Может ли предел быть иррациональным числом

Вопрос: может ли последовательность вида k/n_k, где n_k монотонная последовательность натуральных чисел, стремиться к иррациональному числу при k стремящемся к бесконечности?

Почему?

Пример Vpro замечателен, т.к. выдает заведомо несократимые дроби c монотонными последовательностями числителей и знаменателей. Но числители не равны номерам последовательностей. Если не требовать несократимость и строгую монотонность, то пусть $а$ - произвольное положительное число. Рассмотрим последовательность $a_k=[ak]$. Она монотонно не убывает. Последовательность $\frac{a_k}{k}$ сходится к $a$, а последовательность $\frac{k}{a_k}$ сходится к $\frac{1}{a}$. Как видим, любое число является пределом такой последовательности.
Прошу прощения, забыл, что г-н Vpro предложил "достроить" до подходящей последовательности. Здесь еще нужно будет доказать, что это возможно. Про несократимость придется забыть на время.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 21.11.2015 16:17.

Уважаемый, Museum!
Вы правы, дополнить мой ряд до требуемого вида можно, но это потребует довольно сложных обоснований. Ваше построение отличается простотой и дает довольно общее выражение такого ряда. Для строгости нужно потребовать a>1, чтобы первые члены ряда [ak] не обнулялись.