}{2S_{0}E_{0}}\left(S_{0}+A_{0}+\frac{k_{3}}{k_{2}}\right)+\frac{A_{0}R_{0}}{2S_{0}E_{0}}+\frac{B_{0}K_{0}}{2S_{0}E_{0}}=\left\{1-\frac{1}{A_{0}B_{0}}\left(S_{0}+\frac{k_{3}}{k_{2}}+A_{0}\right)\left(S_{0}+\frac{r_{3}}{r_{2}}+B_{0}\right)\right\}\times$
$\times\left\{\frac{B_{0}A_{0}R_{0}}{4S_{0}^2E_{0}}\left(1+\frac{\betay_{+1}-1}{\betay_{+1}+1}\right)+\frac{B_{0}A_{0}K_{0}}{4S_{0}^2E_{0}}\left(1+\frac{y_{+1}-1}{y_{+1}+1}\right)\right\}+\frac{R_{0}}{2S_{0}E_{0}}\left(S_{0}+\frac{r_{3}}{r_{2}}+B_{0}\right)+\frac{K_{0}}{2S_{0}E_{0}}\left(S_{0}+\frac{k_{3}}{k_2}}+A_{0})+\frac{A_{0}R_{0}}{2S_{0}E_{0}}+\frac{B_{0}K_{0}}{2S_{0}E_{0}}=/\mbox{выносим за скобки выражение} \frac{1}{2S_{0}E_{0}}/=$
$=\frac{1}{2S_0E_0}\left[\left\{B_0A_0-\left(S_0+\frac{k_3}{k_2}+A_0\right)\left(S_0+\frac{r_3}{r_3}+B_0\right)\right\}\cdot\left\{\frac{R_0}{2S_0}\left(\frac{2\betay_{+1}}{\betay_{+1}+1}\right)+\frac{K_0}{2S_0}\left(\frac{2y_{+1}}{y_{+1}+1}\right)\right\}+R_0\left(S_0+\frac{k_3}{k_2}+B_0\right)+K_0\left(S_0+\frac{k_3}{k_2}+A_0\right)+A_0R_0+B_0K_0\right]\Rightarrow $
$\Rightarrow/\mbox{выражение} \frac{1}{2S_0E_0}\mbox{пока можно опустить. После ряда несложных преобразований, учитывая, что}\,S_0=\frac{r_3}{r_2}y_{+1}=\frac{k_3}{k_2}\betay_{+1}\,\mbox{получаем/}\Rightarrow$
$-\left(\frac{k_3r_3}{k_2r_2}(\betay_{+1}+1)(y_{+1}+1)+\frac{k_3}{k_2}(\betay_{+1}+1)B_0+\frac{r_3}{r_2}(y_{+1}+1)A_0\right)\cdot\left(\frac{r_2R_0\beta}{r_3(\betay_{+1}+1)}+\frac{k_2K_0}{k_3\beta(y_{+1}+1)}\right)+\frac{r_3}{r_2}R_0(y_{+1}+1)+\frac{k_3}{k_2}K_0(\betay_{+1}+1)+R_0B_0+K_0A_0+A_0R_0+B_0K_0=$
$=-\left(\frac{r_3}{r_2}(y_{+1}+1)R_0+\frac{k_3}{k_2}(\betay_{+1}+1)K_0+R_0B_0+\frac{\betay_{+1}+1}{\beta(y_{+1}+1)}B_0K_0+\frac{r_3k_2}{r_2k_3}\frac{y_{+1}+1}{\betay_{+1}+1}R_0A_0+K_0A_0\right)+\frac{r_3}{r_2}(y_{+1}+1)R_0+\frac{k_3}{k_2}(\betay_{+1}+1)K_0+R_0B_0+K_0A_0+A_0R_0+B_0K_0=$
$=-\frac{\beta(y_{+1}+1)}{\betay_{+1}+1}R_0A_0+R_0A_0-\frac{\betay_{+1}+1}{\beta(y_{+1}+1)}B_0K_0+B_0K_0=\left(1-\frac{\beta(y_{+1}+1)}{\betay_{+1}+1}\right)R_0A_0+\left(1-\frac{\betay_{+1}+1}{\beta(y_{+1}+1)}\right)B_0K_0\Rightarrow/\mbox{последнее выражение делим на }R_0K_0/\Rightarrow$
$\left(1-\frac{\beta(y_{+1}+1)}{\betay_{+1}+1}\right)(\betay_{+1}-1)+\left(1-\frac{\betay_{+1}+1}{\beta(y_{+1}+1)}\right)(y_{+1}-1)=\frac{1-\beta}{\betay_{+1}+1}(\betay_{+1}-1)+\frac{\beta-1}{\beta(y_{+1}+1)}(y_{+1}-1)=\frac{1}{E_0}\left(\frac{k_3(1-\beta)}{k_1}+\frac{r_3(\beta-1)}{r_1\beta}\right)\Rightarrow $
$\Rightarrow/\mbox{учитывая, что }\alpha=\frac{k_1r_3}{k_3r_1}\mbox{ и }E_0>0\mbox{ определим знак последнего выражения в скобках}/\Rightarrow\left(\frac{k_3(1-\beta)}{k_1}+\frac{r_3(\beta-1)}{r_1\beta}\right)=\frac{(1-\beta)k_3}{k_1}+\frac{(\beta-1)\alphak_3}{\betak_1}=\frac{k_3}{k_1}(\beta-1)\left(\frac{\alpha}{\beta}-1\right)$
Ранее было показано, что если $\beta>0$, то $\alpha<0$, и наоборот. Отсюда последнее выражение меньше нуля, а значит и коэффициент при $\lambda^1$ при любых допустимых значениях также меньше нуля.



Редактировалось 20 раз(а). Последний 22.07.2019 00:18.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти