Дан многочлен f, доказать, что существуют многочлены g и h...

Автор темы Лилия 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеHuawei - Research scientist (math)22.06.2021 11:25
ОбъявлениеПреподаватель из Тайваня выкладывает на Pornhub лекции по математике и их смотрят тысячи людей27.09.2021 00:12
ОбъявлениеPostdoc: Stochastics and algorithmics behind network problems (Netherlands)08.10.2021 08:36
12.01.2004 17:14
Лилия
Дан многочлен f, доказать, что существуют многочлены g и h...
Помогите решить задачку по алгебре, пожалуйста.
f(x) - некоторый многочлен с вещественными коэффициентами.
Надо доказать, что существуют многочлены g и h такие, что
f(x)=(g(x))^2 + (h(x))^2
12.01.2004 17:30
Сергей Михайлов
Поправка
Задача в такой формулировке не верна. Скорее всего, надо добавить в условии, что многочлен f(x) неотрицателен. (т.к. (g(x))^2 + (h(x))^2 >= 0 для любого x)

12.01.2004 17:38
Лилия
Как раз зашла поправиться:)
О,да! Как раз зашла сюда, чтоб добавить эту поправку.
12.01.2004 18:36
Сергей Михайлов
вроде получается
Вроде получилось доказать, но как-то очень длинно. Рекомендую сначала прочитать формулировки утверждений :)

Утверждение 1. Любой многочлен f(x) с вещественными коэффициентами представляется в виде f(x) = A(x - x_1)*...*(x - x_k)*(x^2 + a_1*x + b_1)*...*(x^2 + a_r*x + b_r), где x_1, ..., x_k - корни многочлена (среди них могут быть одинаковые), а каждый из двучленов x^2 + a_i*x + b_i не имеет вещественных корней (т.е. положителен на всей вещественной оси).

Этот факт можно считать известным из алгебры.

Кратность корня x_0 многочлена f(x) - это максимальное число k такое, что f(x) делится на (x-x_0)^k и не делится на (x - x_0)^{k+1}.

Утверждение 2. Если многочлен f(x) >=0 для любого x, то любой его действительный корень имеет четную кратность (конечно, многочлен может вообще не иметь действительных корней).
Доказательство. Если x_0 - вещественный корень многочлена, и многочлен при этом неотрицателен, то x_0 будет также корнем производной (иначе, если бы производная не обращалась в ноль, то, если она либо положительна, либо отрицательна. Если положительна, то многочлен строго возрастает в некторой окрестности точки x_0, следовательно, до точки x_0 он принимает отрицательные значение. Аналогично рассматривается случай, когда производная отрицательна). Если бы многочлен не делился на (x - x_0)^2, то x_0 не был бы корнем производной (действительно, если f(x) = (x - x_0)*g(x), g(x) не делится на (x - x_0), тогда f'(x) = g(x) + (x - x_0)*g'(x) - не делится на (x - x_0)). Значит, f(x) = (x - x_0)^2 * f_1(x), причем понятно, что f_1(x). Теперь, если x_0 является корнем многочлена f_1(x), то можем повторить процесс и выделить из f_1(x) множитель (x - x_0)^2. И так далее. Когда-нибудь процесс прервется, и т.к. каждый раз к кратности корня x_0 добавляется 2, то эта кратность четна.


Следствие из 1 и 2. Если f(x) - многочлен с вещественными коэффициентами и f(x) >= 0 для любого x, то f(x) = A(x - x_1)^2*...*(x - x_k)^2*(x^2 + a_1*x + b_1)*...*(x^2 + a_r*x + b_r), где A > 0.
Доказательство следствия. Надо воспользоваться тем, что многочлен имеет разложение из утв 1. Потом, по утв. 2 кратность каждого вещественного корня - четное число, значит, для каждой скобки вида (x - x_i) есть еще хотя бы одна такая скобка. Сгруппировав такие скобки вместе, получим квадраты (x - x_i)^2. Далее, число A > 0 потому что иначе при x стремящемся к бесконечности многочлен бы принимал сколь угодно большие отрицательные значения (поскольку на бесконечности знак у многочлена такой же, как и знак коэффициента у его старшего члена), а это не так по условию.

Утверждение 3. Задача верна для квадратного трехчлена.
Действительно, если a*x^2 + b*x + c >= 0 для любого x, то это означает, что дискриминант неположителен: b^2 - 4ac <= 0. Можем далее записать a*x^2 + b*x + c = a(x + b/(2a))^2 + c - b^2/(4a) = (g(x))^2 + (h(x))^2, где g(x) = sqrt(a)*(x + b/(2a)), h(x) = sqrt((4ac - b^2)/(4a)). Заметим, что a > 0, исходя из тех же рассуждений, что и в доказательстве следствия выше.

Утверждение 4. Если многочлен f представляется в виде суммы двух квадратов и многочлен g представляется в виде суммы двух квадратов, то и многочлена f*g представляется в виде суммы двух квадратов.
Доказательство. Пусть f = a^2 + b^2, g = c^2 + d^2. Тогда f*g = (a^2 + b^2)*(c^2 + d^2) = (ad + bc)^2 + (ac - bd)^2.

Теперь из утверждений 3 и 4 получаем, что все произведение
(x^2 + a_1*x + b_1)*...*(x^2 + a_r*x + b_r) представляется в виде (g_1)^2 + (h_1)^2. Но тогда и исходный многочлен f представляется в нужном виде, если взять g = sqrt(A)*(x - x_1)*...*(x - x_k)*g_1 и h = sqrt(A)*(x - x_1)*...*(x - x_k)*h_1.

12.01.2004 18:41
Сергей Михайлов
нескромный вопрос
а ты где учишься?
12.01.2004 19:05
Прочтите пожалуйста правила!
Прочтите пожалуйста Правила! В следующий раз я сотру ваше сообщение, за то, что вы не следуете Правилам, без учета научной и личной ценности его для вас и всех остальных!
12.01.2004 22:06
egor
если не предполагать положительности
то, наверное, представляется в виде суммы квадратов многочленов
с комплексными коэффиентами.

Можно сначала доказать для многочлена x-a,
а потом применить рассуждения Сергея Михайлова.
12.01.2004 22:27
Сергей Михайлов
все равно не любой
сумма квадратов многочленов - многочлен четной степени, так что, например, многочлен f(x) = x нельзя представить в виде суммы квадратов
12.01.2004 22:29
Сергей Михайлов
по поводу правил, это ко мне или к Лилии?
просто вы ответили на пост Лилии, а у меня ощущение, что не нравится вам вопрос "нескромный вопрос"
12.01.2004 22:46
egor
Вы уверены, что нельзя разложить x?
Мне тоже так сначала показалось, но
что мешает старшим степеням квадратов взаимно уничтожиться?
Речь ведь идёт о многочленах с комплексными коэффициентами.

Я не пытался представить в виде суммы квадратов
многочленов с комплексными коэффициентами
любой линейный многочлен, но x вроде бы представляется:

(((1+i)x+(1-i))^2 + ((-1+i)x+(-1-i))^2)/8.
12.01.2004 23:00
Сергей Михайлов
теперь уже не уверен
да, может и получится
13.01.2004 01:17
Нет, это было Лилии, за ее заголовок (-)
Нет, это было Лилии, за ее заголовок!
13.01.2004 01:20
А если я сотру свое сообщение?
А если я сотру свое сообщение? Куда денется ваша дискуссия? И что делать? Читать правила, не отвечать в "плоском виде", думая что так и надо, если действительно не отвечаете на последнее сообщение... Ну как так можно... :-(
13.01.2004 01:29
Сергей Михайлов
не надо
я думаю, ничего не надо стирать :) по-моему, ничего страшного не произошло
13.01.2004 13:27
Лилия
Ответ нескр. вопрос,спасибо Сергею и извините за некорректное название топика.
Давненько не читала правила, но только что перечитала.
Замечание приянто.
Сергей, спасибо за такой подробный ответ, все получилось как-то прозрачно, что даже стыдно:( Насчет нескромного вопроса - совсем не секрет, учусь на 1-м курсе матмеха (СПбГУ), только вот такая глупая...
24.01.2004 14:21
Dr.Entropy
standartnui fact
Eto standartnui fact, smotri Polia i Sege.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти